常微分方程教學(xué)中數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用能力的培養(yǎng)

周霞　水莉莉　張德然

摘 要 常微分方程理論具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，導(dǎo)致教學(xué)過程中容易過多強(qiáng)調(diào)理論的嚴(yán)密性而忽視實踐性與應(yīng)用性的教學(xué)現(xiàn)狀，本文從優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方法及制定多元的評價模式三個方面入手探索常微分方程教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞 常微分方程 數(shù)學(xué)建模能力 應(yīng)用能力

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.03.051

Training Mathematical Modeling Ability and Application Ability

in the Teaching of Ordinary Differential Equation

ZHOU Xia[1][2]， SHUI Lili[3]， ZHANG Deran[1]

（[1]School of Mathematics and Statistics， Fuyang Teachers College， Fuyang， Anhui 236037;

[2]Graduate School of Fuyang Teachers College，F(xiàn)uyang， Anhui 236037;

[3]The Attached Middle School of Fuyang Teachers College， Fuyang， Anhui， 236037）

Abstract In view of the fact that the ordinary differential equation theory is very applicable in real-life practice， while in the teaching process， it is liable to put too much emphasis on theory of leakproofness and ignore the practicality and applicability. This paper from optimizing the teaching content， improving teaching methods， applying ability three aspects discussed how to train students' ability of mathematical modeling and application during the teaching of the ordinary differential equation.

Key words ordinary differential equation; mathematical modeling ability; application ability

常微分方程是17世紀(jì)誕生的一門數(shù)學(xué)課程，對先修課程及后繼課程起著承前啟后的作用，也是偏微分方程、泛函微分方程、動力系統(tǒng)、控制理論、變分法等數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。高師院校常微分方程課程教學(xué)的現(xiàn)狀是過多強(qiáng)調(diào)理論，淡化甚至忽視其實踐性和應(yīng)用性，缺乏對學(xué)生動手、建模、應(yīng)用知識及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致對這門課程的功能不甚了解，甚至建立簡單的常微分方程數(shù)學(xué)模型都顯得非常吃力。常微分方程架起了現(xiàn)實生活和抽象數(shù)學(xué)之橋梁，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實世界的本質(zhì)反映和科學(xué)抽象，在常微分方程課程中融入數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力與應(yīng)用能力勢在必行。因此，我們認(rèn)為在常微分方程教學(xué)過程中可通過以下途徑培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與應(yīng)用能力。

1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

1.1 教學(xué)過程中適當(dāng)刪減理論性偏強(qiáng)和過程繁瑣的證明

根據(jù)教學(xué)大綱確定的理論體系和知識單元，在吃透教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)刪減，保證課程體系更科學(xué)，更適合學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)。目前，《常微分方程》教材都重視基礎(chǔ)理論內(nèi)容，難度較大，內(nèi)容處理過于抽象，證明過程繁瑣，應(yīng)用方面的內(nèi)容涉及較少，造成教學(xué)內(nèi)容與實際的嚴(yán)重脫節(jié)，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和（應(yīng)用知識）能力的培養(yǎng)。在具體的課程教學(xué)中我院使用的教材是王高雄等編著的“十一五”國家級規(guī)劃教材《常微分方程》（第三版）。在教學(xué)中，以生為本，對教材作如下處理：第三章中解對初值的連續(xù)可微性只講述定理條件和結(jié)論，證明過程;第五章中存在唯一性定理只介紹定理內(nèi)容，不給予證明;對第四章和第五章內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整，先講第五章再講第四章，把高階微分方程看作微分方程組的特殊，這樣第四章的許多公式和定理就必證明了。一方面，刪掉一些枯燥的、理論性強(qiáng)的、繁瑣的證明以免學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。另一方面，適當(dāng)刪減理論性偏強(qiáng)和過程繁瑣的證明，節(jié)約課時。將最新研究成果及其應(yīng)用前景納入教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)理論到現(xiàn)實問題的“實現(xiàn)過程”也即數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模能力與應(yīng)用能力。

1.2 教學(xué)過程中適當(dāng)充實應(yīng)用素材，合理引入常微分方程的數(shù)學(xué)模型

以實際問題為案例，引導(dǎo)學(xué)生圍繞實際問題運(yùn)用常微分方程建構(gòu)數(shù)學(xué)模式，有意識地將數(shù)學(xué)理論、方法有機(jī)地結(jié)合起來，在常微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力特別是數(shù)學(xué)建模能力。根據(jù)具體章節(jié)內(nèi)容選擇適當(dāng)?shù)陌咐?，圍繞問題及其背景，給出方程式，運(yùn)用常微分方程知識完成最優(yōu)解答。在此基礎(chǔ)上，回到問題情境中解釋相關(guān)問題，通過理論、方程和實踐的反復(fù)操練，讓學(xué)生更好地了解如何運(yùn)用所學(xué)知識來解決實際問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用能力。

1.3 教學(xué)過程中介紹用Matlab、Mathenatic、Maple等數(shù)學(xué)軟件求解常微分方程（組）

大多數(shù)的常微分方程需要密切配合Matlab、Mathenatic、Maple等數(shù)學(xué)軟件的使用（增加：來求得解析解）。應(yīng)用這些數(shù)學(xué)軟件中的符號計算功能直接求解某些常微分方程，通過計算機(jī)數(shù)值計算和繪圖迅速了解或者探討某些常微方程的性態(tài)。結(jié)合計算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行常微分方程的求解，激發(fā)學(xué)生自己解決實際問題的欲望，培養(yǎng)其動手能力和綜合應(yīng)用能力。

1.4 教學(xué)過程中增加實驗課容量

數(shù)學(xué)實驗是為獲得某種數(shù)學(xué)理論、探求或驗證某個數(shù)學(xué)猜想、解決某類數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用一定的物質(zhì)技術(shù)手段，經(jīng)由數(shù)學(xué)思維活動的參與，在典型的環(huán)境中或特定的條件下進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實踐活動。①目前的常微分方程教材在數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容的設(shè)計方面很缺乏，可在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)脑黾訑?shù)學(xué)實驗內(nèi)容。在完成第五章學(xué)習(xí)后，選擇不同的現(xiàn)實問題，給出相關(guān)文獻(xiàn)資料，讓學(xué)生依其感興趣的問題建立模型，用所學(xué)過的方法求出方程的解析解或結(jié)合數(shù)學(xué)軟件求出數(shù)值解或者方程的性態(tài)，根據(jù)結(jié)果解釋或者指導(dǎo)實際問題，從而解決實際問題。

2 改進(jìn)教學(xué)方法

2.1 以啟發(fā)式和討論式模式展開教學(xué)

啟發(fā)式和討論式教學(xué)模式，是常微分方程課程應(yīng)努力探索的教學(xué)模式，它要求改變以往教師的主導(dǎo)地位，建構(gòu)新型師生關(guān)系，提倡師生、生生互動。應(yīng)根據(jù)教學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律，從學(xué)生實際出發(fā)，靈活應(yīng)用各種方法調(diào)動學(xué)生思考、分析、解決問題的能動性和積極性，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力的目的。②課程教學(xué)過程是師生共同創(chuàng)造性勞動的過程。教師在這個過程中，應(yīng)不斷確立學(xué)生的主體地位，喚起學(xué)生主體意識，發(fā)揮學(xué)生主觀能動性，根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容采用適當(dāng)方式進(jìn)行師生互動，生生互動。選取一些與學(xué)生生活息息相關(guān)的問題，設(shè)計與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的合理問題串，讓學(xué)生從實際問題背景出發(fā)，進(jìn)行討論，做出合理假設(shè)，選擇適當(dāng)變量，根據(jù)規(guī)律、列出并求解微分方程，解決實際問題，這種啟發(fā)式和討論式教學(xué)讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)。學(xué)生有了學(xué)習(xí)興趣，又對實際問題有分析理解能力，再加上數(shù)學(xué)建模能力與應(yīng)用能力，就可以將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)軟件這個平臺，最終解決實際問題。

2.2 以實際問題的解決為導(dǎo)向展開教學(xué)

微分方程的特點在于運(yùn)用理論知識解決現(xiàn)實問題，因此，利用利用教材③中的理論和思想方法，以實際問題的解決為導(dǎo)向展開實踐教學(xué)是切實可行的。如典型的常微分方程模型：RLC電路模型、數(shù)學(xué)擺模型、人口模型、傳染病模型、生態(tài)模型、lorenz方程模型;現(xiàn)實生活中這樣的例子很多，如：經(jīng)濟(jì)增長模型、交通模型、判別藝術(shù)真?zhèn)文Ｐ?、煙霧的擴(kuò)散與消失模型;④還有溶液濃度模型、時間估計模型、放射性元素衰變模型、最佳銷售時機(jī)模型等。學(xué)生根據(jù)實例，在老師引導(dǎo)下，建立反映實際問題的微分方程，提出此微分方程有解的相關(guān)條件，然后求解，獲取解決實際問題的“鑰匙”。選擇合適案例進(jìn)行案例教學(xué)，既能培養(yǎng)學(xué)生提高圍繞問題開展建模的能力，又讓學(xué)生在數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)中獲得解決問題的樂趣。

2.3 注重教學(xué)手段的多樣化

常微分方程的特點決定既不能完全廢棄傳統(tǒng)的教學(xué)手段——“黑板+粉筆”，又不能完全地依賴多媒體展開教學(xué)，應(yīng)將黑板、粉筆和多媒體有機(jī)地結(jié)合起來，針對不同的內(nèi)容，科學(xué)地選擇，有效地組織教學(xué)。對于抽象性強(qiáng)，思維難度大的定理證明、推導(dǎo)及例題的講解，采用傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”板書，老師邊板書邊分析講解，學(xué)生邊思考邊理解，達(dá)到師生同步思維;而對于一些問題的引入、背景分析、定理定義的表述、例題習(xí)題的解決以及一些應(yīng)用性問題的討論，則借助現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段，靈活選擇Matlab、Mathenatic、Maple等數(shù)學(xué)軟件開展教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、方法解決實際問題的能力，擴(kuò)大課堂容量，直觀、生動地將內(nèi)容展現(xiàn)給學(xué)生，以多樣化的教學(xué)手段，實現(xiàn)課程的優(yōu)化教學(xué)。

3 制定多元的評價模式

評價機(jī)制是學(xué)習(xí)的向?qū)В瑯?gòu)建學(xué)生和諧發(fā)展取向的、多元的、客觀的評價機(jī)制，客觀的評價模式能有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的能力。傳統(tǒng)的評價機(jī)制過分強(qiáng)調(diào)常微分方程所學(xué)的知識理論的推演，常微分課程的考核都是期末以閉卷的形式進(jìn)行考試，試題往往側(cè)重于基本理論知識的考查而忽視了對學(xué)生運(yùn)用理論知識解決實際問題的能力的考查，重理論而輕實踐，重識記而輕應(yīng)用的是其最大弊端，這樣的考查，在無形中偏離了常微分方程的教學(xué)目標(biāo)，無益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

為改變當(dāng)前常微分方程課程考核的現(xiàn)狀，必須對考核方式及命題內(nèi)容進(jìn)行改革，我們認(rèn)為，可以嘗試著推行“50+50”的評價模式，即期末成績占50%，平時成績占50%。期末考試命題適當(dāng)?shù)貏h減煩瑣的演算，增加一些開放型的應(yīng)用題，考查學(xué)生從實際出發(fā)，建立模型，求解問題并解釋問題的能力，讓學(xué)生意識到重在知識的應(yīng)用和創(chuàng)造，要經(jīng)常應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法去分析解決實際問題，使學(xué)生知道怎么學(xué)會書本知識以及怎么應(yīng)用知識，加大對學(xué)生綜合應(yīng)用知識能力的考查力度。平時成績的50%可以分為：平時作業(yè)占10%，課堂師生互動占10%，小論文占30%。小論文形式多樣，要求學(xué)生從實際問題出發(fā)，合理運(yùn)用所學(xué)知識，借助各種數(shù)學(xué)軟件，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并求解以解決實際問題。小論文可獨立完成，也可以三人小組合作完成，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作精神，有利于數(shù)學(xué)建模競賽。毫無疑問，這種評價模式改變了期末考試定終身的考試模式，逐漸重視知識的應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力。

項目和編號為：阜陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究專項項目（2013JCJY08）， 安徽省重大教學(xué)改革研究項目（2014zdjy082）， 安徽省教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革項目（2012jyxm334）

注釋

① 邵光華，卞忠運(yùn).數(shù)學(xué)實驗的理論研究與實踐[J].課程.教材.教法，2007.27（3）：39-43.

② 李耀紅，李秀蘭，魏章志.常微分方程課程啟發(fā)式教學(xué)探討[J].宿州學(xué)院學(xué)報，2011.26（11）：100-102.

③ 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.7.

④ [美]WILLIAN F LUCAS.微分方程模型[M].朱煜民，周宇虹，譯.長沙：國防科技大學(xué)出版社，1988.