有效教學(xué)理論下的數(shù)學(xué)雙基教學(xué)和數(shù)學(xué)變式教學(xué)*

南通師范高等?？茖W(xué)校 錢美蘭

1 雙基教學(xué)

1.1 “數(shù)學(xué)雙基”的界定

何為數(shù)學(xué)雙基？張奠宙先生指出，“數(shù)學(xué)雙基”指“數(shù)學(xué)基本知識(shí)”和“數(shù)學(xué)基本技能”，這不因任何歷史階段的改變而改變。田中、徐龍炳、張奠宙認(rèn)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)主要包括以下三個(gè)方面：知識(shí)、方法、思想。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的基本技能蘊(yùn)含“在實(shí)踐的基礎(chǔ)上”和“有一定的規(guī)則或操作程序”這兩點(diǎn)，總結(jié)了運(yùn)算、推理、繪圖三種基本技能的延伸。鄭毓信從認(rèn)知角度對(duì)“數(shù)學(xué)雙基”提出了“結(jié)點(diǎn)說”。他認(rèn)為，將數(shù)學(xué)的法則、公式、命題、概念等看成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)或概念網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)點(diǎn)，根據(jù)結(jié)點(diǎn)連接的廣泛程度看出其重要性，進(jìn)而產(chǎn)生“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”；根據(jù)問題解決時(shí)所需要的程序應(yīng)用的深度和廣度，可以決定“數(shù)學(xué)基本技能”。

1.2 “數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”的主要特征

一直以來，數(shù)學(xué)教學(xué)堅(jiān)持打好基礎(chǔ)，遵循基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)和基本技能應(yīng)用的“雙基”原理具體表述如下：

從課堂組織形式上看，我國數(shù)學(xué)基本上沿襲“復(fù)習(xí)—新知識(shí)探究—分析實(shí)例—實(shí)踐整合—課堂教學(xué)小結(jié)—作業(yè)”的教學(xué)方法。這種課堂教學(xué)組織形式較為固定，包括六個(gè)傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)節(jié)“復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新課—帶著新問題探究新知—分析與講解例題—作業(yè)鞏固小結(jié)—整節(jié)課小結(jié)—布置課后作業(yè)”，各個(gè)環(huán)節(jié)要求和目的都十分明朗化。

從課堂教學(xué)的成效上看，注重效率，避免彎路，直接體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)。受應(yīng)試教育的影響，“雙基教學(xué)”被理解為“考試的雙基”，為了幫助學(xué)生盡快掌握知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率，課堂教學(xué)中教師主要在新知呈現(xiàn)及例題梳理這些環(huán)節(jié)上盡快展現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容，避免學(xué)生走彎路。如特別在介紹定義、原理及相關(guān)公式時(shí)，為了讓學(xué)生能盡快記住定義、定理及公式，許多教師略講定義、原理及公式產(chǎn)生的背景與過程，直接將之呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生有目的地去記憶。這種方法確實(shí)能節(jié)約不少時(shí)間，將更多的時(shí)間投入到解題訓(xùn)練中去，雖實(shí)現(xiàn)了“精講多練”，但最終必導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)的遺忘率也高。

從培養(yǎng)能力的角度上看，注重學(xué)生的邏輯思維能力。主要包括概念的辨析、無重復(fù)無遺漏的分類、主要公式的記憶、知識(shí)點(diǎn)的邏輯關(guān)系和掌握數(shù)學(xué)解題的流程，還有數(shù)學(xué)解題套路的熟悉，尤其是形式化的邏輯演繹證明。如分類不重復(fù)不遺漏, 解題過程前后要等價(jià)，分母不能等于零，絕對(duì)值不為負(fù)值，被開方數(shù)不能為負(fù)值等等，反復(fù)強(qiáng)調(diào)、訓(xùn)練。

從思維訓(xùn)練上看，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想與方法的培養(yǎng)，反復(fù)進(jìn)行大量解題訓(xùn)練。例如，分類討論，數(shù)形結(jié)合，特殊到一般，函數(shù)與方程，分析、歸納、綜合、類比、演繹、化歸的概括和應(yīng)用。

2 變式教學(xué)

《論語·述而》記載：“舉一隅，不以三隅反，則不復(fù)也”，體現(xiàn)了孔子時(shí)期 “變式教學(xué)”觀念就已經(jīng)產(chǎn)生。“數(shù)學(xué)變式教學(xué)”是我國最重要的教學(xué)模式之一，也是廣大教師在課堂實(shí)踐中使用的最重要的教學(xué)方式之一。通過變式教學(xué)，學(xué)生可憑自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或感性經(jīng)驗(yàn)及相關(guān)能力去領(lǐng)會(huì)事物的本質(zhì)并提升自己對(duì)問題的新認(rèn)識(shí)。這對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維，使之達(dá)到廣闊、深刻與靈活，有著非常重要的意義。

2.1 “數(shù)學(xué)變式教學(xué)”的界定

所謂“數(shù)學(xué)變式教學(xué)”，是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不改變本質(zhì)特點(diǎn)，但不斷地改變數(shù)學(xué)概念的條件，建立各種應(yīng)用環(huán)境，使學(xué)生在任何變化過程中都能認(rèn)清本質(zhì)的一種教學(xué)方法。

2.2 “數(shù)學(xué)變式教學(xué)”的主要特征

數(shù)學(xué)變式教學(xué)主要具備如下兩個(gè)特征：

第一，對(duì)概念的多角度理解。概念性變式教學(xué)通過多概念間及概念的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征的區(qū)別與聯(lián)系來把握概念的本質(zhì)屬性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念多角度的理解。這樣，有利于學(xué)生真正理解概念的本質(zhì)，從而建立新概念與原有概念的區(qū)別與聯(lián)系。如代數(shù)中復(fù)數(shù)分類的理解及立體幾何中柱體、錐體與臺(tái)體合理的分類等。

第二，展現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的多層次性。這種多層次性主要體現(xiàn)在：幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)概念的邏輯過程，歷史過程或者心理過程；使學(xué)生的間接解決活動(dòng)具有多個(gè)臺(tái)階或者多種途徑來解決問題；構(gòu)成一個(gè)多層次的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)促進(jìn)學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種有層次推進(jìn)的變式使學(xué)生原有分散的、零碎的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)成為一個(gè)有機(jī)整體，這樣可以幫助學(xué)生優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)并做到融會(huì)貫通。

3 有效教學(xué)理論下的雙基教學(xué)和變式教學(xué)

3.1 有效教學(xué)理論下兩種教學(xué)的有效性

3.1.1 數(shù)學(xué)雙基教學(xué)模式的有效性

由于我國數(shù)學(xué)教育狠抓基礎(chǔ)，落實(shí)雙基，因此我國學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較扎實(shí)，并且他們有的在各屆國際數(shù)學(xué)比賽中大獲全勝，從這些方面不難看出我國堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)雙基教學(xué)的正確性和有效性?，F(xiàn)從如下三方面評(píng)述其有效性：

第一，教學(xué)過程中十分重視知識(shí)掌握與技能訓(xùn)練的有效性。無論是概念與原理的提出，課堂練習(xí)與應(yīng)用，教學(xué)中總是不斷圍繞以知識(shí)為中心，以練習(xí)為中心開展教學(xué)的。課堂上師生共同歸納出概念與原理，再對(duì)概念與原理的理解給出相應(yīng)的變式理解，目的是進(jìn)一步理解好基礎(chǔ)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。接下來是基本技能的訓(xùn)練。無論是一題多解還是一題多變還是一法多用，目的就是為了進(jìn)一步將知識(shí)點(diǎn)達(dá)到理解并靈活運(yùn)用，基本技能的訓(xùn)練達(dá)到自動(dòng)化、爐火純青的地步?？傊p基教學(xué)一個(gè)最突出的優(yōu)勢就是打好知識(shí)基礎(chǔ)，抓好技能訓(xùn)練。

第二，教學(xué)過程中十分重視發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。教師理所當(dāng)然地成為課堂上的引導(dǎo)者、組織者與管理者，通過嚴(yán)謹(jǐn)周密的布置，逐步引導(dǎo)整個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)朝著既定的目標(biāo)發(fā)展，課堂時(shí)間得到合理而有效的利用。

第三，追求課堂教學(xué)效率的教學(xué)是非常重要的。正如前面所提到的，為了避免學(xué)生走不必要的彎路，在教學(xué)過程中關(guān)于概念的提出與技能的訓(xùn)練基本都是由教師掌控。教師先創(chuàng)設(shè)合理的情境將新知盡快呈現(xiàn)，經(jīng)過講解分析，引導(dǎo)學(xué)生快速理解新知，接下來再通過一定預(yù)設(shè)的例題讓學(xué)生對(duì)新知加以鞏固吸收，再通過一系列的變題，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想和方法，全面吃透新知識(shí)的本質(zhì)?？傊还?jié)課完全在教師的有效掌控之下，按照教師的意愿開展相關(guān)活動(dòng)，極大地提高了教學(xué)效率。

3.1.2 數(shù)學(xué)變式教學(xué)模式的有效性

變式教學(xué)可以使學(xué)生有意識(shí)、有目的地辨析同類事物的非本質(zhì)特征從而增強(qiáng)對(duì)事物的本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)變式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，可以幫助他們利用所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體味數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。鮑建生等在其系列論文“變式教學(xué)研究”中作了系統(tǒng)研究，他們認(rèn)為：第一，變式教學(xué)有利于數(shù)學(xué)概念的掌握。從具體直觀的變式多角度導(dǎo)入概念與原理，幫助學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵及外延。第二，變式教學(xué)有利于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的增長。能促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)，用于概念的形成過程和用于問題解決的教學(xué)以及用于取得特定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的增長。

3.2 有效教學(xué)理論下兩種教學(xué)的局限性

3.2.1 數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的局限性

數(shù)學(xué)雙基教學(xué)也有其局限性。數(shù)學(xué)雙基教學(xué)雖然在我國的教育史上具有不可磨滅的作用，但一直以來由于我們過分注重雙基教學(xué)，忽視了數(shù)學(xué)在人的發(fā)展過程中其他方面的價(jià)值，致使雙基教學(xué)出現(xiàn)了異化。概括起來主要表現(xiàn)為：

3.2.1.1 注重教師的主導(dǎo)地位，忽視學(xué)生的主體地位

眾所周知，學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體。但是在傳統(tǒng)課堂上卻是由教師主導(dǎo)，甚至強(qiáng)行灌輸式教學(xué)模式。學(xué)生在這種束縛之下，主體地位被抹煞，情感與價(jià)值觀得不到體現(xiàn)，需求得不到滿足，想法得不到溝通與理解，上課枯燥無味，課堂沉悶，失去活力。

3.2.1.2 注重解題訓(xùn)練，忽視數(shù)學(xué)基本思想方法的培養(yǎng)

教師對(duì)題目的講解和示范按照既定套路進(jìn)行，重點(diǎn)往往是放在如何做和具體的解題方法及技巧上，而對(duì)于為何要這樣做，以及如何想到解題思路等問題卻很少涉及。這樣使學(xué)生喪失了在熟練掌握解題技能的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)解題思想方法與策略進(jìn)行升華，使解題能力得到提高的機(jī)會(huì)。傳統(tǒng)教學(xué)中經(jīng)常碰到一道題目講解多遍，一段時(shí)間后拿出來哪怕是稍作變化后，仍不知如何解題，就像楊振寧教授所說的，我國學(xué)生知識(shí)太多，活的思想太少。

3.2.1.3 注重雙基的夯實(shí)，忽視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

我們不能局限于僅僅打好基礎(chǔ)。打好基礎(chǔ)的目的是為了進(jìn)一步創(chuàng)造更輝煌的業(yè)績。一個(gè)科學(xué)的數(shù)學(xué)教育理論，必須同時(shí)研究“基礎(chǔ)”和“創(chuàng)造”兩方面。缺乏基礎(chǔ)的創(chuàng)新是天馬行空，缺乏創(chuàng)新的基礎(chǔ)是機(jī)械重復(fù)。故培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展要注重“基礎(chǔ)”與“創(chuàng)造”相結(jié)合。

3.2.1.4 注重?cái)?shù)學(xué)的考試作用而忽視數(shù)學(xué)文化對(duì)人的發(fā)展的重要作用

在課堂上，注重教知識(shí)、練技能而忽視知識(shí)產(chǎn)生的背景及在生活方面的應(yīng)用的教學(xué)屢見不鮮。如“掐頭去尾燒中段”式課堂教學(xué)，學(xué)生思考、探究、實(shí)踐的機(jī)會(huì)與時(shí)間大大缺乏，即使有的討論與合作也是流于形式。在這樣的“雙基教學(xué)”活動(dòng)中，毫無學(xué)生的主體性可言，雙基教學(xué)成為了低層次的傳授知識(shí)或訓(xùn)練技能的活動(dòng)，這些都使得雙基教學(xué)的育人價(jià)值大打折扣，忽視了數(shù)學(xué)文化在人類發(fā)展中的重要作用。

3.2.2 數(shù)學(xué)變式教學(xué)的局限性

許多教師片面地理解變式教學(xué)。其實(shí)，概念或原理的變式教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性、嚴(yán)密性而忽視與其他知識(shí)間多角度的相互聯(lián)系。解題訓(xùn)練則過分強(qiáng)調(diào)解題速度的自然化、迅速化而忽視解題思想與方法及解題策略的研究。還有人簡單地認(rèn)為變式訓(xùn)練就是變式教學(xué)，效果好，于是大搞題海戰(zhàn)術(shù)。教學(xué)中將題目分組，分類，分專題，機(jī)械化、套路式地進(jìn)行訓(xùn)練，但又從不注重反思總結(jié)提升，結(jié)果學(xué)生前做后忘，知識(shí)遷移能力并沒有得到實(shí)質(zhì)性提高，教學(xué)毫無效果可言。

4 基于兩種教學(xué)下的案例分析

日常教學(xué)過程中，教師對(duì)公式內(nèi)容的證明過程常分析不到位，或直接給出公式或稍微帶領(lǐng)學(xué)生瀏覽一下書本上的證明過程就完事。這種重知識(shí)而輕過程的學(xué)習(xí)方式極大地阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展。因?yàn)楣降男纬蛇^程中往往富含許多先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想與方法，教師對(duì)公式的證明過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性與邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的思維品質(zhì)與創(chuàng)新思想舉足輕重。以下以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為例來說明如何進(jìn)行公式教學(xué)。

4.1 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)內(nèi)容為理解與掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式，進(jìn)而是應(yīng)用公式進(jìn)行化簡、求值與證明，主要是讓學(xué)生體會(huì)到同角三角函數(shù)值之間的相互聯(lián)系。本節(jié)課可從兩個(gè)角度對(duì)關(guān)系式進(jìn)行證明。一是從代數(shù)角度——借助三角函數(shù)定義來猜想并證明關(guān)系式，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間的普遍聯(lián)系性；另一方面從幾何形式——三角函數(shù)線角度給予數(shù)形結(jié)合的證明，讓學(xué)生更加直觀地認(rèn)識(shí)同角三角函數(shù)關(guān)系。

4.2 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：①同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)證明；②應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值和證明。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的靈活應(yīng)用及學(xué)生思維品質(zhì)的養(yǎng)成。

4.3 學(xué)情分析

①提到函數(shù)，在學(xué)生頭腦中就是一個(gè)“偏、繁、難”的印象，但是這節(jié)內(nèi)容是關(guān)于公式的介紹，學(xué)生明顯會(huì)感覺興趣有所提高，學(xué)習(xí)的欲望加強(qiáng)。

②借助三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線等內(nèi)容作鋪墊，學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下完成公式的探討。

③高職數(shù)學(xué)更注重思維訓(xùn)練，當(dāng)前學(xué)生已具備一定的邏輯思維能力與解題能力，所以這節(jié)課重在培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與應(yīng)變能力。

4.4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（1）問題引入

問題1：任意角α的三角函數(shù)的定義？

問題2：三角函數(shù)值的符號(hào)問題？

問題3：通過三角函數(shù)的定義，猜想任意角α的三角函數(shù)值間所滿足的等量關(guān)系，并給出證明？

問題4：如何用三角函數(shù)線證明基本關(guān)系式？

問題5：你能提出哪些與關(guān)系式應(yīng)用相關(guān)的問題？

問題 6：如果僅已知tanα=2，能否求出sinα,cosα的值？

（2）新知探討

通過課前預(yù)學(xué)，自主學(xué)習(xí)與小組合作交流，加上教師適當(dāng)引導(dǎo)點(diǎn)撥，證明同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的兩種方法。

證法一：利用三角函數(shù)的定義，通過觀察分析定義中字母間的關(guān)系，構(gòu)造等量關(guān)系得出結(jié)論。

證明：

證法二：利用單位圓與三角函數(shù)線的知識(shí)，通過構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合思想，直觀形象地得出關(guān)系式。（3）例題講解

例1公式辨析：

答案:成立的有(3)、(4)、(6)

思考：猜想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有哪些具體運(yùn)用？

變式2 已知tanα=2，且α是第一象限角，求sinα,cosα的值.

變式3 已知tanα=2，求sinα,cosα的值.

（4）課堂小結(jié)

①已知任意角的某一三角函數(shù)值，根據(jù)基本關(guān)系式能求其余兩個(gè)，即“知一求其余”，打好基礎(chǔ)。

②應(yīng)用基本關(guān)系式來計(jì)算、化簡及證明簡單的三角函數(shù)式，培養(yǎng)遷移與應(yīng)變能力。

（5）布置作業(yè)

習(xí)題 4.2 3，4，5，9，10，13，15

（6）課例反思

對(duì)該課例進(jìn)行反思分析，本節(jié)課以“巧設(shè)問題—合作探究—變式訓(xùn)練”為主線展開教學(xué)。

一切從學(xué)生的發(fā)展出發(fā)是本節(jié)課最大的亮點(diǎn)所在。首先從兩個(gè)方向證明同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生多角度看待并思考問題的能力。而接下來的例題研究，如例1的意圖主要是通過對(duì)關(guān)系式的辨析，讓學(xué)生充分理解基本關(guān)系式的本質(zhì)特征。例2是一道基礎(chǔ)題，主要是公式的直接應(yīng)用，將關(guān)系式與三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)結(jié)合起來求解問題。與例2相比，變式1中角所在的象限未知，這就要根據(jù)題意首先確定出角可能是第幾象限角，這樣自然而然要進(jìn)行分類討論。故這道變式十分經(jīng)典，能使學(xué)生的思維層次得到明顯上升，有一種云開霧散的感覺。接著的變式2、3，改變了題設(shè)和結(jié)論，此時(shí)卻可采用解方程組的方法求解問題，雖難度逐步加大，但能較好地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的靈活掌握。而最后的變題 4，角度更多更廣，本題至少有三種方法求解。該題雖然思維更活躍，但大部分同學(xué)都能至少能用一種方法做出來，而對(duì)于其中的“弦化切”思想更要關(guān)注。這四條變題的選擇很有思維層次感，它們往往會(huì)使學(xué)生覺得這道題肯定會(huì)做，但解起來又會(huì)碰到新的問題而必須駐足徘徊思考。因此它們最大限度地使學(xué)生靈活運(yùn)用公式功不可沒。由于本例題及變題以問題串的形式展開教學(xué)，前后問題層層遞進(jìn)引人入勝，充分體現(xiàn)了問題是獲得一切知識(shí)的源泉，問題又是解決一切問題的動(dòng)力。當(dāng)然，問題更為促進(jìn)生生互動(dòng)及師生對(duì)話提供了鮮明的背景。

通過深入分析這節(jié)課，筆者認(rèn)為可以在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中適度運(yùn)用變式教學(xué)，通過對(duì)概念與原理的一題多變，對(duì)練習(xí)的多角度求解與變換等，引導(dǎo)學(xué)生辨析事物的非本質(zhì)特征，逐步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)事物的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。本節(jié)課就是如此，通過例2進(jìn)行適當(dāng)合理的變式，設(shè)計(jì)過程實(shí)施得非常順利，學(xué)生自主合作，積極踴躍，努力克服前進(jìn)路上的困難，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成。這也符合了新課程的改革趨勢，以學(xué)定教，以學(xué)生為本，極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)激情。相關(guān)例題的教學(xué)使學(xué)生的思維也得到了極大地鍛煉，學(xué)生收獲了一定探索性學(xué)習(xí)的方法與策略，并最終享受到了成功的喜悅。

[1] 張奠宙.中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)理論框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（3）:1.

[2] 鄭毓信,謝明初.“雙基”與“雙基教學(xué)”:認(rèn)知的觀點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2004(6):2.

[3] 紀(jì)宏偉. 談中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“五個(gè)注重”[J].華夏教師，2014（12）：25.

[4] 張奠宙.話說“數(shù)學(xué)雙基”[J].湖南教育,2007 (l):5.

[5] 張奠宙，李士锜.數(shù)學(xué)“雙基教學(xué)”研討的學(xué)術(shù)綜述[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2003,1～2.

[6] 邵光華,顧泠沅.中國雙基教學(xué)的理論研究[J].教育理論與實(shí)踐, 2006,26(2):48-52.

[7] 紀(jì)宏偉. 例習(xí)題教學(xué)中的變式教學(xué)——以涂色問題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2014（5）：61-64.

[8] 紀(jì)宏偉. 對(duì)一題多解教學(xué)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（6）：32-34.

[9] 崔允漷.有效教學(xué):理念與策略(上)[J].人民教育,2001(6):46-48.

[10] 鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧泠沅.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（2）：6-10.