三維應(yīng)力計的工作原理及誤差分析

張 宏，李順群，張少峰，馮慧強

(1. 內(nèi)蒙古大學 交通學院，呼和浩特 010070；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)橋梁檢測與維修加固工程技術(shù)研究中心，呼和浩特 010070；3.天津城建大學 土木工程學院，天津 300384)

三維應(yīng)力計的工作原理及誤差分析

張 宏1,2，李順群3，張少峰3，馮慧強3

(1. 內(nèi)蒙古大學 交通學院，呼和浩特 010070；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)橋梁檢測與維修加固工程技術(shù)研究中心，呼和浩特 010070；3.天津城建大學 土木工程學院，天津 300384)

常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)由3個正應(yīng)力和3個剪應(yīng)力共6個分量組成，因此,確定一點的應(yīng)力狀態(tài)至少需要6個單向應(yīng)力計?；谌S應(yīng)力狀態(tài)理論，以單向應(yīng)力計或壓力計為基本元件，設(shè)計了一種能測試受力體內(nèi)部三維應(yīng)力狀態(tài)的裝置。該測試裝置由6個單向應(yīng)力計組成，且應(yīng)力計的軸線構(gòu)成四面體的6個棱?？紤]測試裝置對穩(wěn)定性、合理性、便利性等技術(shù)要求，該四面體的形狀可以設(shè)計為正四面體和由正方體截取的正三棱錐。根據(jù)某一方向上正應(yīng)力與常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)表示方法中6個應(yīng)力分量之間的關(guān)系，建立了三維應(yīng)力計各分量與常規(guī)應(yīng)力分量之間的映射關(guān)系，并進一步導出了由三維應(yīng)力計計算常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)的方法及產(chǎn)生誤差的原因。

飽和土；分數(shù)導數(shù)；地震波；地震放大系數(shù)；液固耦合系數(shù)

鋼材、混凝土、巖土材料等在低應(yīng)力狀態(tài)下可以認為其力學性質(zhì)是線性的，但在稍高應(yīng)力狀態(tài)下則往往表現(xiàn)出強烈的非線性和非均勻性[1-2]。因此，工程材料在某一外界條件下的變形、屈服、流變等力學性能不僅取決于其本身的物質(zhì)組成，還依賴于其所處的應(yīng)力水平[3-5]。所以，準確測試、認識工程材料當前的應(yīng)力狀態(tài)對正確認識其變形特征和工作狀態(tài)，進行工程健康診斷和維修加固等工作具有重要意義[6-8]。

目前，物體表面或內(nèi)部某點的單向應(yīng)力測試技術(shù)比較成熟。常用方法是在受測物體表面某一確定方向上布置直接測試元件或間接測試元件。直接測試元件包括鋼筋計、應(yīng)力計等；間接測試(通過應(yīng)變算應(yīng)力)元件包括各類應(yīng)變片。

一點的空間應(yīng)力狀態(tài)包含3個正應(yīng)力和3個剪應(yīng)力共6個分量。多數(shù)材料的物理力學性質(zhì)必須在三維條件下研究才更具工程價值和理論意義[9-12]。比如，混凝土在拉扭剪或三向壓縮作用下的應(yīng)力狀態(tài)研究；巖土在三向軸力作用下的變形特性研究等，均較單向受力更具普遍性，也更為復雜[13-16]。而進行三維應(yīng)力狀態(tài)測試，則是開展上述研究的基礎(chǔ)性工作。

現(xiàn)有的只測試某一確定方向上主應(yīng)力的方法至少存在兩方面的弊病。一是大主應(yīng)力方向多數(shù)情況下是不明確的，從而直接導致按最大主應(yīng)力方向布置應(yīng)力計的方法存在一定的主觀性。二是材料的強度、變形、屈服等性質(zhì)與6個應(yīng)力分量都有關(guān)系而不僅僅依賴于最大正應(yīng)力。因此，在工程中僅僅謀求測試最大正應(yīng)力的方法往往是片面的。

基于三維應(yīng)力狀態(tài)理論，以電阻應(yīng)變片為基本元件，設(shè)計了一種能測試受力體內(nèi)部三維應(yīng)力狀態(tài)的裝置——三維應(yīng)力計。該測試裝置由6個布置在某一四面體6條棱上的單向應(yīng)力計或電阻應(yīng)變片組成。根據(jù)某一方向上正應(yīng)力與常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)6個應(yīng)力分量之間的關(guān)系，建立了三維應(yīng)力計各分量與常規(guī)應(yīng)力分量之間的關(guān)系，并進一步導出了由三維應(yīng)力計計算常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)的方法。

1 三維應(yīng)力計的結(jié)構(gòu)形式

平面應(yīng)力狀態(tài)包括2個正應(yīng)力和1個剪應(yīng)力，如圖1(a)所示。

平面應(yīng)力狀態(tài)的數(shù)學表達式為

(1)

三維應(yīng)力狀態(tài)包含3個正應(yīng)力和3個剪應(yīng)力，如圖1(b)所示。其數(shù)學表達式為

(2)

式中:σxy=σxy，σxz=σzx，σyz=σzy，即3個正應(yīng)力和3個剪應(yīng)力共6個分量可以完整刻畫一點的應(yīng)力狀態(tài)。因此，要想測得一點的應(yīng)力狀態(tài)，需要測得6個應(yīng)力分量，也即需要6個普通應(yīng)力計。最直觀、最簡單的一種三維應(yīng)力計可以設(shè)計為圖2所示的結(jié)構(gòu)形式。

圖1 一點應(yīng)力狀態(tài)的常規(guī)表示方法Fig.1 The common expression of stress state at a point

圖2 直角式三維應(yīng)力計的結(jié)構(gòu)組成Fig.2 The structure of the right-angle three dimensional stress apparatus

在圖2中，OABC-DEFG為正六面體，OACD為其一角。在相互垂直的3個方向OA、OC和OD上可以布置3個應(yīng)力計a、b和c，在AC、CD和AD方向布置另外3個應(yīng)力計d、e和f。這6個應(yīng)力計分布在不同的方向上，因此可以測得該點6個不同方向上的正應(yīng)力，并進一步可以得到該點基于常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)表示方法的三維應(yīng)力狀態(tài)。

另外一種三維應(yīng)力計的結(jié)構(gòu)形式是基于正四面體的，即在正四面體OABC的六條棱上布置測試元件，如圖3所示。與圖2相比，圖3所示的正四面體結(jié)構(gòu)更為穩(wěn)定，且6個應(yīng)力計均處于同等位置。因此，無論從骨架的穩(wěn)定性方面考慮，還是從現(xiàn)場操作的便利性講，正四面體應(yīng)力計更為合理。

圖3 正四面體式三維應(yīng)力計的結(jié)構(gòu)組成Fig.3 The structure of the regular tetrahedron three dimensional stress apparatus

圖4為2種應(yīng)力計的實物照片。為了保證各測試單元之間的相對角度在施工過程中保持穩(wěn)定，各交叉點處以塑料球鉸相聯(lián)。塑料球鉸有一定剛度但強度較低。它的使用即起到了固定各測試單元的作用，又能保證在較高應(yīng)力狀態(tài)時自動失去聯(lián)結(jié)作用從而確保各測試單元在不受其他測試單元干擾的情況下獨自變形。

圖4 2種三維應(yīng)力計的實物照片F(xiàn)ig.4 The photoes of the three dimensional stress apparatuses

2 三維應(yīng)力計的工作原理

如前所述，只要能測得某點6個不同方向上的正應(yīng)力分量，就可以得到該點的應(yīng)力狀態(tài)。因此，像二維應(yīng)力計可以有多種結(jié)構(gòu)形式一樣，三維應(yīng)力計的結(jié)構(gòu)形式也可以是多種多樣的，而不僅僅限于圖2和圖3這2種特殊形式。但是，不難看出，這2種三維應(yīng)力計最為合理、簡單、實用。首先研究一般形式的三維應(yīng)力計計算方法，再進一步給出圖2和圖3這2種特殊三維應(yīng)力計的計算方法。

在三維空間中，假設(shè)某應(yīng)力測試元件設(shè)置在OA方向，如圖5所示。則OA在x、y、z3個坐標軸方向上的投影l(fā)、m、n分別為

l=sinδcosφ

(3)

m=sinδsinφ

(4)

n=cosδ

(5)

圖5 測試元件在三維空間中的方向余弦Fig.5 The direction consine for a stress gauge

式中:δ為測試元件所在直線與z軸的夾角，φ為該直線在平面xOy上的投影與x軸的夾角，這里將它們通稱為方位角。若已知一點的應(yīng)力狀態(tài)為σij(式(2))，則OA方向的正應(yīng)力為

σn=σxl2+σym2+σzn2+2σxylm+2σyzmn+2σzxnl

(6)

也就是說，給定一點的應(yīng)力狀態(tài)，則任意方向上的正應(yīng)力均可以由式(6)得到。設(shè)6個不同方向上的正應(yīng)力σk為

(7)

式中:k=1,2,3,4,5,6。進一步，可以將式(7)寫成矩陣形式，即

(8)

或

{σk}=T{σj}

(9)

式中:j=x,y,z,xy,yz,zx，而

(10)

因此

(11)

對于圖2所示的直角式布置方案，各應(yīng)力測試元件的方向余弦如表1所示。

表1 直角式三維應(yīng)力計各測試元件的方向余弦Table 1 The direction cosine of stress gauges for the right angle three dimensional stress apparatus

因此，根據(jù)式(10)可以得到

(12)

進一步可以得到

(13)

2.2 正四面體式三維應(yīng)力計

類似于直角式三維應(yīng)力計各測試元件一樣，正四面體式三維應(yīng)力計各測試元件的方位角和方向余弦同樣可以得到，其結(jié)果如表2所示。

表2 正四面體式三維應(yīng)力計各測試元件的方向余弦Table 2 The direction cosine of stress gauges for the regulartetrahedron three dimensional stress apparatus

同樣，根據(jù)式(10)可以得到

(14)

對應(yīng)的逆陣為

(15)

矩陣T存在逆陣的條件是其秩等于6，即

r(T)=6

(16)

因此，組成三維應(yīng)力計的6個測試元件，其布置方法不是隨意的，而應(yīng)滿足式(16)的限定條件。在構(gòu)造其他結(jié)構(gòu)形式的三維應(yīng)力計時，必須核對是否滿足這一基本要求。

3 兩種三維應(yīng)力計的誤差估計

一般認為，誤差包括系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。由三維應(yīng)力計的制作過程產(chǎn)生的、對測試結(jié)果有穩(wěn)定影響的誤差稱為系統(tǒng)誤差。在使用過程中，由于偶然因素產(chǎn)生的呈正態(tài)規(guī)律分布的誤差稱為偶然誤差。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因主要包括以下幾個方面：1)3個測試元件的軸線難以絕對交匯于一點；2)6條棱的長度存在誤差從而影響測試元件之間的角度；3)4個塑料球鉸的物理力學性能存在必然的差異性；4)4個塑料球鉸與測試元件的聯(lián)結(jié)也必然存在差異等。

設(shè)T-1的第j個行向量為rj，即

(17)

則根據(jù)式(11)可以得到σj的系統(tǒng)誤差Δσj為

rj2Δσ2+…+rj5Δσ5+rj6Δσ6

(18)

式中:Δσk為第k個測試元件的系統(tǒng)誤差。為了縮小系統(tǒng)誤差對三維應(yīng)力計測試結(jié)果的影響，應(yīng)針對以上引起系統(tǒng)誤差的原因進行三維應(yīng)力計制作過程中的質(zhì)量控制。另外，三維應(yīng)力計放置位置和放置角度的準確性，也會引起系統(tǒng)誤差。

當然，由三維應(yīng)力計獲得的6個常規(guī)應(yīng)力分量參數(shù)與真值之間也會存在偶然誤差。若第k個測試元件讀數(shù)σk的標準差為δk，則第j個待測應(yīng)力分量σj的標準差δj為

(19)

若6個測試元件的標準差均等于δ0，則

(20)

(21)

對于圖3所示布置方式，各待測應(yīng)力分量的標準差為

(22)

可見，三維應(yīng)力計的結(jié)構(gòu)布置方式和測試時的放置角度，都會影響測試結(jié)果的誤差大小。與圖2所示的布置方式和放置方位相比，圖3所示測試方法的誤差稍大。當某一測試元件與某一待測方向重合或測試元件對稱時，該方向上的應(yīng)力測試值將逼近于真值，也即偶然誤差較?。幌喾?，當某一待測值方向均斜交于各測試元件時，偶然誤差最大。

4 結(jié) 論

基于三維應(yīng)力狀態(tài)理論，設(shè)計了一種能測試受力體內(nèi)部三維應(yīng)力狀態(tài)的裝置——三維應(yīng)力計。該測試裝置由6個單向測試元件組成，且各測試元件的軸線構(gòu)成四面體的6條棱。根據(jù)某一方向上正應(yīng)力與常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)表示方法之間的關(guān)系，建立了三維應(yīng)力計各分量與常規(guī)應(yīng)力分量之間的關(guān)系，并進一步導出了由三維應(yīng)力計計算常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)的方法。最后，對該裝置產(chǎn)生系統(tǒng)誤差和偶然誤差的原因進行了分析和計算，并進一步指出了減小誤差的路徑和方法。

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(編輯 郭 飛)

Principle and errors analysis of the three-dimensional stress apparatuses

ZhangHong1,2，LiShunqun3,ZhangShaofeng3,FengHuiqiang3

(1.College of Transportation,Inner Mongolia University,Hohhot 010070,P.R. China; 2. The Engineering Research Center of Bridge Inspection and Maintenance and Reinforcement of Inner Mongolia,Huhehot 010070,P.R. China;3.School of Civil Engineering,Tianjin Chengjian University,Tianjin 300384,P.R. China)

The traditional stress state is composed of two normal stresses and a shear stress in the two dimensional space,and three normal stresses and three shear stresses in the three dimensional space. Therefore,six stressometers at least are necessary to determine the stress state at a point in space. Based on the stress state theory,a stress apparatus that can detector the three dimensional stress states is devised. The apparatus is made up of six one-way stressometers which are disposed at the edges of a tetrahedron. The tetrahedron is regular of all even arbitrary shaped in theory considering rational,logical,stability and conveniently. The mapping transformation,from the traditional stress state to the stress state illustrated by the edges of the tetrahedron is constructed. Furthermore,the traditional stress state can be derived from the data collected by the three-dimensional stress apparatus,and causes of errors are analyzed.

civil engineering; stress state theory; regular tetrahedron; three-dimensional stress apparatus; transition matrixt

10.11835/j.issn.1674-4764.2015.05.008

2015-04-25 基金項目：國家自然科學基金(51178290、51468047)

張宏(1978-)，男，副教授，博士， 主要從事巖土工程及路基研究,(E-mail)zhanghong3537@126.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China(No. 51178290,51468047)

TU441.33

A

1674-4764(2015)05-0054-06

Received:2015-04-25

Author brief：Zhang Hong(1978-),associate professor,PhD,main research interest: geotechnical engineering,(E-mail) zhanghong3537@126.com.