高階橢圓齒輪參數(shù)化建模與模態(tài)分析

黃志東，趙文珍

（遼寧科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，本溪 117004）

高階橢圓齒輪參數(shù)化建模與模態(tài)分析

黃志東，趙文珍

（遼寧科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，本溪 117004）

0 引言

非圓齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的特征，就是實(shí)現(xiàn)主、從動(dòng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角間的非線性關(guān)系，因此可利用它來代替常用的連桿機(jī)構(gòu)和凸輪機(jī)構(gòu)，并且仍然具有普通圓齒輪的優(yōu)點(diǎn)，如：機(jī)構(gòu)位置緊湊、剛性好、傳動(dòng)平穩(wěn)等[1]。隨著CAD技術(shù)以及數(shù)控技術(shù)的不斷成熟，非圓齒輪的設(shè)計(jì)與加工不斷完善，其應(yīng)用領(lǐng)域也越來越廣[2]。國(guó)內(nèi)的學(xué)者和研究人員對(duì)非圓齒輪已經(jīng)做了大量的研究工作。文獻(xiàn)[3]介紹了非圓齒輪機(jī)構(gòu)所能提供的瞬時(shí)角速比規(guī)律。文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)了幾種常見的凸封閉節(jié)曲線的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[5]建立了用工具斜齒條法加工斜齒非圓齒輪的理論研究數(shù)學(xué)模型。國(guó)外也對(duì)非圓齒輪進(jìn)行了很多研究。文獻(xiàn)[6]詳細(xì)討論了橢圓齒輪副的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了非圓齒輪行星輪系。文獻(xiàn)[8]研究了非圓齒輪與桿系機(jī)構(gòu)的結(jié)合使用。

非圓齒輪的節(jié)曲線呈非圓形，因此確定非圓齒輪各個(gè)輪齒的位置以及各個(gè)輪齒的方向都成為極大的難題[1]。這使得三維建模的難度較大，效率極低，從而影響后續(xù)的有限元分析及運(yùn)動(dòng)仿真等環(huán)節(jié)。參數(shù)化建模是解決此類問題的有效手段[9,10]，因此本文利用CATIA軟件的二次開發(fā)，針對(duì)非圓齒輪中較常見的高階橢圓齒輪進(jìn)行參數(shù)化建模，通過修改輸入的參數(shù)，自動(dòng)生成模型，大大縮短了建模周期，提高了研究效率。同時(shí)對(duì)快速生成的高階橢圓齒輪模型進(jìn)行模態(tài)分析，得到各階模態(tài)固有頻率及振型，并分析了變化規(guī)律。

1 非圓齒輪基本理論

高階橢圓齒輪的節(jié)曲線方程式為：

n為階數(shù)；

a為橢圓的長(zhǎng)半軸；

e為橢圓的偏心率。

各階橢圓齒輪的節(jié)曲線形狀如圖1所示。

圖1 各階橢圓齒輪的節(jié)曲線

由文獻(xiàn)[11]可知，要使高階橢圓齒輪的節(jié)曲線不出現(xiàn)凹形，需滿足的條件為：

為了保證在長(zhǎng)軸上分布輪齒時(shí)，在短軸上分布齒槽，應(yīng)保證高階橢圓齒輪的齒數(shù)為：

式中，N為自然數(shù)。

2 二次開發(fā)程序編制及關(guān)鍵技術(shù)

2.1 二次開發(fā)基本思路

針對(duì)高階橢圓齒輪的特點(diǎn)，二次開發(fā)的基本流程如圖2所示。

圖2 二次開發(fā)基本流程

2.2 關(guān)鍵技術(shù)

2.2.1 獲取極角

由于橢圓齒輪的每一個(gè)輪齒都不相同，所以應(yīng)先計(jì)算出節(jié)曲線上各輪齒位置處的曲率半徑大小以及曲率中心位置，然后才能確定輪齒的方向。

根據(jù)高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)可知，曲線上任意一點(diǎn)處的曲率半徑為：

式中，r為曲線上任意點(diǎn)的極徑。

由式(1)和式(4)可知，只要確定出極角 ，便可計(jì)算出曲率半徑ρ。但是，由于CATIA軟件的內(nèi)部代碼測(cè)量的角度α只能是銳角，這就需要建立極角 與測(cè)量角度α之間的函數(shù)關(guān)系。

以焦點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平向右方向?yàn)閤軸正方向，豎直向上方向?yàn)閥軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則各輪齒所在位置共分為四個(gè)象限，如圖3所示。

2.2.2 確定輪齒位置

輪齒位置的確定，就是將其節(jié)曲線按輪齒數(shù)z等分，每個(gè)等分點(diǎn)即為輪齒中心。但是在CATIA二次開發(fā)中，這個(gè)等分點(diǎn)命令沒有對(duì)應(yīng)的代碼，所以這里采用的方法是，先測(cè)量節(jié)曲線的周長(zhǎng)s，然后計(jì)算第i個(gè)等分點(diǎn)與第一個(gè)等分點(diǎn)的弧長(zhǎng)si，最后分別找到各等分點(diǎn)。

si的計(jì)算公式為：

2.3 二次開發(fā)程序的編制

本文二次開發(fā)程序采用的是VB語言，完整的程序約有1800行。由于篇幅所限，這里只給出二次開發(fā)的部分程序如下：

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以直接在窗體中輸入相關(guān)參數(shù)，其界面如圖4所示。

圖4 輸入?yún)?shù)界面

3 非圓齒輪模態(tài)分析

3.1 非圓齒輪實(shí)體建模

為了研究非圓齒輪的階數(shù)和偏心率對(duì)模態(tài)分析的影響，需要建立大量的各種參數(shù)的模型。為了提高建模效率，所有非圓齒輪的實(shí)體模型都是在CATIA軟件環(huán)境中利用前面的二次開發(fā)程序自動(dòng)生成的。各模型的基本參數(shù)如表1所示。

表1 非圓齒輪模型基本參數(shù)

3.2 劃分網(wǎng)格、添加約束并求解

利用CATIA軟件的有限元分析模塊，選擇四面體單元，并在非圓齒輪孔圓柱面添加固定約束，進(jìn)行求解。圖5給出了n=2，m=1，z=22，e=0.05的卵形齒輪前五階模態(tài)振型圖。

3.3 偏心率對(duì)固有頻率的影響

非圓齒輪偏心率的改變將大大影響其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能。因此，研究偏心率對(duì)非圓齒輪固有頻率的影響是十分必要的。按照表1中的數(shù)據(jù)，對(duì)各非圓齒輪進(jìn)行模態(tài)分析，所得結(jié)果如圖6、圖7和圖8所示。

圖6 偏心率對(duì)橢圓齒輪固有頻率的影響

圖7 偏心率對(duì)卵形齒輪固有頻率的影響

圖8 偏心率對(duì)三階橢圓齒輪固有頻率的影響

經(jīng)分析可得：

1）由圖6～圖8可知，固有頻率隨階數(shù)的增加而增大；

2）由圖6可知，當(dāng)e≥0.25時(shí)，橢圓齒輪前三階固有頻率的大小隨偏心率的增大逐漸減小。當(dāng)e=0.2時(shí)，橢圓齒輪前三階固有頻率最小。由于低階振型對(duì)機(jī)構(gòu)的影響更大，因此在滿足運(yùn)動(dòng)要求的前提下，應(yīng)盡量選擇橢圓齒輪的偏心率在0.25～0.3。

3）由圖7可知，卵形齒輪前三階固有頻率的大小隨偏心率的增大逐漸減小。因此偏心率越大，卵形齒輪的工作狀況越不利。

4）由圖8可知，三階橢圓齒輪前三階固有頻率變化微小。e≤0.06的三條線位于e≥0.08的三條線下方，因此應(yīng)盡量選擇三階橢圓齒輪的偏心率在0.08～0.12。

4 結(jié)論

1）利用CATIA軟件的二次開發(fā)功能，實(shí)現(xiàn)了高階橢圓齒輪參數(shù)化建模。通過輸入?yún)?shù)，便可自動(dòng)生成高階橢圓齒輪模型，大大提高了建模效率。

2）借助于二次開發(fā)程序，快速生成不同參數(shù)的高階橢圓齒輪模型，并完成其有限元模態(tài)分析，得到前五階固有頻率及對(duì)應(yīng)的振型，為動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

3）研究偏心率對(duì)不同階數(shù)的高階橢圓齒輪固有頻率大小的影響，分析表明，偏心率對(duì)高階橢圓齒輪固有頻率影響較大。因此，在設(shè)計(jì)高階橢圓齒輪時(shí)，應(yīng)合理選取偏心率e的取值。

[1]李福生.非圓齒輪與特種齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1983.

[2]吳序堂,王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動(dòng)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1997.

[3]徐輔仁.試探非圓齒輪機(jī)構(gòu)瞬時(shí)角速比規(guī)律[J].機(jī)械傳動(dòng),1991,15(1):40-41.

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[5]侯東海,劉忠明,吳序堂.用工具斜齒條法加工斜齒非圓齒輪的嚙合理論模型[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2003,39(8):49-54.

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Parametric modeling and finite element modal analysis of high-order elliptical gear

HUANG Zhi-dong, ZHAO Wen-zhen

分析高階橢圓齒輪的參數(shù)特征，利用CATIA軟件的二次開發(fā)功能，實(shí)現(xiàn)高階橢圓齒輪的參數(shù)化建模。研究二次開發(fā)中的關(guān)鍵技術(shù)，通過直接輸入?yún)?shù)的方式，自動(dòng)生成一系列高階橢圓齒輪模型，并對(duì)其進(jìn)行有限元模態(tài)分析，闡明偏心率對(duì)不同階數(shù)的高階橢圓齒輪固有頻率的影響。文章的高階橢圓齒輪參數(shù)化建模方法大大提高非圓齒輪的建模效率，所得結(jié)果表明，偏心率的選取對(duì)不同階數(shù)的高階橢圓齒輪固有頻率有較大影響。

非圓齒輪；高階橢圓齒輪；二次開發(fā)；模態(tài)分析；偏心率

黃志東（1979 -），男，遼寧本溪人，講師，博士，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化方面的研究。

TH132.424

A

1009-0134(2015)12(上)-0008-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2015.23.03

2015-07-23

國(guó)家重大科技支撐計(jì)劃（863計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2014BAF08B01）；遼寧科技學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（1406B02）