關(guān)于我國商業(yè)銀行貸款競爭的博弈分析

■ 尹錦霞，高凌云，王 兵

一、引言

自中國加入WTO以來，我國商業(yè)銀行處于與國內(nèi)外大銀行競爭的夾縫中，商業(yè)銀行在進(jìn)行貸款決策時經(jīng)常由于從眾心理而模仿他人做出決策，缺乏明確和長遠(yuǎn)的戰(zhàn)略計劃，導(dǎo)致不能把握正確的金融市場信息，使得自身陷于生存空間受到多方擠壓的社會形勢。

國內(nèi)外學(xué)者對商業(yè)銀行在新時期的發(fā)展和競爭關(guān)系進(jìn)行了大量的研究和探索，運(yùn)用了不同的方法對商業(yè)銀行貸款業(yè)務(wù)發(fā)展、貸款決策等問題進(jìn)行分析，內(nèi)容豐富且研究的側(cè)重點(diǎn)不同，為商業(yè)銀行的發(fā)展提供了啟示和建議。方蘭認(rèn)為博弈論作為重要的經(jīng)濟(jì)理論和方法，對我國商業(yè)銀行的經(jīng)營決策活動以及社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展分析具有重要意義。劉張君運(yùn)用合作博弈理論分析了商業(yè)銀行協(xié)會內(nèi)部治理機(jī)制，姚洪興等建立了雙寡頭有限理性廣告競爭博弈模型，并指出當(dāng)參與人對市場的反應(yīng)速度變化時,將會出現(xiàn)倍周期分叉和混沌現(xiàn)象。Bischi和Agiza等人分別給出了基于有限理性預(yù)期的具有線性成本的雙寡頭博弈模型和具有非線性成本的雙寡頭博弈模型，并建立了逆需求函數(shù)改變時的雙寡頭博弈模型。

綜合全文，主要討論以下兩方面內(nèi)容：一、在有限理性和不完全信息的條件下，建立商業(yè)銀行貸款競爭的博弈模型，分析模型中納什均衡點(diǎn)及其穩(wěn)定區(qū)域。二、為確切模擬商業(yè)銀行貸款競爭的狀態(tài)和金融市場的特點(diǎn)，引入變動成本和風(fēng)險系數(shù)等參數(shù)。對在數(shù)值模擬過程中出現(xiàn)的周期倍化分叉和混沌現(xiàn)象進(jìn)行深入分析，并給出合理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。

二、模型的建立

（一）模型滿足的假設(shè)

1.博弈論應(yīng)當(dāng)基于這樣一個假設(shè)上：博弈雙方都是基于有限理性而進(jìn)行貸款決策的。

2.假設(shè)模型為雙寡頭離散動力學(xué)模型，兩家商業(yè)銀行分別為博弈方1和博弈方2。每家銀行在進(jìn)行貸款決策時，都處于不完備信息狀態(tài)。

（二）相關(guān)變量的定義

表1 變量的字母表示形式

根據(jù)以上變量，結(jié)合博弈的過程，我們知道：

1.第k期貸款量總額為：

2.第k期貸款的利率由該期的貸款總量決定，即：

3.銀行的利潤與銀行的存貸款總量分別為ωi（k）和 pi（k）、中間業(yè)務(wù)收入 yi、變動成本 ci、固定成本di以及風(fēng)險系數(shù)xi有關(guān)，綜合以上影響因素，得出第i家銀行的利潤函數(shù)∏i的表達(dá)形式：

上式整理可得：

4.聯(lián)立（1）（4）式，并對（4）式求取關(guān)于 pi的一階偏導(dǎo)數(shù)，得出第i家銀行的邊際利潤，表達(dá)式如下：

即得以下方程組：

5.現(xiàn)實(shí)中商業(yè)銀行并不具有完全的市場信息，因此不能完全預(yù)測未來的貸款變化的情況下，他們主要是基于部分信息而做出未來的貸款決策的。

當(dāng)（6）式的值，即利潤函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)越大時，利潤函數(shù)的自變量（貸款量）每增加一單位所引起的利潤的單位增量就越大。也就是說，商業(yè)銀行在某一時期邊際利潤相對較大時，單位資金的貸款量將為銀行帶來更大的收益。在這種情況下，銀行會在下一時期提高貸款量。同理，當(dāng)邊際利潤為負(fù)值，則銀行就會相應(yīng)減少在下一期的貸款量以減少損失。因此商業(yè)銀行每相鄰兩期的貸款金額滿足以下關(guān)系：

由（7）式得商業(yè)銀行的利潤競爭模型為：

聯(lián)立（6）、（8）兩式，可得：

方程組（9）反映了相鄰兩期的貸款量關(guān)系，并以第k期的貸款量表示第k+1期的貸款量。對系統(tǒng)（9）進(jìn)行動態(tài)博弈分析，尋找能使系統(tǒng)處于納什均衡的不動點(diǎn)，并分析系統(tǒng)在納什均衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性與各參數(shù)的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識，得出各均衡點(diǎn)所對應(yīng)的商業(yè)銀行競爭狀態(tài)。

三、模型的分析

為達(dá)到納什均衡，我們假設(shè)系統(tǒng)（9）滿足以下條件：

聯(lián)立（9）、（10）計算可得系統(tǒng)有四個不動點(diǎn)，分別為：

表2 系統(tǒng)（9）的不動點(diǎn)

以上是該模型不動點(diǎn)，下面將對這四個不動點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行詳細(xì)的分析。上表中不動點(diǎn)M1、M2、M3均為有界均衡點(diǎn)，而M4為納什均衡點(diǎn)。因?yàn)樯虡I(yè)銀行的貸款量不可能為負(fù)值，也就是說，a-xi-ci≥0，（i=1，2）且 a-2（xi+ci）+（xj+cj）≥0，（i，j=1，2；i≠j），因此不動點(diǎn)滿足以上結(jié)論。

定理1：有界均衡點(diǎn)M1是不穩(wěn)定的。

證明：運(yùn)用Jacobi矩陣①Jacobi矩陣：雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。及其特征值的知識對不動點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行如下的分析，在不動點(diǎn)M1=（0，0）處的Jacobi矩陣為：

令矩陣 J（M1）的特征值為 λ1（M1）、λ2（M1），由│λE-J（M1）│=0(其中 E 為單位矩陣)得矩陣的兩個特征值為 λ1（M1）=1+δ1[a-x1-c1]，λ2（M1）=1+δ2[a-x2-c2]。

我們知道 a-xi-ci≥0，（i=1，2）， 因此 λ1（M1）、λ2（M1）≥1，δ＞0，對于該 Jacobi矩陣，特征值均大于 1，因此可得出結(jié)論：不動點(diǎn)M1是不穩(wěn)定的。在經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度看來，商業(yè)銀行的經(jīng)營目的是為了獲取更大的利潤，如果商業(yè)銀行的貸款量為零，則商業(yè)銀行可能處于虧損狀態(tài)，對于任何一個經(jīng)營者而言這都是不愿接受的結(jié)果。因此商業(yè)銀行雙方均會提高貸款量以獲取正利潤，商業(yè)銀行的這種行為將導(dǎo)致貸款量均為零這一均衡情況不穩(wěn)定。得證有界均衡點(diǎn)M1是不穩(wěn)定的。

定理2：有界均衡點(diǎn)M2、M3是不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，不動點(diǎn)M2表示當(dāng)?shù)谝患毅y行但是這種情況是不可能存在的。近些年來我國商業(yè)銀行的中間業(yè)務(wù)收入所占比例還處于較低情況，商業(yè)銀行的盈利主要來源于貸款收入，當(dāng)其中一家銀行的貸款量為0時，另一家銀行的貸款量則為身貸款量而打破均衡狀態(tài)以獲取更大利潤，同時另一家商業(yè)銀行也會采取相應(yīng)的措施以阻止對方對貸款市場的占領(lǐng)。

也就是說，不動點(diǎn)M2是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。同理，不動點(diǎn)M3也是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。該點(diǎn)表示的是商業(yè)銀行間不可能穩(wěn)定存在的一種競爭狀態(tài)。得證有界均衡點(diǎn)M2，M3是不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

定理3：若納什均衡點(diǎn)M4滿足朱里準(zhǔn)則，則該點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)。

令矩陣 J（M4）的特征值為 λ1（M4）、λ2（M4），由│λE-J（M4）│=0(其中 E 為單位矩陣)得矩陣的兩個特征值滿足以下方程：

上式中tr J矩陣的J的跡，det J為矩陣J所對應(yīng)的行列式的值。于是有：

（14）式是關(guān)于λ的二次函數(shù)，Jacobi矩陣有兩個互異實(shí)特征值的條件是

聯(lián)立（15）、（16）式得：

由（14）式可得：該方程的各項(xiàng)系數(shù)分別為：a2=1，a1=tr J，a0=det J。 若滿足朱里（Jury）準(zhǔn)則，則有以下三式：

以上三式中，顯然（18）滿足，要使納什均衡點(diǎn)M4是穩(wěn)定的，（19）（20）式也必須滿足，故聯(lián)立兩式得：

（21）式所表示的數(shù)值局域?yàn)榧{什均衡點(diǎn)M4的穩(wěn)定區(qū)域。我們需要研究銀行貸款調(diào)整速度對均衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響，即研究滿足上式的δ的取值范圍。令第一、二家商業(yè)銀行的貸款調(diào)整速度組成的坐標(biāo)為（δ1，δ2），由（21）以及 δ1，δ2為正數(shù)，可得不等式組：

以上四條不等式分別表示雙曲線圖上半瓣的下部與下半瓣的上部的交集、直線圖下部、橫坐標(biāo)的上部、縱坐標(biāo)的右部，而不等式組（22）表示這四部分的交集。為了研究穩(wěn)定區(qū)域大小，需找出雙曲線、直線、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有以下方程：

由方程(23)可得，雙曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為

Q1=（0，0）

同時可知雙曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)位于雙曲線的下瓣，即雙曲線下瓣經(jīng)過原點(diǎn)，則上瓣位于第一象限。由方程(24)可得，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為

可知，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)位于坐標(biāo)軸正半軸，即直線經(jīng)過第一象限。至此可知，不等式組(22)的解必定存在，即穩(wěn)定區(qū)域必非空。聯(lián)立方程(23)(24)可得，直線與雙曲線交點(diǎn)滿足以下方程：

方程組 (26) 第一式中，△=（-6bβ1）2-4·3b2β12·4=-12b2β12＜0，直線與雙曲線無交點(diǎn)，即雙曲線上瓣位于直線上方。因而，穩(wěn)定區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo)軸與方程(24)表示的直線所圍成的區(qū)域，區(qū)域大小僅與邊界坐標(biāo)Q2，Q3有關(guān)；Q2縱坐標(biāo)越大，Q3橫坐標(biāo)越大，穩(wěn)定區(qū)域越大。

以上證明可知，納什均衡點(diǎn)M4在滿足朱里準(zhǔn)則的條件下是穩(wěn)定的，即商業(yè)銀行的貸款調(diào)整速度不超出方程組(22)所確定的穩(wěn)定區(qū)域，在多次博弈后，博弈雙方最終才能達(dá)到區(qū)域平衡點(diǎn)。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴于系統(tǒng)參數(shù)，將在第四部分對參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析和模擬。原命題得證。

實(shí)際上，商業(yè)銀行的貸款量調(diào)整速度在反復(fù)博弈達(dá)到納什均衡時，銀行將獲得最大利潤，將該不動點(diǎn)M4代入(4)式求得的兩家銀行的利潤分別是：

從以上分析可知，貸款量調(diào)整速度δi的取值并不改變納什均衡點(diǎn)，而風(fēng)險系數(shù)xi和變動成本ci則會直接影響到納什均衡點(diǎn)的貸款量。從Q2，Q3的計算公式(25)可知，當(dāng) xi，ci比較小時，穩(wěn)定區(qū)域也比較??；實(shí)際上表明，風(fēng)險系數(shù)和變動成本都比較低時，銀行會加大貸款量，而貸款量的加大將對穩(wěn)定性產(chǎn)生較大影響；國家應(yīng)該利用宏觀調(diào)控，適當(dāng)限制銀行的貸款量，以維持市場的穩(wěn)定。我們將在下文進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證以上觀點(diǎn)。

四、數(shù)值模擬

為了更好地了解系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，通過以下六組數(shù)據(jù)對系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)演化過程，通過數(shù)值模擬，研究相關(guān)參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。其中，參數(shù)xi，ci分別取以下六組數(shù)據(jù)，參數(shù)a均取值為1。

表3 參數(shù)的六組模擬數(shù)據(jù)

將以上數(shù)據(jù)代入公式(25)，可作出穩(wěn)定區(qū)域，如下的陰影區(qū)域：

圖1 六組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定區(qū)域（陰影部分）

圖1 表明參數(shù)xi，ci取表3中的指定數(shù)值時，δ1，δ2取陰影部分點(diǎn)值時納什均衡點(diǎn)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。從圖 1（a）（f）可發(fā)現(xiàn)，以（a）為參照系，參數(shù) xi，ci同時增大時，穩(wěn)定區(qū)域擴(kuò)大，再分析圖 1（a）（b）（c）或（a）（d）（e），同樣以（a）為參照系，參數(shù) xi，ci其中一個保持不變，另一個參數(shù)增大時，也得出穩(wěn)定區(qū)域擴(kuò)大。從以上動態(tài)演化過程可知，風(fēng)險系數(shù)和變動成本都比較低時，這說明商業(yè)銀行的管理水平和業(yè)務(wù)水平比較高，此時銀行將加大貸款力度以獲取更大的利潤，而貸款量過度增加的這種行為將導(dǎo)致金融市場的動蕩，穩(wěn)定區(qū)域?qū)p小。因此從圖1分析可得出結(jié)論，貸款量的調(diào)整速度δ1，δ2應(yīng)適當(dāng)控制，在國家的宏觀調(diào)控下，銀行適當(dāng)控制貸款量調(diào)整速度和貸款量將有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性增加，以降低金融市場風(fēng)險。

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的演化過程，取一定數(shù)值的參數(shù)進(jìn)行演化模擬，參數(shù)取值為下表4：

表4 演化模擬參數(shù)值

通過計算可以得到，兩組參數(shù)的不動點(diǎn)均為M4=（0.53，0.53），第一組參數(shù)滿足不等式(21)，不動點(diǎn)穩(wěn)定，而第二組參數(shù)不滿足不等式(21)，則不動點(diǎn)不穩(wěn)定。 取貸款量初始值 p1（0）=0.48，p2（0）=0.59，代入方程組(9)進(jìn)行迭代計算，得到如下圖2的演化過程：

圖2 貸款量演化過程

從以上圖2(a)和(b)可看出，隨著時間的推移，貸款量漸趨于穩(wěn)定，驗(yàn)證了第一組參數(shù)下M4=（0.53，0.53）為穩(wěn)定的不動點(diǎn)；從圖 2(c)和(d)可看出，貸款量在pi（k）=0.53上下有加大幅度的波動，驗(yàn)證了第二組參數(shù)下不動點(diǎn)M4=（0.53，0.53）不穩(wěn)定。

為再進(jìn)一步研究參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響，可計算出k≥50時，pi（k）的取值情況，其中參數(shù)為表4中的值，而δ2從0到4均勻取100個值分別進(jìn)行計算，得到如下圖3所示：

圖3 貸款量分叉圖

以上圖3表明，貸款期數(shù)50≤k≤70時，貸款量pi（k）會隨著δ2的增加，經(jīng)過倍周期分叉通向混沌?；煦绗F(xiàn)象是兩家銀行都不希望發(fā)生的，這會導(dǎo)致銀行難以做出長期的計劃，銀行的貸款調(diào)整速度跟不上市場的變化，無法獲得穩(wěn)定的利潤，甚至導(dǎo)致整個金融市場的不穩(wěn)定。因而，應(yīng)當(dāng)通過國家宏觀調(diào)控等方式對銀行的貸款量調(diào)整速度加以限制，維持我國經(jīng)濟(jì)的健康穩(wěn)定發(fā)展。

五、結(jié)論

現(xiàn)實(shí)社會中，商業(yè)銀行在進(jìn)行決策時并不能獲取完備信息，因此銀行的貸款決策是有限理性的，并且在進(jìn)行貸款決策的同時要考慮變動成本和風(fēng)險系數(shù)等系統(tǒng)參數(shù)。在分析過程中得出商業(yè)銀行通過調(diào)整風(fēng)險系數(shù)等參數(shù)以使貸款量控制在一定范圍內(nèi)，有利于商業(yè)銀行做出合理的貸款決策。數(shù)值模擬和演化分析表明當(dāng)銀行的貸款量調(diào)整速度滿足一定條件時，在有限次博弈后系統(tǒng)可達(dá)到納什均衡的穩(wěn)定狀態(tài)，即商業(yè)銀行的貸款量趨于穩(wěn)定。否則，商業(yè)銀行會爭相調(diào)整貸款量導(dǎo)致貸款量調(diào)整速度迅速改變，破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。商業(yè)銀行在無休止的動態(tài)博弈下可能出現(xiàn)周期倍化分叉和混沌現(xiàn)象。在這種情況下，銀行業(yè)的長期規(guī)劃會受到較大的影響，其利潤率難以得到保證。再加上過大的市場波動性及不穩(wěn)定性，銀行的貸款存量調(diào)整速度難以趕上市場波動，因此不利于商業(yè)銀行的長期發(fā)展。模型對系統(tǒng)中出現(xiàn)的各種情況給出了經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，可為商業(yè)銀行貸款決策提供參考。

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