有理數(shù)域上一類不可約多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單推廣

黎智

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

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有理數(shù)域上一類不可約多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單推廣

黎智

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

摘要:若a1，a2，…，an是n－1個(gè)不同的整數(shù)，證明了當(dāng)n≥4時(shí)，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理數(shù)域Q上不可約;當(dāng)n≥3時(shí)，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理數(shù)域Q上不可約．

關(guān)鍵詞:有理數(shù)域;多項(xiàng)式;不可約;系數(shù);次數(shù)

有理系數(shù)多項(xiàng)式、整系數(shù)多項(xiàng)式是數(shù)論研究的重要類容，研究數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式就好比研究整數(shù)中的素?cái)?shù)一樣重要．在代數(shù)中已經(jīng)證明如果一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積．也就是說(shuō)，在Z上不可約的整系數(shù)多項(xiàng)式，在Q上也不可約．因此，關(guān)于有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性問(wèn)題，可以簡(jiǎn)化為討論整系數(shù)多項(xiàng)式在整數(shù)環(huán)上的可約性問(wèn)題．而判別一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式是否可約，常常是困難的．在這方面比較著名的方法有以下幾類:

Ⅰ通過(guò)多項(xiàng)式的系數(shù)和某素?cái)?shù)的整除關(guān)系來(lái)判定不可約，如Eisenstein判別法及其推廣形式［1－2］．

Ⅱ通過(guò)比較多項(xiàng)式系數(shù)的大小來(lái)判別不可約，如Perron判別法及其改進(jìn)形式［3－4］．

Ⅲ通過(guò)計(jì)算f( x)在Z上的取值來(lái)判別不可約，如命題1．

Ⅳ通過(guò)輔助多項(xiàng)式根的取值來(lái)判別不可約，如命題2．

命題2［3］設(shè)a1，a2，…，an是彼此不相同的整數(shù)，則

1) f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理數(shù)域Q上不可約;

2) f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理數(shù)域Q上不可約．

定理及其證明如下:

命題2實(shí)則是Schur本世紀(jì)初提出的兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，已經(jīng)得到了證明，此處在此基礎(chǔ)上做了一個(gè)簡(jiǎn)單的推廣，主要結(jié)果是:

定理1設(shè)a1，a2，…，an是n－1個(gè)不同的整數(shù)，則

1)當(dāng)n≥4時(shí)，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理數(shù)域Q上不可約;

2)當(dāng)n≥3時(shí)，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理數(shù)域Q上不可約．

證明1)不妨設(shè)an=a1，則f( x) = ( x－a1)2( x－a2)…( x－an－1)－1．若f( x)在Q上可約，可設(shè)f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系數(shù)多項(xiàng)式; 1≤°( fi( x) )＜n( i = 1，2)，其中，( f( x) )表示f( x)的次數(shù)，由于f( ai) =－1，i= 1，2，…，n，故f1( ai) =±1，f2( ai) =1，i= 1，2，…，n，即f1( ai) +f2( ai) = 0，i= 1，2，…，n．若f1( x) +f2( x)的次數(shù)小于n－1，則f1( x) +f2( x) = 0，即f1( x) =－f2( x)，f( x) =－( x)，因?yàn)閒( x)的最高項(xiàng)系數(shù)是1，此不可能．

故f1( x) +f2( x)的次數(shù)只能等于n－1．不妨令( f1( x) ) = n－1，則( f2( x) ) = 1，此不可能．因?yàn)楦鶕?jù)文獻(xiàn)［5］引理1的證明可知，當(dāng)n≥4時(shí)，即n－1≥3，對(duì)于任何整數(shù)x'，要么( x'－a1)2( x'－a2)…( x'－an－1) = 0，要么式，與( f2( x) ) = 1矛盾．

綜上，當(dāng)n≥4時(shí)，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理數(shù)域Q上不可約．

2)不妨設(shè)an=a1，則f( x) = ( x－a1)4( x－a2)2…( x－an－1)2+1．顯然f( x)沒(méi)有實(shí)根，若f( x)在Q上可約，類似1)可設(shè)f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，1≤( fi( x) )＜n( i=1，2)．因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，f( x)＞0，不妨設(shè)對(duì)所有實(shí)數(shù)f1( x)＞0，f2( x)＞0，由于f( ai) = 1，i=1，2，…，n，故f1( ai) = f2( ai) = 1，i=1，2，…，n．若fi( x) ( i= 1，2)的次數(shù)小于n－1，則fi( x)≡1( i=1，2)，與所設(shè)不和，故只可能是以下兩種情形:，所以f( x')≠0，因此f( x)沒(méi)有一次有理因

或者

當(dāng)n≥3時(shí)，對(duì)于式( 1)，可令

其中a，b，p，q為整數(shù)，由f( x) = f1( x) f2( x)可知

比較左右兩端系數(shù)得

即

化簡(jiǎn)得( x－a1)2+1=0，此不可能．

對(duì)于式( 2)，類似式( 1)，可令

其中c，d，m，n為整數(shù)，由f( x) = f1( x) f2( x)可知

比較等式左右兩邊系數(shù)得

即

解得x=a1，與xai矛盾．

參考文獻(xiàn):

［1］王萼芳，石生明．高等代數(shù)［M］．3版．北京:高等教育出版社，2007

［2］趙敦，羅彥峰，雷鵬．Eisenstein判別法的一個(gè)推廣［J］．高等理科教育，2005( 6) : 38-39

［3］柯召，孫琦．?dāng)?shù)論講義(下)［M］．北京:高等教育出版社，1987

［4］王瑞．判定Q上多項(xiàng)式不可約的一種方法［J］．?dāng)?shù)學(xué)研究與評(píng)論，2002，22( 4) : 679-684

［5］張衛(wèi)，史滋福．有理數(shù)域上的一類不可約多項(xiàng)式［J］．湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，21( 1) : 5-7

Simple Generalization of a Class of Irreducible Polynomials in Rational Number Field

LI Zhi

( College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Abstract:Suppose a1，a2，…，anare different Integers of n－1．This paper proves that if n≥4，the polynomial f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1 is irreducible in the rational number range Q，and if n≥3，the polynomial f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1 is irreducible in the rational number range Q．

Key words:rational number field; irreducible polynomial; coefficients; degree

作者簡(jiǎn)介:黎智( 1990-)，男，重慶奉節(jié)人，碩士研究生，從事數(shù)論研究．

收稿日期:2014－06－18;修回日期: 2014－10－08．

doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0005．007

中圖分類號(hào):O156

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1672－058X( 2015) 05－0023－03