機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異一體化分析現(xiàn)狀與創(chuàng)新

羅建國

(華北科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，北京東燕郊 101601)

0 引言

機(jī)構(gòu)是由運(yùn)動(dòng)副和構(gòu)件組合而成，運(yùn)動(dòng)副和構(gòu)件的組合是不是機(jī)構(gòu)、能完成什么運(yùn)動(dòng)、運(yùn)動(dòng)范圍是什么、運(yùn)動(dòng)有無異常情況、……，這些屬于機(jī)構(gòu)學(xué)研究中自由度(F)分析、工作空間(W)分析、奇異(S)分析等科學(xué)問題，要解決這些科學(xué)問題，就要找到能夠適合機(jī)構(gòu)這些特性分析的理論和方法，為此人類付出了艱辛的努力。

1 機(jī)構(gòu)自由度研究現(xiàn)狀

針對機(jī)構(gòu)自由度的研究，從契貝舍夫開始過去的一百五十年來提出了幾十種公式和方法，從方法的原理上看，可以分為如下六類:

第一類，Chebychev、Grübler、Kutzbach、Tsai［1］等提出的方法，這類方法確定自由度僅僅依據(jù)機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)目、運(yùn)動(dòng)副數(shù)目和運(yùn)動(dòng)副所具有的自由度數(shù)目、獨(dú)立環(huán)的數(shù)目等參數(shù)之間的關(guān)系。缺點(diǎn)是沒有考慮過約束，存在眾多反例。

第二類，Moroskine、Fayet 等［2］提出的方法，這類方法先建立機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)約束方程，然后計(jì)算其秩，或者采取獨(dú)立閉環(huán)的閉合方程數(shù)來分析機(jī)構(gòu)的自由度。缺點(diǎn)是不具有普遍適用性。

第三類，Angeles和 Gosselin［3］提出的方法，提出對機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣計(jì)算其零空間以確定機(jī)構(gòu)的自由度。缺點(diǎn)是零空間的計(jì)算非常復(fù)雜困難，不能適應(yīng)復(fù)雜機(jī)構(gòu)及其自由度性質(zhì)。

第四類，Hervé、Li Zexiang 等［4］提出的方法，這類方法基于數(shù)學(xué)的“群論”、“李代數(shù)”和微分幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)。缺點(diǎn)是所依賴的高深數(shù)學(xué)理論掌握推廣困難，且只能分析部分機(jī)構(gòu)的自由度。

第五類，Waldron，Hunt等［5］者提出的方法，這類方法基于螺旋理論，方法的基本思想是分析對應(yīng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系，確定運(yùn)動(dòng)螺旋系的秩而后再求自由度。缺點(diǎn)是不能適用于并列機(jī)構(gòu)及解決形形色色的復(fù)雜問題。

第六類，黃真等基于反螺旋理論提出的自由度方法，以反螺旋來重新定義公共約束，并給出了統(tǒng)一有效的修正G-K公式，能夠解決Gogu提出的那些過約束機(jī)構(gòu)［6］。缺點(diǎn)是沒有實(shí)現(xiàn)與工作空間、奇異的一體化分析。

除了上述典型的六種方法之外，還有一些其它方法，如Shukla和Whitney、楊廷力、Wampler和Larson、Rico 等、Müller、張一同均發(fā)表關(guān)于機(jī)構(gòu)自由度方面的文章，其中楊廷力提出的基于位姿特征方程的自由度方法、Gogu提出的基于線性變換的自由度方法比較系統(tǒng)，但均不能針對所有機(jī)構(gòu)普遍適用［7］。

2 機(jī)構(gòu)工作空間研究現(xiàn)狀

機(jī)構(gòu)的自由度確定以后，對機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行深入分析是機(jī)構(gòu)分析和走向?qū)嵱没闹匾A(chǔ)。機(jī)構(gòu)的工作空間是機(jī)構(gòu)輸出末端的工作區(qū)域，它是衡量機(jī)構(gòu)性能的重要指標(biāo)。串聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析比較容易，但并聯(lián)機(jī)構(gòu)和混聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的解析求解是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，它在很大程度上依賴于機(jī)構(gòu)位置解的研究成果，目前比較通用的還只有數(shù)值解法和解析法。

數(shù)值解法的核心算法是，根據(jù)工作空間邊界必為約束起作用邊界的性質(zhì)，利用位置逆解和K-T條件搜索邊界點(diǎn)集。主要有網(wǎng)格法、Jocobi法、Monte Carlo法和優(yōu)化法，這些算法一般需要依賴于位置逆解。且需固定末端執(zhí)行器姿態(tài)，故在不同程度上存在著適用性差、計(jì)算效率和求解精度低等缺點(diǎn)。Cleary和Arai應(yīng)用網(wǎng)格法，通過離散關(guān)節(jié)空間，求出末端位姿，從而構(gòu)造工作空間。黃真在文獻(xiàn)中采用優(yōu)化法，根據(jù)約束方程的限制作用，通過逆解構(gòu)造工作空間邊界。Masory等［8］采用數(shù)值積分的方法計(jì)算工作空間的體積，比較接近實(shí)際，高峰等在其研究基礎(chǔ)上，提出一種球坐標(biāo)搜索法，該方法具有效率高和簡易的特點(diǎn)。張建業(yè)等利用數(shù)值法對一正交機(jī)器人機(jī)構(gòu)工作空間進(jìn)行分析，運(yùn)紅麗等用三維邊界搜索法繪制3-UrPS并聯(lián)機(jī)器的工作空間的實(shí)體圖和截面圖［9］，Cornel等［10］利用遺傳算法對一可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行了工作空間的分析和計(jì)算，Cheng等［11］采用離散算法對一并聯(lián)微操作機(jī)器人平臺(tái)的工作空間進(jìn)行了分析，其它類似成果和工作就不再例舉。

解析法的基本思路是，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)拆解成若干單開鏈，利用曲面包絡(luò)論求解各單開鏈子空間邊界，再利用曲面求交技術(shù)得到整體工作空間邊界。為了確定并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的工作空間，通常需要其位置正解。因位置正解求取的復(fù)雜性，使用位置逆解分析工作空間比較簡單。具有代表性的工作有Jo等提出后經(jīng)Gosselin發(fā)展的幾何法，該方法將工作空間邊界構(gòu)造歸結(jié)為對12張球面求交問題。Merlet在此基礎(chǔ)上通過引入鉸鏈約束和支撐桿干涉做了更加深入的工作，他還研究了固定動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)，求解相應(yīng)極限姿態(tài)空間的解析方法。劉辛軍等［12］運(yùn)用幾何法和CAD平臺(tái)求得6-RTS并聯(lián)機(jī)器人的位置工作空間，OEzguer等運(yùn)用幾何法對一平面機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行了分析，Mats等用解析法與包絡(luò)論結(jié)合的方法對一種新型六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行分析［13］，He等［14］運(yùn)用三維仿真技術(shù)和解析法結(jié)合對一欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人手腕進(jìn)行了工作空間模擬和分析。

無論采用數(shù)值法或是幾何法求解機(jī)構(gòu)的工作空間，主要工作都是要找到工作空間的邊界，其中都存在無效的位置(點(diǎn))，解析法和數(shù)值法都各具有不足，不能適用于所有機(jī)構(gòu)類型，也不能將機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異綜合一體分析，結(jié)果不能直觀具體反映機(jī)構(gòu)自由度(數(shù)目、構(gòu)成)、工作空間(形狀、體積、布局)、奇異(形狀、體積、布局)。雖然有一些學(xué)者從其他的角度對工作空間的問題進(jìn)行了探討，其中值得一提的是天津大學(xué)的黃田等提出以微分幾何和集合論為工具，提出一種Stewart并聯(lián)機(jī)器人工作空間解析建模的方法，該方法應(yīng)用單參數(shù)曲面族包絡(luò)理論，將工作空間邊界問題歸結(jié)為對若干變心球面族的包絡(luò)面求交問題，并提出了用截平面法求解工作空間邊界的高效算法，雖然具有綜合多種數(shù)學(xué)理論和方法，具有一定的創(chuàng)新性，但這些新方法只針對特定研究對象，不夠普適和系統(tǒng)，也不能將機(jī)構(gòu)工作空間與自由度、奇異綜合一體分析，故應(yīng)用范圍比較有限，局限性比較明顯。

3 機(jī)構(gòu)奇異研究現(xiàn)狀

工作空間之間或內(nèi)部有什么特殊分布情況和關(guān)系，屬于機(jī)構(gòu)奇異分析，奇異位形是機(jī)構(gòu)固有的性質(zhì)，它對機(jī)構(gòu)的工作性能有著嚴(yán)重的影響。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于某些特定的位形時(shí)，機(jī)構(gòu)的輸入構(gòu)件失去了對輸出構(gòu)件的控制能力，因此在設(shè)計(jì)和應(yīng)用機(jī)構(gòu)時(shí)應(yīng)該避開奇異位形。同時(shí)，奇異位形的研究是合理確定有效工作空間、制定各向同性、可操作性、靈活性等性能指標(biāo)的基礎(chǔ)。

對機(jī)構(gòu)奇異的研究近年來主要集中在并聯(lián)機(jī)構(gòu)領(lǐng)域，主要的研究方法有:Gosselin等提出的基于機(jī)構(gòu)輸入輸出速度的分析方法;Grassman線幾何方法，如文獻(xiàn)［15］、［16］均利用該方法分別對一3T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)、并聯(lián)髖關(guān)節(jié)試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行奇異分析;雅可比矩陣分析方法，如文獻(xiàn)［17］、［18］均利用該方法分別對一四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)、六自由度工業(yè)機(jī)器人的奇異進(jìn)行分析;Hunt基于螺旋理論對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行奇異分析，并將奇異分為固定和不確定奇異位形;黃真等基于螺旋理論，提出了奇異的運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，并據(jù)此得出一種新的判斷并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)奇異的簡捷方法，此運(yùn)動(dòng)學(xué)法是一種普遍適用于多種并聯(lián)機(jī)器人奇異求解。Kong等利用螺旋系的分類特性對一并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行奇異分析，韓先國等基于反螺旋理論對3UPSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)單支鏈驅(qū)動(dòng)奇異進(jìn)行了分析［19］，此類研究工作較多，在此不再贅述。

雅可比矩陣法要建立并求解6×6的矩陣，由于表達(dá)式過于復(fù)雜，難以深入分析奇異的性質(zhì)。Grassman線幾何法驗(yàn)證奇異方便，但難以得到奇異的整體分布規(guī)律?；诼菪头绰菪碚摰臋C(jī)構(gòu)奇異分析方法適合于理想形式(給定運(yùn)動(dòng)副空間軸線、給定構(gòu)件間連接關(guān)系、不限制運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)范圍、不限定構(gòu)件尺寸的機(jī)構(gòu)形式)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且結(jié)果不能直觀具體反應(yīng)其意義和構(gòu)成。所有三種方法均未實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異的綜合一體分析，且不能普遍適用于如圖1所示的虛幻形式和真實(shí)形式的所有機(jī)構(gòu)類型(串聯(lián)機(jī)構(gòu)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)、混聯(lián)機(jī)構(gòu))。

另外還有一些學(xué)者采用其他的方法，對并聯(lián)機(jī)器人的奇異問題進(jìn)行了研究。沈輝等［20］提出針對一般并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形分類和判定方法，這種方法易于計(jì)算，且具有明顯的幾何和物理意義。Yu等利用可視化繪圖方法對二自由度轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行奇異和活動(dòng)能力分析，Choi等采用幾何方法對一平面純轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行奇異分析，這些方法只針對具體研究對象提出，適應(yīng)范圍有限［21］。

研究機(jī)構(gòu)奇異的目的是如何避開工作空間中的奇異位形，所以，如何描繪出全部奇異位形是實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的前提。要完整的描述奇異形位的特征，如三維/二維/一維空間的形狀、體積(范圍)、分布特性，參數(shù)化的表示出這些特性有利于機(jī)構(gòu)可控性的提高，但這樣的描述非常困難，目前還沒有文獻(xiàn)發(fā)表［22］。

4 F、W、S一體化分析現(xiàn)狀與不足

縱觀國內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)研究在機(jī)構(gòu)自由度分析、工作空間分析、奇異分析方面的理論和方法，可以總結(jié)歸納為如下兩類情況(如圖1所示)。

第一類，除了黃真教授提出的基于反螺旋理論的機(jī)構(gòu)自由度求解方法適用于所有理想狀態(tài)的現(xiàn)有機(jī)構(gòu)類型，其它理論方法僅僅適用于部分機(jī)構(gòu)的自由度求解。所有理論方法均只能針對機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異的部分特性進(jìn)行分析研究，而不能將自由度、工作空間、奇異綜合一體分析研究。

第二類，部分現(xiàn)有理論方法對真實(shí)型的機(jī)構(gòu)某些特性可以進(jìn)行分析研究，如解析幾何、微分幾何、線幾何、拓?fù)渑c群等理論方法，均只能針對機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異的部分特性進(jìn)行分析研究，而不能綜合一體分析研究。

所有前述理論和方法均有各自的特點(diǎn)，對機(jī)構(gòu)學(xué)的研究也做出了重要貢獻(xiàn)。但這些理論和方法要么適應(yīng)對象范圍存在一定的限制，只針對特定機(jī)構(gòu)類型或具體研究對象，不夠普適;要么不能將機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異綜合一體分析;有的要么分析結(jié)論雖簡潔直觀，但不能具體反應(yīng)其構(gòu)成;有的要么分析結(jié)論雖具體，但無法直觀反應(yīng)其意義。所有分析結(jié)論沒有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，反應(yīng)各構(gòu)成要素與機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異的影響機(jī)理極其數(shù)學(xué)表達(dá)式。總之，所有這些針對機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異的研究理論和方法均不具有系統(tǒng)普適、直觀具體的特點(diǎn)。

圖1 項(xiàng)目研究意義來源

6 結(jié)論與展望

歷史證明，機(jī)構(gòu)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，數(shù)學(xué)工具在現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)中的應(yīng)用，極大地促進(jìn)了機(jī)構(gòu)學(xué)的發(fā)展。鑒于以往研究成果的局限性和不足之處，本文提出將綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)理論，與機(jī)構(gòu)學(xué)理論結(jié)合，探索出一套新的能夠?qū)⒆杂啥?、工作空間、奇異綜合一體分析的理論和方法，能夠普遍適合于所有機(jī)構(gòu)形式，并揭示運(yùn)動(dòng)副、支鏈對機(jī)構(gòu)F、W、S及 F、W、S之間的影響機(jī)理，建立機(jī)構(gòu) F、W、S與運(yùn)動(dòng)副方位和范圍、構(gòu)件尺寸間的數(shù)學(xué)關(guān)系模型，并基于此研究成果，以實(shí)例和參數(shù)化的形式對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

通過深入的研究，不僅能豐富和完善現(xiàn)有機(jī)構(gòu)學(xué)研究理論和方法，為機(jī)構(gòu)自由度、工作空間、奇異分析提供系統(tǒng)普適、直觀具體的科學(xué)理論和方法;同時(shí)，還可基于該理論和方法、有關(guān)的數(shù)學(xué)模型對工程實(shí)際領(lǐng)域的設(shè)計(jì)、應(yīng)用提供有效的理論方法和技術(shù)支持，隨著研究的深入和應(yīng)用的不斷拓寬，現(xiàn)有機(jī)構(gòu)形式將會(huì)被快速推向?qū)嶋H應(yīng)用，更多未知的機(jī)構(gòu)及其應(yīng)用將會(huì)變成現(xiàn)實(shí)。

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