念好三字經(jīng)解題有保證

模擬試題中經(jīng)常會遇到“兩條線段和最小”這類問題.筆者在教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生解決這一傳統(tǒng)問題時(shí)，總結(jié)出的解題方法是，作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，與這條直線的交點(diǎn)即為所求作的動點(diǎn)，利用軸對稱的性質(zhì)把兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段.后來將其細(xì)化為“三環(huán)節(jié)”進(jìn)行，學(xué)生掌握得可以，也收到了不錯(cuò)的教學(xué)效果.這三個(gè)“環(huán)節(jié)”是：①“作”.即作出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；②“找”.即把這個(gè)對稱點(diǎn)和另一個(gè)已知定點(diǎn)連接起來，與直線相交于一點(diǎn)，當(dāng)動點(diǎn)移動到與這個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短.”可知此時(shí)的兩線段和最小，即利用轉(zhuǎn)化思想，把兩條線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長；③“求”.即利用勾股定理求出這條線段的長，即為兩條線段和的最小值.下面通過幾例，說說用這“三環(huán)節(jié)”解決這類問題的具體步驟，供參考.例1如圖1，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=1cm，BD=2cm，AB=4cm.現(xiàn)有一個(gè)動點(diǎn)P，從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)PC+PD最小？并求出這個(gè)最小值.

指導(dǎo)解法如下：

第一環(huán)節(jié)：作已知點(diǎn)C關(guān)于AB所在直線的對稱點(diǎn)C′（如圖1）；

第二環(huán)節(jié)：連結(jié)C′D，交AB于點(diǎn)P′.

因?yàn)锳B是CC′的垂直平分線，所以P′C′=P′C，因此當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到和點(diǎn)P′重合時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短.”可知PC+PD最小，它的最小值就是線段C′D的長.

第三環(huán)節(jié)：作C′E∥AB，與DB延長線交于點(diǎn)E.因?yàn)镃A⊥AB，DB⊥AB，所以四邊形AC′EB為矩形，所以C′E=AB=4，BE=AC′=AC=1，DE=2+1=3，在Rt△DEC′中，C′D=C′E2+DE2=42+32=5，所以C′D=C′P′+P′D=5，即PC+PD的最小值為5cm.

例2如圖2，AB是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=30°，N為弧MB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑AB上一個(gè)動點(diǎn)，求PM+PN的最小值是多少？

指導(dǎo)解法如下：

①作點(diǎn)N關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)N′，由垂徑定理可知，點(diǎn)N′也在⊙O上；

②連接MN′交AB于點(diǎn)P′，當(dāng)動點(diǎn)P移動到與P′點(diǎn)重合時(shí)PM+PN的值最小，即是線段MN′的長.

③連接OM、ON′，因?yàn)閳A周角∠MAB=30°，所以圓心角∠BOM=60°，

又因?yàn)镸N=NB=BN′，所以它們所對的圓心角都為30°，即∠BON′=30°，所以∠MON′=90°.

在Rt△MON′中，MN′=12+12=2，即PM+PN的最小值為2.

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一動點(diǎn)，則PA+PC的最小值是多少？

指導(dǎo)解法如下：如圖4，

第一步：作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D；

第二步：連接CD交OB于P，連接AP，則此時(shí)PA+PC的值最小，因?yàn)镈P=PA，所以PA+PC=PD+PC=CD，PA+PC的最小值為線段CD的長.

第三步：作DN⊥OA于N，因?yàn)锽（3，3），所以在Rt△OAB中，AB=3，OA=3，∠B=60°，∠BOA=30°.由勾股定理得OB=23，在Rt△OAM中，因?yàn)椤螧OA=30°，所以AM=12OA=32，所以AD=2×32=3.在Rt△OAM中，因?yàn)椤螧OA=30°，所以∠OAM=60°.因?yàn)镈N⊥OA，所以∠NDA=30°，所以AN=12AD=32，由勾股定理得：DN=332，又因?yàn)镃（12，0），所以CN=AO-AN-OC=3-32-12=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=CN2+DN2=12+（332）2=312，即PA+PC的最小值是312.

作者簡介陳國玉，男，中學(xué)高級教師.涼州區(qū)骨干教師、“教學(xué)能手”、“教科研先進(jìn)個(gè)人”，多次榮獲學(xué)?！皟?yōu)秀教師”、“優(yōu)秀班主任”稱號.有100多篇論文在國家、省市級期刊上發(fā)表.