具有固定時滯的經(jīng)濟周期模型的動態(tài)分析

李正輝　鄭玉航

摘要 在經(jīng)濟活動中，投資行為和資本存量存在一定的時滯效應，這會影響經(jīng)濟周期模型的動態(tài)行為，進而使得投資政策對經(jīng)濟的穩(wěn)定調(diào)整復雜化.考慮到資本存量的預期時間以及投資時滯對經(jīng)濟活動的影響，采用Hopf分岔理論，研究具有固定時滯的經(jīng)濟周期模型的均衡點的穩(wěn)定性以及形成經(jīng)濟周期的條件.研究發(fā)現(xiàn)，投資過程中的投資時滯，以及投資決策中對于資本存量的預測時間構(gòu)成經(jīng)濟周期產(chǎn)生的誘因；同時可通過政府投資政策調(diào)整達到預期均衡目標，這對保持經(jīng)濟周期穩(wěn)定及經(jīng)濟政策制定有一定的指導作用.

關(guān)鍵詞 經(jīng)濟周期模型；固定時滯；Hopf分岔理論；穩(wěn)定性

中圖分類號 F812.4；N941.7 文獻標識碼 A

AbstractIn economic activities， there is a certain time lag effect in investment activities and capital stock， which would affect the dynamic behavior of the economic cycle model， resulting in an adjustment of investment policies to promote economic stable complicated. Taking into account the impact of the expected time of the capital stock and time delay of the investment on economic activity， we used Hopf bifurcation theory to study the dynamic behavior of the business cycle model with a fixedtime delay， and then we discussed the stability of the equilibrium point and the formation conditions of the business cycle. The research discovers that the investment lag during the investing process and the forecast time of the capital stock in making the investment decision are the incentives of the business cycle； meanwhile， the anticipated balance target can be met through the government investment policy adjustment.

Key wordsbusiness cycle model； fixed time delay； Hopf bifurcation theory； stability

1引言

經(jīng)濟周期模型用于研究經(jīng)濟體系內(nèi)的收入、成本、投資等因素在市場機制作用下所引起的波動狀況，是解釋經(jīng)濟運行規(guī)律的重要工具.線性周期模型能夠反映經(jīng)濟運動中投資和收入的變動引發(fā)經(jīng)濟周期的形成，然而線性結(jié)構(gòu)下的周期模型無法準確描述現(xiàn)實經(jīng)濟變量函數(shù)的非線性以及經(jīng)濟活動的時滯性.Kaldor（1940）第一次嘗試分析動態(tài)經(jīng)濟學的非線性效果，構(gòu)建了Kaldor非線性周期模型，通過假設(shè)投資函數(shù)和儲蓄函數(shù)都是產(chǎn)出和資本存量的非線性函數(shù)，證明了經(jīng)濟周期的存在性1].但是，這個模型不能描述現(xiàn)實中任何投資都不會在投資之時就可以在時間上連續(xù)獲得利息的事實.其實，對此，Kalechi（1935）已經(jīng)提出假設(shè)：經(jīng)濟周期模型中利潤的儲蓄部分將在經(jīng)濟活動中用來投資，而投資決策實現(xiàn)資本的增加，在此過程中資本的生產(chǎn)需要一定周期，也就是從投資決策到資本形成存在著時滯性2].

Krawiec 和 Szydlowsk（1999）綜合Kaldor和Kalechi的思想，成功構(gòu)建了KaldorKalechi經(jīng)濟周期模型，引進過去投資決策延遲造成的時滯，結(jié)果表明隨著時滯的增大，模型系統(tǒng)表現(xiàn)出周期行為，甚至是復雜的混沌行為3].Krawiec（2001）又發(fā)現(xiàn)過去的投資決策影響資本存量的變化4]，因此，Kadder 和 Alaoui（2008）認為在經(jīng)濟周期模型的資本積累方程中，同時考慮生產(chǎn)總值和資本存量的時滯效應，應該將兩個函數(shù)都引入時滯參數(shù)5].Duboi（2004）利用具有預期和延遲的差分方程，結(jié)合KaldorKalech經(jīng)濟周期模型，又進一步說明了資本存量的預期對于投資決策的影響以及在經(jīng)濟活動中的重要性6].考慮到投資到資本形成的時滯以及資本存量的預期在制定投資決策時對投資活動產(chǎn)生影響，劉澄等（2011）把投資效應的時滯以及對資本存量的預期時間引入到KaldorKalechi經(jīng)濟周期模型，構(gòu)造了新的帶有混合時間參數(shù)的KaldorKalechi經(jīng)濟周期模型，研究了投資時滯效應以及資本存量的預期效應對于經(jīng)濟周期的影響7].可以看出，利用非線性經(jīng)濟周期模型代替線性周期模型，能夠描述具有典型不對稱性的實際時間序列時復雜的經(jīng)濟現(xiàn)象；并且在非線性經(jīng)濟周期模型中引入了時滯或預期時間，描述其對經(jīng)濟周期的產(chǎn)生以及經(jīng)濟活動的影響，能夠更加確切地刻畫投資時滯效應和資本存量預期效應的事實.

為研究非線性經(jīng)濟周期模型，很多學者引入了分岔理論方法.分岔理論是在將經(jīng)濟周期模型轉(zhuǎn)化為微分動力系統(tǒng)基礎(chǔ)上，探索系統(tǒng)的穩(wěn)定性及周期軌的存在性，繼而解釋經(jīng)濟周期模型的均衡解以及經(jīng)濟周期的形成條件問題，甚至復雜的混沌問題.與僅能揭示有定常頻率的調(diào)和震蕩的傳統(tǒng)方法相比，更加有效法刻畫復雜的經(jīng)濟運行的動態(tài)行為.例如，Beretta 和 Kuang（2001）依賴時滯參數(shù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性8]；Wu（2012）列舉帶有時滯的KaldorKalechi經(jīng)濟周期模型的幾種分岔類型，并證明了其存在的條件9]； Cesare 和 Sportelli（2012）利用分岔理論描述財政政策時滯和收入調(diào)整過程的復雜的經(jīng)濟行為10].陳紅兵（2014）研究了具有時滯的金融模型的穩(wěn)定性及Hopf分岔11].

本文考慮到政府支出對經(jīng)濟發(fā)展的影響以及達到預期目標的投資決策行為的作用，以動態(tài)乘法-加速模型理論為基礎(chǔ)，結(jié)合投資時滯以及資本存量的預測時間，構(gòu)造具有固定時滯以及固定政府支出下的經(jīng)濟周期模型.利用現(xiàn)代動力系統(tǒng)理論中Hopf分岔理論尋找經(jīng)濟周期形成的因素，同時為投資決策者進行決策提供合理的視角.

2模型的構(gòu)建

2.1動態(tài)乘法加速模型理論

在經(jīng)濟中，經(jīng)濟周期的形成看做只靠經(jīng)濟系統(tǒng)自發(fā)調(diào)節(jié)的結(jié)果，在此過程中國內(nèi)生產(chǎn)總值、投資、消費三者之間相互影響，相互調(diào)節(jié)，而政府支出假設(shè)為既定的經(jīng)濟行為，不干預經(jīng)濟運行.

在乘法加速模型中，投資增加通過乘數(shù)效應促使生產(chǎn)總值增加，再通過加速效應引起投資的進一步增長，經(jīng)濟呈現(xiàn)繁榮；然而，受社會需求和資源的限制，當生產(chǎn)總值達到一定水平后就停止增加，這時又通過加速原理、乘數(shù)效應使得生產(chǎn)總值減少，經(jīng)濟進入衰退階段.正是乘數(shù)與加速原理相互作用，經(jīng)濟出現(xiàn)繁榮衰退的更替，自發(fā)地形成經(jīng)濟周期.在這個過程中，投資是引起經(jīng)濟周期形成的關(guān)鍵因素.

2.2具有固定時滯的經(jīng)濟周期模型

經(jīng)濟活動中，投資不會在投資之時就可以在時間上連續(xù)獲得利息的，而是在經(jīng)過一個或短或長的時間間隔后才能獲得經(jīng)濟效益的，即投資與產(chǎn)生經(jīng)濟效益直接存在著時滯.

考慮到過去的投資決策影響資本存量的變換，Kaldor等認為，在更合理的投資積累方程中，生產(chǎn)總值和資本存量都應該引入時滯.基于Kaldor周期模型，在資本積累過程中，假設(shè)由生產(chǎn)總值和資本存量所引起的投資時滯是固定的，資本積累方程為

可以看出，引入時滯后以非線性的、包含收入和資本存量為變量的投資函數(shù)，具有復雜的動態(tài)行為，既能反映經(jīng)濟運行的穩(wěn)定或是動蕩行為，又能說明了起因于投資的經(jīng)濟周期現(xiàn)象.通過對構(gòu)建的具有固定時滯的經(jīng)濟周期的動態(tài)分析可以得到以下結(jié)果：

1） 投資時滯是經(jīng)濟周期形成的誘因.在投資時滯較小的情況下，經(jīng)濟行為將會趨于一個穩(wěn)定的狀態(tài).當投資的時滯增大時，模型將會出現(xiàn)周期解，即出現(xiàn)經(jīng)濟周期的現(xiàn)象，時滯點取決于模型的相關(guān)參數(shù).也就是說，在投資決策中，較短的資本存量預期決定投資過程中資本形成的速度就快，經(jīng)歷一段時間后，生產(chǎn)總值與預期存量逐漸趨向均衡，經(jīng)濟呈現(xiàn)平穩(wěn)發(fā)展；反之投資決策的耗時就長，引發(fā)生產(chǎn)總值與預期存量長生周期性震蕩，從而產(chǎn)生經(jīng)濟周期.

2） 政府支出與投資時滯對經(jīng)濟周期的影響有差異性.將政府支出引進模型的，來探索其對經(jīng)濟周期的影響，研究決策者如何制定預期目標，避免大經(jīng)濟周期波動.政府支出在經(jīng)濟周期模型線性化以后，對經(jīng)濟周期形成的條件是沒有影響的，它主要是通過投資函數(shù)的形式間接對經(jīng)濟周期形成的造成影響.但是，它對經(jīng)濟均衡目標影響是很大的，對決策者的投資行為起著指導作用.

3）投資決策可用于逆周期調(diào)控.在投資決策中，假設(shè)政策制定者在已知投資參數(shù)，其他參數(shù)如市場調(diào)整系數(shù)，資本折舊率情況下，顯然經(jīng)濟均衡值的水平依賴于政府支出.因此，如果政策制定者制定一個經(jīng)濟均衡目標，可以調(diào)整政府支出，及投資參數(shù)，使得經(jīng)濟均衡值穩(wěn)定或由不穩(wěn)定到穩(wěn)定，或者使得整個系統(tǒng)保持小幅震蕩的周期穩(wěn)定.

4結(jié)論

本文考慮經(jīng)濟運行中變量函數(shù)的非線性以及經(jīng)濟活動的時滯性，構(gòu)建了具有時滯的非線性經(jīng)濟周期模型.分岔理論將投資的時滯作為分支參數(shù)，討論具有時滯的經(jīng)濟周期模型的動態(tài)行為.

通過對模型的動態(tài)分析，得到非線性投資函數(shù)能夠解釋經(jīng)濟運行的穩(wěn)定或是動蕩的原因，但沒有因此出現(xiàn)周期性運動.引入時滯后的非線性投資函數(shù)，隨著投資的時滯增大時，模型將會出現(xiàn)周期解，是經(jīng)濟周期現(xiàn)象出現(xiàn)的原因.先將政府支出引進模型，探索了其對經(jīng)濟周期的影響，研究決策者可以通過制定預期目標，避免大經(jīng)濟周期波動，但政府支出與投資時滯對經(jīng)濟周期的影響有差異性.發(fā)現(xiàn)調(diào)整投資決策的投資參數(shù)，使得整個系統(tǒng)保持小幅震蕩的周期穩(wěn)定，可以進行逆周期調(diào)控.

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