曲線方程的幾種常規(guī)求法

王憲春

通過(guò)曲線上的點(diǎn)集與方程的解集間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是解析幾何的核心問(wèn)題。在學(xué)習(xí)了直線、圓、圓錐曲線的方程以后，進(jìn)一步探究曲線與方程間的關(guān)系，并通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)，深刻認(rèn)識(shí)方程的幾何意義。而求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)。

求曲線方程，一般有五個(gè)步驟，這五個(gè)步驟和列方程解應(yīng)用題的步驟完全類似。

（1）依據(jù)已知幾何條件建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）列出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M|P（M）}；（此步根據(jù)情況可以省略）

（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程=f（x，y）=0；

（4）化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；

（5）證明化簡(jiǎn)后的方程為所求曲線的方程，即驗(yàn)證以（4）中方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。

簡(jiǎn)記為建系、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明。

為了幫助同學(xué)們更好地理解、掌握這類題型，下面我們結(jié)合具體的實(shí)例，對(duì)求一般曲線的過(guò)程和常用方法予以說(shuō)明。

一、直接法

如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，那么我們只需利用解析幾何中的一些基本定理和公式，直接列出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）所滿足的關(guān)系式，通過(guò)化簡(jiǎn)整理便可得到曲線的軌跡方程。

例1：試求到兩坐標(biāo)軸距離之差恒為2的點(diǎn)的軌跡。

解析：設(shè)P（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則|x|-|y|=2。

當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，方程為x-y=±2，此時(shí)軌跡為以（2，0），（0，2）為端點(diǎn)，斜率為1的兩條射線；

當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，方程為x+y=±2，此時(shí)軌跡為以（-2，0），（0，2）為端點(diǎn)，斜率為-1的兩條射線；

當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，方程為y-x=±2，此時(shí)軌跡為以（-2，0），（0，-2）為端點(diǎn)，斜率為1的兩條射線；

當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，方程為x+y=±2，此時(shí)軌跡為以（2，0），（0，-2）為端點(diǎn)，斜率為-1的兩條射線。（曲線如右圖）

評(píng)注：本題中，已經(jīng)給定了坐標(biāo)系，并且等量關(guān)系可以直接得到，因此用此法求解最方便。

二、代入法

如果動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與Q（a，b）之間滿足某些關(guān)系式，先寫出P與Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，并用Q的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，而后代入P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，并化簡(jiǎn)整理，即得所求方程。

例2：設(shè)M為已知圓O：x2+y2=a2上任意一點(diǎn)，圓O和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1（-a，0），A2（a，0），從A2作直線垂直于圓O在M點(diǎn)的切線MB，交直線A1M于P，求P點(diǎn)軌跡方程。

解：當(dāng)M在A2處時(shí)，從A2作垂直于MB的直線就是x軸，它與直線A1M重合，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程是y=0；

當(dāng)M在A1處時(shí)，與題中直線A1M不符。

三、參數(shù)法

有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量的制約，或者用這個(gè)變量可以將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的x，y表示出來(lái)。此時(shí)可以取這個(gè)變數(shù)為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫作參數(shù)法，如果需要得到軌跡的普通方程，需要將參數(shù)消去。

例3：在正方形ABCD中，AB、BC邊上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，且|BQ|=|CR|，試求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程。

分析：交點(diǎn)P受Q與R的制約，因此，選擇的參數(shù)要與Q、R有直接聯(lián)系，故可以選取AQ與BR為參數(shù)。

解：如圖，取A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，取AQ=t，BR=t。

評(píng)注：本題使用參數(shù)法求軌跡，取AQ=t，即以t為參數(shù)統(tǒng)一x，y，最后消去參數(shù)，用參數(shù)求軌跡要注意合理選擇參數(shù)，作參數(shù)的量常是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

（作者單位：內(nèi)蒙古巴彥淖爾市臨河區(qū)第一中學(xué)）