如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的反思能力

高淑波

摘要：反思不僅是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般性的回顧，而且是深究數(shù)學(xué)活動中所涉及的知識、方法、思路、策略。反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要環(huán)節(jié)。而教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，學(xué)生往往最容易忽略的也是解題后的反思。沒有反思就沒有數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)解題策略的優(yōu)化。因此，如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的反思能力是我們數(shù)學(xué)教師值得深思和研究的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；解題反思；能力培養(yǎng)

中圖分類號：G427文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）05-016-1

迅速提高數(shù)學(xué)解題能力，有諸多條件和因素。長期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗表明，不少同學(xué)在完成作業(yè)或進(jìn)行大量解題訓(xùn)練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環(huán)節(jié)：解題后的“反思”。何謂“解題反思”？一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過一番艱辛，苦思冥想解出答案之后，必須認(rèn)真進(jìn)行如下探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？本題有無其他解法——一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，能否得到更有益的普遍性結(jié)論——舉一反三，多題一解？……如此種種，就是“解題反思”。許多同學(xué)完成作業(yè)，因為學(xué)習(xí)態(tài)度和心理狀態(tài)的不同，或者老師缺少必要的指導(dǎo)和訓(xùn)練，大部分都缺少這一重要環(huán)節(jié)，未能形成良好的解題習(xí)慣，解題能力和思維品質(zhì)未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也就只能登堂未能入室。為了提高學(xué)生的解題能力，應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思。教師如何幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題的反思能力？筆者認(rèn)為可以從以下幾方面探討。

一、積極反思，查缺補(bǔ)漏，確保解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進(jìn)行回顧和評價，對結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗證。可是一些同學(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚(yáng)長而去。由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引以為戒。

1.結(jié)論荒唐，引為笑柄。一名同學(xué)做關(guān)于體積計算題時，由于單位換算和計算出錯，竟然計算出電鍍100克小鏍絲釘需要28868千克鋅！另一名同學(xué)計算一顆地球衛(wèi)星離地面的最遠(yuǎn)距離是3厘米！如此荒謬絕倫的錯誤結(jié)論，本來只憑生活常識也足可鑒別真?zhèn)?，可惜解題者竟深信不疑，作業(yè)上交，傳為笑話。

2.以特殊代替一般，“瞞天過?！?。初中數(shù)學(xué)作業(yè)題：證明：無論x為何值函數(shù)y=x2+2x+3的值都大于0。一些學(xué)生這樣證明：x=-1，y=2；x=0，y=3；x=1，y=6……這是非常明顯的錯解。同學(xué)不分青紅皂白，函數(shù)的增減性，把解方程的方法套用于解不等式，并且不理會函數(shù)的性質(zhì)，手到擒來，草率下結(jié)論。解后不加反思，造成大錯。

3.臆造“定理”，判斷無據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念。將“在同圓或等圓中，同一條弧所對的圓周角相等”判定定理混淆于“在同圓或等圓中，同一條弦所對的圓周角相等”，將相近知識套用到解題中，臆造“定理”，判斷無據(jù)。以上常見的解題錯誤，不勝枚舉，有的明顯可見，有的稍為隱蔽，但只要學(xué)生自己解題后能認(rèn)真進(jìn)行反思，是不難發(fā)現(xiàn)并及時予以糾正的。可惜不少同學(xué)只滿足于一知半解，解完了事，不加探索回顧，任其漏洞百出。這種錯誤思想和做法，像蛀蟲一樣嚴(yán)重蛀蝕著學(xué)生的思維品質(zhì)，影響學(xué)生解題能力的提高。由此可見，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視。

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負(fù)。應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌。

1.一題多解，既可看到知識的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉(zhuǎn)化條件等，這些對提高解題能力很重要。

2.多題一解，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問題，便會迎刃而解，發(fā)揮多題一解的優(yōu)勢。一步論證，從而可以推出多題一解這類題目的統(tǒng)一解法。

三、積極反思、善于總結(jié)，使重要方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化

課堂上所獲得的知識是有限的，許多問題的解決要通過學(xué)生對信息的聯(lián)想、創(chuàng)造，通過反思，深刻理解數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，以實現(xiàn)再學(xué)習(xí)的目的。

我們發(fā)現(xiàn)不少同學(xué)做題，易犯就事論事，就題論題，“鐵路巡警，各管一段”的毛病，掌握的知識支離破碎，腦海一片空白。所以，我們要指導(dǎo)學(xué)生善于總結(jié)。善于總結(jié)就是解決問題后，引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的方法、規(guī)律、思維策略等方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面的總結(jié)，有意識地去啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對自己的思考過程進(jìn)行歸納總結(jié)，力圖從解決問題中找出新的普遍適用的東西，以現(xiàn)在的解決問題的經(jīng)驗幫助后來問題的解決。有了這個“經(jīng)驗”，在以后遇到類似的新問題時，能產(chǎn)生一種“直覺”，正確判斷思維方向。這遠(yuǎn)比學(xué)生單純解決問題的意義要大。它的教育價值不僅在于使學(xué)生掌握這類問題的基本規(guī)律，而且在于使學(xué)生學(xué)到一些解決問題的思維方法，最終過渡到“學(xué)會學(xué)習(xí)”。因此，是否善于總結(jié)解決問題的經(jīng)驗，是一個人解決問題能力高低的一個重要因素。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既是知識與技能的學(xué)習(xí)，也是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的訓(xùn)練，更是一種反思和更新目標(biāo)的機(jī)會?？v觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷，已經(jīng)走上了考查綜合素質(zhì)與能力的道路。只有通過反思，才能讓學(xué)生知道失分的原因，知道失誤、一知半解、一無所知在全部失分中的比重，知道如何解決問題，知道如何進(jìn)一步學(xué)習(xí)。