關于S-投射模

張永亮, 丁南慶(. 安康學院 數學與統(tǒng)計系, 陜西 安康 725000; 2. 南京大學 數學系, 江蘇 南京 20093)

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關于S-投射模

張永亮1, 丁南慶2*
(1. 安康學院 數學與統(tǒng)計系, 陜西 安康 725000; 2. 南京大學 數學系, 江蘇 南京 210093)

設R為任意的幺環(huán).Azumaya 將投射模的概念推廣到S-投射模.文獻(Zhu S L. J Algebra,1991,139:255-261.) 討論了在什么樣的環(huán)上，平坦模是f- 投射的.文獻(Mao L X. Taiwanese J Math,2007(12):501-512.)給出了內射模都是S-投射的環(huán).討論S-投射模和其他模的關系，如投射模、平坦模、擬內射模、可除模、S-平坦模等，并證明了S-投射模關于直和的封閉性.

S-投射模; 平坦模;S-平坦模

1 引言及預備知識

M. F. Jones[1]給出了f-投射模的概念.G. Azumaya[2]對f-投射模和S-投射模進行了系統(tǒng)的研究.設f:A→C為滿同態(tài)，如果Hom(M,f)仍然是滿射，則稱f是M-純的.如果對于所有有限生成R-模M，f:A→C是M-純的，則稱f是f-可裂的.類似的，如果對于任意的循環(huán)模M，f是M-純的，則稱f為S-可裂的.如果任意的滿射f:A→M是f-可裂(S-可裂)，則稱模M為f-投射(S-投射)的.G. Azumaya證明了每個S-投射模的純子模都是S-投射模；如果R是左諾特環(huán)或者交換整環(huán)，則每個平坦模都是f-投射模.如果R是整環(huán)，則每個平坦R-模都是S-投射模.S. L. Zhu[3]研究了每個平坦模都是f-投射模的環(huán)，證明了每個平坦左R-模都是n-投射的當且僅當每個平坦左Mn(R)-模都是S-投射模.

本文在前人研究的基礎上，對S-投射模進行研究，給出了S-投射模與各種模的關系.設R為環(huán)，本文證明了每個擬內射右R-模都是S-投射模當且僅當R是半單環(huán).由定義可知，每個f-投射模都是平坦模，但S-投射模并不一定是平坦模.本文證明了在R是交換整環(huán)的情況下，每個S-投射R-模都是平坦模當且僅當R是Prüfer整環(huán).設R是交換環(huán)，S?R為乘性子集，且不含零因子，如果每個S-投射R-模都是平坦模，則每個S-投射S-1R-模都是平坦S-1R-模.并證明了每個平坦R-模都是S-投射模當且僅當任意f-投射R-模的直極限是S-投射模.如果R是自內射環(huán)，則R是QF-環(huán)當且僅當每個S-投射R-模是投射模.最后，證明了S-投射模的直和仍然是S-投射的.

本文中所用的定義和符號都是標準的.對于沒有解釋的概念和符號，請參見文獻[4].

2 S-投射模與擬內射模

定義 2.1 設M為右R-模，如果任意滿同態(tài)f:N→M和任意的同態(tài)g:C→M,其中C為循環(huán)R-模，存在h:C→N，使得g=fh，則稱MR為S-投射模.

定義 2.2 設R為環(huán)，如果每個循環(huán)右R-模嵌入一個自由R-模，等價地，每個左理想I，都存在有限集合X?R，I=annl(X)，則稱R為右CF-環(huán).

從文獻[2]中知道，環(huán)R是右CF-環(huán)當且僅當每個內射右R-模是S-投射的.那么，在什么情況下，所有的擬內射右R-模是S-投射的呢？有以下結論：

命題 2.1 對于一個環(huán)R,下列條件等價：

1)R是半單環(huán)；

2) 每個循環(huán)R-模是S-投射的；

3) 每個擬內射R-模是S-投射的；

4) 每個單R-模是S-投射的.

證明 1)?2)、1)?3)、1)?4)是顯然的，因為半單環(huán)R上的任意R-模都是投射的，從而是S-投射的.

2)?4) 每一個單模必是循環(huán)模.

4)?1) 假設條件4)成立，只需證明每個單R-模是投射的.設MR是單R-模，由于MR的非零子模只有MR自身，MR是S-投射R-模意味著，MR是某一個自由R-模的直和項，從而是投射的.

3)?4) 每個單R-模都是擬內射的.

在文獻[2]中，作者證明了下面的命題：

命題 2.2 如果AR是擬內射R-模，那么AR的每一個S-可裂子模都是AR的直和項.

實際上,可以將該結論推廣到CS-模:

定義 2.3[4]設MR為R-模.如果N?cM蘊含N??M，則稱MR為CS-模.

命題 2.3 如果M是S-投射右R-模，A是CS右R-模，那么正合列0→B→A→M→0可裂.

證明 由文獻[2]的命題3可知，B在A中是本質閉的，即B?cA，而A為CS-模，所以B??A.

設M為右R-模，如果對于任意的a∈R，都有Ext1(R/Ra,M)=0，則稱模M為可除的.如果RR是可除右R-模，則稱環(huán)R為右可除的.

考慮另一個問題：在什么條件下所有的可除模都是S-投射的,稱這樣的環(huán)為DSP-環(huán)，得到以下的結論：

命題 2.4 一個環(huán)R是半單環(huán)當且僅當R是Neumann 正則環(huán)和DSP-環(huán).

證明 “?” 顯然.

“?”R是Neumann正則環(huán)當且僅當每個模是可除模.再由命題1.1知道，R是半單環(huán).

命題 2.5 如果R是Dedekind-整環(huán)，那么R是CF-環(huán)當且僅當R是DSP-環(huán).

證明 在Dedekind-整環(huán)上，所有的可除模都是內射模.而在CF-環(huán)上，所有內射模都是S-投射模.

引理 2.1[4]如果R是主右理想環(huán)，則MR是可除的當且僅當MR是內射模.

命題 2.6 如果R是一個主右理想環(huán)，則R是CF-環(huán)當且僅當R是DSP-環(huán).

證明 在主右理想環(huán)上，所有的可除模都是內射模.而在CF-環(huán)上，所有內射模都是S-投射模.

作為凝聚環(huán)的一種推廣，如果環(huán)R的每個主左理想都是有限表現的，則稱R是左P-凝聚環(huán).如果對于環(huán)R的任意非空子集X，annl(X)(annr(X))是有限生成的，則稱R為左(右)AFG-環(huán).如果R既是左AFG-環(huán)，又是右AFG-環(huán)，則稱R是AFG-環(huán).從文獻[2]中可知，如果R是一個整環(huán)，那么右R-模MR是S-投射的當且僅當它是無撓的.結合文獻[5]，有以下結論：

命題 2.7 如果R是整環(huán)，那么R是右P-凝聚環(huán)當且僅當它是AFG-環(huán).

證明 由文獻[6]的定理2.7知，R是P-凝聚當且僅當∏RR是無撓的，而R是整環(huán)，從而∏RR是S-投射模，從而R是AFG-環(huán)[5].

命題 2.8 如果環(huán)R是P-凝聚整環(huán)，那么R是右可除環(huán)當且僅當R是右CF-環(huán).

證明 在P-凝聚的條件下，R是可除環(huán)當且僅當每個內射模M是無撓的，而R是整環(huán)，因此M是S-投射的，由文獻[5]的引理3.6知，R是CF-環(huán).

3 S-投射模和平坦模

通過定義，很容易知道，每個f-投射模都是平坦模.那么，是不是每個S-投射模都是平坦模呢？下面的結論給出了否定的答案：

命題 3.1 交換整環(huán)R是Prüfer整環(huán)當且僅當每個S-投射R-模是平坦的.

證明 這是文獻[7]推論2.6的一個直接的推論.

命題 3.2 對于環(huán)R,下列條件等價：

1) 任何平坦右R-模都是S-投射的.

2) 設0→A→B→C→0是純正合列，其中B是f-投射右R-模，則C是S-投射的.

3)f-投射右R-模的任意直極限是S-投射的.

證明 1)?2) 由于B是f-投射的，則必是平坦右R-模，從而0→A→B→C→0是純正合的當且僅當C是平坦的.再由1)知，C是S-投射的.

引理 3.1[9]設R為交換環(huán)，S?R為乘性子集.如果M是平坦R-模，則S-1M是平坦S-1R-模.

引理 3.2[10]設R為交換環(huán)，S?R為乘性子集.對于任意的S-投射模M，S-1M是S-投射S-1R-模.

證明 設N為S-1M的循環(huán)子模，則存在M的循環(huán)子模N′，使得S-1N′=N.由M為S-投射模知，存在自由R-模f，和模同態(tài)φ:N′→F，π:F→M滿足πφ(x)=x，?x∈N′.從而

(S-1πS-1φ)(x)=x， ?x∈N.

于是，S-1M是S-投射S-1R-模.

注 3.1 1) 如果M是平坦S-1R-模，則M是平坦R-模.

2) 如果M是f-投射S-1R-模，則M是f-投射R-模.

3) 一般地，如果M是投射(自由)S-1R-模，不能得到M是投射(自由)R-模.例如：Q是投射(自由)Q-模，但不是投射(自由)Z-模.

引理 3.3[10]設R為交換環(huán)，S?R為乘性子集，且不含零因子.如果M是S-投射S-1R-模，則M是S-投射R-模.

引理 3.4[11]設R是環(huán).如果M是S-1R-模，則M≌S-1M.

命題 3.3 設R為交換環(huán)，S?R為乘性子集，且不含零因子.如果每個S-投射R-模都是平坦R-模，則每個S-投射S-1R-模都是平坦S-1R-模.

證明 設M是S-投射S-1R-模，則由引理3.3知，M是S-投射R-模，從而M是平坦R-模.由引理3.1知，S-1M是平坦S-1R-模.現證M是平坦S-1R-模.

設0→A→B為S-1R-模正合列，由引理3.4，有如圖1所示的交換圖.

0→S-1M?S-1RA→S-1M?S-1RB0→M?S-1RA→M?S-1RB

圖 1

從而，M是平坦S-1R-模.

4 S-投射模和S-平坦模

設M為右R-模.如果對于任意的有限生成自由R-模f，和f的任意循環(huán)子模C，都有

Tor1(M,F/C)=0，

則稱MR為S-平坦的，等價地，對于每個有限生成自由左R-模的任意循環(huán)子模C，自然映射N?C→N?F是單同態(tài).如果對于環(huán)R的任意有限子集X?R，annl(X)是有限生成左理想，則稱R為左pseudo-凝聚的.對于S-平坦模，有以下結果：

命題 4.1 如果R是一個左pseudo-凝聚環(huán)，那么下列條件等價：

1) 每個S-平坦左R-模是投射的.

2)R是左凝聚左完全環(huán).

證明 假設1)成立，則由文獻[7]的推論2.11,R是左凝聚環(huán).由于每個平坦左R-模都是S-平坦的，故每個平坦左R-模都是投射的，從而得到R是左完全環(huán).

2)?1) 由R是左凝聚環(huán)可得，每個S-平坦左R-模是平坦的.再由R是完全環(huán)可知，每個S-平坦左R-模是投射的.

命題 4.2 如果R是右諾特環(huán)，則每個S-平坦右R-模是S-投射模.

證明 設MR為S-平坦模，NR≌R/I為M的循環(huán)子模，其中I?R為右理想.由諾特條件知，I有限生成.由文獻[7]的引理2.4知，對任意的f:R/I→M，存在有限生成投射模f，和同態(tài)φ:R/I→F，和同態(tài)π:F→M，使得有如圖2所示的交換圖：

因此，MR是S-投射模.

定義 4.1[7]設R為環(huán)，如果R的每個左理想I，都存在非空子集X?R，使得I=annl(X)，則稱R是一個左對偶環(huán).

命題 4.3 如果R是對偶環(huán)，且每個任意X?R，ann(X)有限生成，則M是S-平坦模當且僅當M是S-投射模.

證明 因為R是對偶環(huán)，M為S-平坦模，所以，對于每個循環(huán)子模N?M，存在X?R，使得N≌R/annl(X)，再由annl(X)有限生成得，N為有限表現循環(huán)模，從而存在有限生成投射模f，和同態(tài)φ:N→F，ψ:F→M，使得ψφ=i，其中i是包含映射，即，M是S-投射模.

推論 4.1 如果R是QF-環(huán)，則每個S-平坦模都是S-投射模.

證明R是QF-環(huán)當且僅當R是左AFG-環(huán)，且R為左右對偶環(huán)[5].

5 S-投射模與投射模

如果對于任意有限生成子模N?M，存在自由模f，和R-模同態(tài)φ:M→F，π:F→M，滿足

π(φ(x))=x， ?x∈N，

則稱MR為局部投射模.由文獻[2],知道以下的事實：

引理 5.1[12]設R是任意的環(huán)，則以下條件等價：

1)R是左完全環(huán);

2) 每個局部投射左R-模都是投射模;

3) 每個f-投射左R-模都是投射模.

那么，在什么條件下每個S-投射左R-模都是投射模呢？以下的結論給出了相應的條件：

命題 5.1 如果R是左凝聚左完全環(huán)，那么每個S-投射左R-模是投射的.

證明 由于每個S-投射左R-模都是S-平坦的，由上面的結論容易得到.

命題 5.2 設R是自內射環(huán)，則下列條件等價:

1)R是一個QF-環(huán);

2) 每個S-投射R-模都是投射R-模;

3) 每個f-投射R-模都是投射R-模;

4) 每個局部投射R-模都是投射R-模.

證明 1)?2) 由1)可知，R是完全環(huán)，從而每個局部投射R-模都是投射模.再由自內射的條件和文獻[10]的命題3可知，每個S-投射R-模都是投射模.

2)?1) 由于每個局部投射R-模都是S-投射模，故R是完全環(huán)，從而由自內射條件知，R是QF-環(huán).

1)?3)?4)由引理5.1易知，因為R是QF-環(huán)當且僅當R是自內射完全環(huán)[13].

已知，如果M的任意有限生成子模都是平坦模，那么M是平坦模.類似的：

命題 5.3 如果M的每個循環(huán)子模都是投射模，那么M是S-投射模.

證明 設C是M的任意循環(huán)子模，由假設知，C是投射模，于是有如圖3所示的交換圖.

從而，M是S-投射模.

命題 5.4 設R為環(huán)，則下列條件等價：

1)S-投射右R-模的任意子模是S-投射模.

2)S-投射右R-模的任意循環(huán)子模是投射模.

證明 1)?2) 每個S-投射循環(huán)模都是投射模.

2)?1) 設M為S-投射R-模，N?M為任意子模，C為N的任意循環(huán)子模，因此也是M的循環(huán)子模.由2)知，C是投射模.再由命題5.3知，N是S-投射模.

6 S-投射模的直和

已知投射模關于直和封閉，而關于直積未必封閉.由于S-投射模是投射模的一種推廣，考慮相似的性質.在文獻[7]中，作者證明了，一個環(huán)R是左AFG-環(huán)當且僅當S-投射左R-模的任意直積仍然是S-投射的.在這里證明了以下的結論：

命題 6.1S-投射右R-模的任意直和是S-投射的.

f.

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2010 MSC：16D40; 16D70

(編輯 陶志寧)

On Singly Projective Modules

ZHANG Yongliang1, DING Nanqing2
(1.DepartmentofMathematicsandStatistics,AnkangCollege,Ankang725000,Shanxi;2.DepartmentofMathematics,NanjingUniversity,Nanjing210093,Jiangsu)

LetRbe a ring. Azumaya generalized the concept of projectivity of modules to single projectivity. The paper (Zhu S L. J Algebra,1991,139:255-261.) argued about rings over which every flat module is finitely projective. And the paper (Mao L X. Taiwanese J Math,2007(12):501-512.) gave a condition when every injectiveR-module is singly projective. This article shows some other relations between singly projectiveR-modules and other kinds of modules, such as quasi-injectiveR-modules, singly flatR-modules, finitely projectiveR-modules and divisibleR-modules. And it is proved that singly projective modules are closed under direct sums.

singly projective modules; flat modules; singly flat modules

2014-06-27

國家自然科學基金(11171240)和國家自然科學數學天元基金(11226057)

O153.3

A

1001-8395(2015)06-0846-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.011

*通信作者簡介：丁南慶(1963—),男,教授,主要從事環(huán)論、模論與同調代數的研究，E-mail:nqding@nju.edu.cn