最小二乘支持向量機(jī)在堆芯功率分布重構(gòu)中的應(yīng)用

彭星杰，李天涯，李 慶，王 侃

(1.清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084；2.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610041)

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最小二乘支持向量機(jī)在堆芯功率分布重構(gòu)中的應(yīng)用

彭星杰1,2，李天涯2，李 慶2，王 侃1

(1.清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084；2.中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610041)

應(yīng)用最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)進(jìn)行了堆芯軸向功率分布重構(gòu)的研究，通過6節(jié)堆內(nèi)中子探測器的信號(hào)重構(gòu)出堆芯軸向18個(gè)節(jié)塊的功率。使用ACP-100模塊式小堆的7 740套軸向功率分布對(duì)LS-SVM重構(gòu)算法進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：LS-SVM算法的重構(gòu)精度遠(yuǎn)優(yōu)于交替條件期望(ACE)算法，且LS-SVM算法具有良好的魯棒性。

最小二乘支持向量機(jī)；功率分布重構(gòu)；魯棒性

堆芯功率分布在線監(jiān)測對(duì)保證反應(yīng)堆的安全運(yùn)行起到了至關(guān)重要的作用，大部分的反應(yīng)堆都安裝有堆內(nèi)中子探測器或堆外中子探測器來進(jìn)行堆芯功率分布監(jiān)測。在線監(jiān)測系統(tǒng)的核心技術(shù)之一是堆芯功率分布重構(gòu)算法，即如何通過探測器信息重構(gòu)出堆芯功率分布，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于這一問題進(jìn)行了大量工作?；诙褍?nèi)中子探測器的COLSS系統(tǒng)采用傅里葉擬合算法[1]進(jìn)行堆芯軸向功率分布的重構(gòu)，當(dāng)軸向功率分布為馬鞍狀或功率分布偏移到堆芯頂端或底端時(shí)，傅里葉擬合算法的重構(gòu)精度較差。傅里葉擬合算法的重構(gòu)精度強(qiáng)烈依賴于探測器數(shù)，而探測器的軸向布置數(shù)通常限制在6節(jié)以內(nèi)。為提高軸向功率分布重構(gòu)精度，Lee等[1]使用交替條件期望(ACE)算法進(jìn)行了重構(gòu)方法研究，通過5節(jié)堆內(nèi)中子探測器的讀數(shù)重構(gòu)出堆芯軸向20個(gè)節(jié)塊的功率。研究結(jié)果表明，ACE算法遠(yuǎn)優(yōu)于常規(guī)使用的傅里葉擬合算法，ACE算法重構(gòu)的均方根誤差平均值僅為傅里葉擬合算法的35%。

ACE算法屬于非線性回歸算法的范疇，其他類型的非線性回歸算法在核工程領(lǐng)域也得到了應(yīng)用，其中包括支持向量機(jī)(SVM)算法[2-5]。SVM是由Vapnik[6]在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上建立起來的一種非線性回歸方法，具有自組織、自學(xué)習(xí)和聯(lián)想記憶功能。最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM)是標(biāo)準(zhǔn)SVM的一個(gè)改進(jìn)，它將SVM中的不等式約束改為等式約束，且將誤差平方和損失函數(shù)作為訓(xùn)練集的經(jīng)驗(yàn)損失，提高了求解問題的速度和收斂精度。

本文研究LS-SVM在堆芯軸向功率分布重構(gòu)中的應(yīng)用，并將LS-SVM算法與ACE算法進(jìn)行比較。

1 LS-SVM算法

(1)

其中：φ(x)為輸入空間到特征空間的映射；w和b分別為系數(shù)向量和偏差項(xiàng)，均為待求量。

未知量通過最優(yōu)化問題來確定：

(2)

其拉格朗日函數(shù)為：

(3)

其中：ei為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)因子；αi(i=1,2,…,l)為拉格朗日乘子。

式(3)的Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件為：

(4)

消去式(4)的w和e，可得到：

(5)

其中：y=[y1,y2,…,yl]T；α=[α1,α2,…,αl]T；J=[1,…,1]T；Z=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xl)]T；I為單位矩陣。

解這個(gè)線性方程組求得b和α，進(jìn)而求得LS-SVM回歸函數(shù)：

(6)

使用輸入空間的一個(gè)核函數(shù)k(x,xi)等效高維空間的內(nèi)積形式，從而回歸函數(shù)為：

(7)

任意滿足Mercer核條件的對(duì)稱函數(shù)均可作為核函數(shù)，本文選擇徑向基核函數(shù)作為核函數(shù)：

(8)

正則化參數(shù)γ和核函數(shù)寬度σ在很大程度上決定了LS-SVM的學(xué)習(xí)和泛化能力。γ影響LS-SVM模型的推廣性能，σ影響支持向量數(shù)。尋找合適的γ和σ的組合，可使LS-SVM有最好的預(yù)測性能?？紤]如下的優(yōu)化問題。

(9)

可以使用優(yōu)化算法求解最小化問題(式(9))得到最優(yōu)化的γ和σ。

2 ACE算法

ACE算法[1]是一種估算最佳變換的多元非線性回歸方法，其變換結(jié)果是使一個(gè)隨機(jī)因變量和多個(gè)隨機(jī)自變量之間具有最大相關(guān)系數(shù)。對(duì)數(shù)據(jù)列{(yi,x1i,x2i,…,xpi),i=1,…,N}的多元非線性回歸問題，ACE算法為：

(10)

(11)

式中：E為數(shù)學(xué)期望；θ(y)、φj(xj)分別為對(duì)變量y、xj所作的變換。

如果對(duì)變換后的因變量和自變量總和進(jìn)行回歸分析，則產(chǎn)生誤差：

(12)

式(10)和式(11)中的θ(y)、φj(xj)變換是相互耦合的，可令式(13)為最小而進(jìn)行迭代求解，即求得：

(13)

3 回歸數(shù)據(jù)集

利用LS-SVM算法或ACE算法進(jìn)行軸向功率分布重構(gòu)，即建立探測器讀數(shù)Di(i=1,…,M)與節(jié)塊功率Pj(j=1,…,N)之間的關(guān)系，其中M為沿軸向布置的探測器數(shù)，N為堆芯沿軸向劃分的節(jié)塊數(shù)，在本文中M和N分別設(shè)定為6和18。由于LS-SVM算法和ACE算法均為單輸出，因而由M個(gè)探測器讀數(shù)估計(jì)每一節(jié)塊功率時(shí)，需要訓(xùn)練N個(gè)LS-SVM以及迭代得到N套ACE變換。在不影響算法流程與正確性的前提下，為方便起見，本文研究堆芯平均軸向功率分布重構(gòu)，不針對(duì)單一組件。探測器讀數(shù)由節(jié)塊功率模擬得到，即從18個(gè)節(jié)塊的功率中均勻地選取6個(gè)作為探測器讀數(shù)。

在進(jìn)行回歸分析，即建立探測器讀數(shù)與節(jié)塊功率之間的關(guān)系時(shí)，可通過堆芯功率能力分析獲取大量不同工況下的功率分布。堆芯功率能力分析是研究在確定的反應(yīng)堆運(yùn)行模式下堆芯功率分布的控制，以滿足核電廠在正常運(yùn)行工況(Ⅰ類工況)下的電廠機(jī)動(dòng)性要求和非正常工況(Ⅱ類工況)下的安全性要求，本文只考慮Ⅰ類工況。Ⅰ類工況功率能力分析主要驗(yàn)證以下兩方面內(nèi)容：1) 驗(yàn)證由運(yùn)行圖確定的所有Ⅰ類工況狀態(tài)點(diǎn)均滿足LOCA限值要求；2) 驗(yàn)證用于事故分析的參考軸向功率分布包絡(luò)所有Ⅰ類工況的軸向功率分布。

在進(jìn)行功率能力分析時(shí)，需產(chǎn)生大量覆蓋Ⅰ類工況運(yùn)行圖的狀態(tài)點(diǎn)與相應(yīng)的全堆功率分布。堆芯的功率分布受到很多因素的影響，在嚴(yán)格遵守技術(shù)規(guī)格書的限值下，通過改變下列參數(shù)可產(chǎn)生大量的堆芯三維功率分布：1) 堆芯功率水平；2) 控制棒組棒位；3) 氙濃度和分布；4) 堆芯燃耗狀態(tài)。

采用LS-SVM算法和ACE算法時(shí)，將功率能力分析產(chǎn)生的樣本集數(shù)據(jù)分為兩組，一組為訓(xùn)練集，另一組為驗(yàn)證集。其中訓(xùn)練集從所有樣本集中按照堆芯軸向功率上下比均勻抽樣，堆芯軸向功率上下比的定義為：

R=PT/PB

(14)

其中，PT、PB分別為堆芯上、下部功率。

本文以ACP-100模塊式小型反應(yīng)堆為例進(jìn)行算法研究，采用SCIENCE程序包中的堆芯擴(kuò)散計(jì)算程序SMART進(jìn)行功率能力分析，生成7 740套不同工況下的功率分布。

4 數(shù)值結(jié)果

使用LS-SVM算法和ACE算法時(shí)，均采用1 105套功率分布及模擬探測器信號(hào)作為訓(xùn)練集，進(jìn)行回歸分析，剩下的6 635套則作為驗(yàn)證集。將兩種算法重構(gòu)的功率分布與SMART程序計(jì)算得到的功率分布進(jìn)行對(duì)比。對(duì)LS-SVM算法和ACE算法的重構(gòu)效果定義4個(gè)評(píng)價(jià)量：

Avg.RMS=

(15)

Max.RMS=

(16)

(17)

(18)

表1列出LS-SVM算法與ACE算法在功率分布整體重構(gòu)精度上的對(duì)比，其中T代表訓(xùn)練集，V代表驗(yàn)證集。

表1 LS-SVM算法與ACE算法的功率分布重構(gòu)精度對(duì)比Table 1 Comparison of power distribution reconstruction accuracy between LS-SVM and ACE

為了給出具體節(jié)塊的重構(gòu)精度對(duì)比，使用式(17)、(18)分別計(jì)算節(jié)塊功率重構(gòu)的均方根誤差及最大誤差。圖1示出LS-SVM算法的均方根誤差和最大誤差，圖2示出ACE算法的均方根誤差和最大誤差。

由圖1、2和表1可看出：1) LS-SVM算法的均方根誤差與最大誤差均在可接受范圍內(nèi)，重構(gòu)精度明顯優(yōu)于ACE算法，LS-SVM重構(gòu)得到的功率分布更接近SMART計(jì)算得到的功率分布；2) ACE算法的均方根誤差在合理可接受范圍內(nèi)，但其重構(gòu)中可能出現(xiàn)的最大誤差過大。

圖1 LS-SVM算法的節(jié)塊功率重構(gòu)均方根誤差和最大誤差Fig.1 Node power reconstruction RMS error and maximum error of LS-SVM

圖2 ACE算法的節(jié)塊功率重構(gòu)均方根誤差和最大誤差Fig.2 Node power reconstruction RMS error and maximum error of ACE

在實(shí)際的探測器測量時(shí)，其測量值總是帶有一定程度的噪聲，假設(shè)探測器的讀數(shù)測量值Dmeasure與理論值Dtheoretic之間有關(guān)系如下：

(19)

其中：ε為隨機(jī)數(shù)，ε服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布；δ為噪聲水平，在進(jìn)行功率重構(gòu)算法研究時(shí)，通常設(shè)定為1%。

為衡量LS-SVM算法的抗噪聲能力，對(duì)每個(gè)節(jié)塊定義節(jié)塊功率重構(gòu)效果的評(píng)價(jià)量如下：

(20)

圖3示出不同噪聲水平時(shí)LS-SVM算法的功率分布重構(gòu)效果。由圖3可知：1) 基于LS-SVM的功率重構(gòu)方法的均方根誤差與探測器測量噪聲水平近似有一正比例關(guān)系；2) 在典型堆內(nèi)探測器噪聲水平下，基于LS-SVM的功率重構(gòu)算法的重構(gòu)精度符合要求，具有良好的抗探測器噪聲干擾能力。

5 結(jié)論

準(zhǔn)確的軸向功率分布對(duì)于反應(yīng)堆的安全性有著極其重要的作用，本文實(shí)現(xiàn)了LS-SVM在堆芯軸向功率分布中的應(yīng)用，利用ACP-100模塊式小堆第1循環(huán)不同工況下的7 740套功率分布進(jìn)行了算法的驗(yàn)證，并得到如下結(jié)論：1) LS-SVM算法的重構(gòu)精度遠(yuǎn)優(yōu)于ACE算法，在不考慮探測器噪聲的情況下，ACE算法的功率分布最大重構(gòu)誤差可達(dá)到110%，而LS-SVM算法的功率分布最大重構(gòu)誤差僅為0.23%左右；2) 在考慮噪聲的情況下，LS-SVM算法具有良好的抗噪聲干擾能力，重構(gòu)誤差與探測器噪聲水平呈正比關(guān)系。

圖3 LS-SVM算法帶噪聲的節(jié)塊功率重構(gòu)均方根誤差Fig.3 Node power reconstruction RMS error of LS-SVM with noise

本文僅考慮了ACP-100模塊式小堆單一循環(huán)下的軸向功率分布重構(gòu)，下一步工作主要集中在以下兩點(diǎn)：1) 使用ACP-100模塊式小堆其他循環(huán)下更多工況的功率分布進(jìn)行LS-SVM算法的驗(yàn)證，以保證LS-SVM算法在整個(gè)反應(yīng)堆的運(yùn)行歷史中均能進(jìn)行精確的功率分布重構(gòu)；2) 在實(shí)際的反應(yīng)堆在線監(jiān)測應(yīng)用中，能夠直接獲取三維堆內(nèi)探測器測量數(shù)據(jù)。將本文提出的算法與徑向功率分布重構(gòu)算法(如耦合系數(shù)法)相結(jié)合，可進(jìn)行全堆三維功率分布的重構(gòu)計(jì)算。

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Application of Least Square Support Vector Machine in Core Power Distribution Reconstruction

PENG Xing-jie1,2, LI Tian-ya2, LI Qing2, WANG Kan1

(1.DepartmentofEngineeringPhysics,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China; 2.ScienceandTechnologyonReactorSystemDesignTechnologyLaboratory,NuclearPowerInstituteofChina,Chengdu610041,China)

The application of the least square support vector machine (LS-SVM) to core axial power distribution reconstruction was researched, and 18-node powers were reconstructed from six-level in-core detector signals. Axial power distributions of 7 740 cases of ACP-100 modular reactor were used to verify the accuracy of the LS-SVM reconstruction method. The results show that the LS-SVM method performs much better than the alternating conditional expectation (ACE) method and the LS-SVM method has good robustness.

least square support vector machine; power distribution reconstruction; robustness

2014-01-22;

2014-10-08

彭星杰(1991—)，男，湖南懷化人，博士研究生，核科學(xué)與技術(shù)專業(yè)

TL362

A

1000-6931(2015)06-1026-06

10.7538/yzk.2015.49.06.1026