一道一元二次方程根的分布題的探索、變式及推廣

●楊 虎 (禮縣職業(yè)中等專業(yè)學校 甘肅禮縣 742200)

一道一元二次方程根的分布題的探索、變式及推廣

●楊 虎 (禮縣職業(yè)中等專業(yè)學校 甘肅禮縣 742200)

一元二次方程與一元二次函數(shù)、一元二次不等式在中學數(shù)學教學中占有重要地位，特別是一元二次方程根的分布問題，更突顯方程與函數(shù)、不等式之間的緊密聯(lián)系.雖然這部分知識在高考中的考查有降低要求的趨勢，直接考查更是不多，但從培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力、數(shù)學素養(yǎng)方面來說，引導學生通過對一元二次方程根的分布問題的深入思考，進一步鞏固一元二次方程的相關知識，加強對函數(shù)及不等式學習的理解，體會數(shù)形結合思想方法的重要性有很大的幫助.下面對一道一元二次方程根的分布問題進行探索，對其變式進行探究并加以推廣，從而歸納總結一元二次方程根的分布問題的類型及解題規(guī)律，以達到觸類旁通之效.

1 問題的思考及探索

題目 已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都小于3，求參數(shù)m的取值范圍.

錯誤解法 設方程的2個根分別為x1,x2，根據(jù)題意

即

思考 學生在此解法中，由于對題目沒有作深入的分析，對已知條件x1<3，x2<3運用不當，想當然而為之，誤認為x1<3,x2<3，便可以得到x1+x2<6.在這里x1<3,x2<3是x1+x2<6的充分條件而不是充要條件，因此出現(xiàn)了以上錯誤的解法，那么此題應如何正確解答呢？

探索1 運用求根公式，直接求解

解法1 設方程的2個根分別為x1,x2，由求根公式得

“直接”也就是用平時常用的、最容易想到的方法解題.由于本題是一元二次方程根的問題，自然想到用求根公式，在上面的探索中我們體會到，此解法思維過程簡捷，列式簡單，但是運算較復雜，特別是對無理不等式的處理，需要學生有扎實的基本功.此時我們不禁發(fā)問：能否把問題轉化，使其簡單一點呢？

探索2 運用轉化思想，韋達定理求解

遇到一元二次方程問題，我們自然會想到韋達定理，那么此題運用韋達定理解決能否將問題簡化呢？我們不妨一試.

解法2 設方程的2個根分別為x1,x2，由韋達定理知

x1+x2=-(m+2)，x1x2=3+m,

要使方程的2個根都小于3，則需Δ=(m+2)2-4(3+m)≥0且x1<3,x2<3，可等價轉化為

即

得

很顯然上述探索將問題巧妙地轉化后再用韋達定理，達到了簡化問題的效果.那么此題是否還有更簡單的方法呢？

圖1

探索3 運用數(shù)形結合思想，根據(jù)函數(shù)圖像求解

如圖1，一元二次方程的2個根都小于3，也就是一元二次函數(shù)與x軸的2個交點都在3的左邊，故此題也可用數(shù)形結合思想(利用一元二次函數(shù)的圖像)來求解，即通過對函數(shù)f(x)=x2+(m+2)x+3+m的開口方向、對稱軸、判別式、特殊點等方面的考查來解決(有時某個方面可以省略，如判別式、對稱軸等).

解法3 設一元二次方程為x2+(m+2)x+3+m=0,所對應的二次函數(shù)為

f(x)=x2+(m+2)x+3+m,

二次項系數(shù)a=1，函數(shù)圖像開口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都小于3，也就是一元二次函數(shù)x2+(m+2)x+3+m=0與x軸的2個交點都在3的左邊，則需

得

至此，我們發(fā)現(xiàn)在以上的3種探索方法中，探索3運用數(shù)形結合思想、根據(jù)函數(shù)圖像求解，思維過程最為簡捷，運算最為簡單，故不失為此題最精妙的解法.不難概括其基本思路是：設出一元二次方程對應的一元二次函數(shù)，結合函數(shù)圖像的特征，對方程的判別式、給定定義域上的函數(shù)值、對稱軸在定義域上的分布情況進行全面分析，再列出合適的不等式求解.那么這樣的思維方法是否也適用于其他同類問題呢？

2 變式探究

變式探究1 若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都大于3，求參數(shù)m的取值范圍.

變式探究2 若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的一根大于3，另一根小于3，求參數(shù)m的取值范圍.

變式探究3 若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都在[3,4]外，且一根比3小，另一根比4大，求參數(shù)m的取值范圍.

探究過程 由以上探索3的基本思路，設一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0對應的二次函數(shù)為f(x)=x2+(m+2)x+3+m，根據(jù)函數(shù)圖像特征有:

1)如圖2,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都大于3，也就是一元二次函數(shù)f(x) =x2+(m+2)x+3+m與x軸的交點都在3的右邊，則需

得

解得m的值不存在.

圖2 圖3 圖4

2)如圖3,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的一根大于3，另一根小于3，只需f(3)<0，即

9+3(m+2)+3+m<0,

3)如圖4,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個根都在[3,4]外，且一根比3小，另一根比4大，則需

即

在對以上變式的探索中我們發(fā)現(xiàn)，設出一元二次方程對應的一元二次函數(shù)，結合函數(shù)圖像的特征，對方程的判別式、給定定義域上的函數(shù)值、對稱軸在定義域上的分布情況(有時某個方面可以省略，如判別式、對稱軸等)進行全面分析，再列出合適的不等式求解，這種解題思路及基本方法具有一般性，完全適用于其他一元二次方程根的分布問題.

3 推廣

基于以上的探索思考、探究歸納，對一元二次方程根的分布類型及解題規(guī)律進行推廣如下：

對一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)和二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0，有：

推廣1 方程f(x)=0的2個根都比k小的充要條件是

推廣2 方程f(x)=0的2個根都比k大的充要條件是

推廣3 方程f(x)=0的一根都在(m,n)內，另一根在(p,q)內的充要條件是

推廣4 方程f(x)=0的2個根都在[m,n]內的充要條件是

推廣5 方程f(x)=0的一根比k大，一根比k小的充要條件是af(k)<0.

推廣6 方程f(x)=0的2個根都在[m,n]外，且一根比m小，另一根比n大的充要條件是

結束語 一元二次方程、一元二次不等式的許多問題常常要借助于與之對應的一元二次函數(shù)圖像的性質，利用數(shù)形結合思想探求解題方法，同時也有不少二次函數(shù)問題的解決又常與對應的一元二次方程的根及一元二次不等式的解集密切相關.因此，熟練掌握“3個二次”的內在聯(lián)系與相互轉化，借助函數(shù)的圖像，是解決諸如此類問題的最佳思路.

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