利用空間向量特殊化與幾何性質(zhì)解立體幾何中的軌跡問題

●李芳奇 (溫州市第二高級中學 浙江溫州 325000)

●唐恒鈞 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

利用空間向量特殊化與幾何性質(zhì)解立體幾何中的軌跡問題

●李芳奇 (溫州市第二高級中學 浙江溫州 325000)

●唐恒鈞 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

高考數(shù)學命題重視知識的交叉滲透，在知識網(wǎng)絡的交匯點設計試題.近幾年來，各省市數(shù)學高考試題以立體圖形為載體的軌跡問題時有出現(xiàn)，將立體幾何和解析幾何巧妙地整合在一起，立意新穎，綜合性強.這類試題由于知識點多，數(shù)學思想和方法考查充分，因此求解比較困難，通常需要學生有較強的空間想象能力.而空間向量法作為一種將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算的方法，極大程度地降低了對學生空間想象能力的要求.此外，教師在教學中也應牢抓圖形的幾何特征，培養(yǎng)學生的空間思維能力.本文以一堂課的教學實錄為例，以期拋磚引玉.

1 問題提出

例1 設m是平面α內(nèi)的一條定直線，P是平面α外的一個定點，動直線n經(jīng)過點P且與m成30°角，則直線n與平面α的交點Q的軌跡是

( )

A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線

這是筆者所在學校期末試卷中的一道選擇題，正確答案為C.該題的正確率在50%左右，答不出來的學生普遍反映無從下手，只能憑感覺猜.筆者調(diào)查5位正確作答的學生，其中有4位給出的方法是空間向量建系，只有1位學生是根據(jù)直線n的幾何模型特征，得知它是一個圓錐面從而求解.

由于選擇題答案的唯一確定性，選擇空間向量建系法的學生，在處理此問題時就顯得比較靈活，可以以此為依托，求得軌跡方程，從而得知是什么類型的曲線.筆者進而追問他們是如何建系的.

生1：以平面α所在的面建立xOy平面.

師：直線m的方向向量如何表示？點P的坐標呢？

生1：設直線m的方向向量為m=(1,0,0)，P(1,1,1)，Q(x,y,0)，則

從而

師：這是雙曲線的標準方程嗎？

生1：好像……不是，是經(jīng)過平移后的雙曲線.

生2：選點P為(0,0,1)更方便，此時

化簡得

師：對于選擇題而言，用最快速、便捷的方法求解乃是上上策.生1已經(jīng)很棒，當然還是選生2的方法更好！大家再仔細讀題“動直線n經(jīng)過點P且與m成30°角”，某直線過定點與一條定直線成定角的軌跡是什么？此類問題在歷年高考中屢有涉及.

2 高考鏈接

圖1

例2 如圖1，AB是平面α的斜線段，A為斜足.若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是

( )

A．圓 B．橢圓

C．1條直線 D．2條平行直線

(2008年浙江省數(shù)學高考理科試題第10題)

分析 由于線段AB是定長線段，且△ABP的面積為定值，因此動點P到線段AB的距離也是定值，可知點P在以AB為軸的圓柱側(cè)面上.又因為點P在平面內(nèi)運動，所以相當于用一個與AB不垂直的平面去截圓柱，得到的截痕為橢圓，即點P的軌跡是圓柱側(cè)面與平面α的交線.

類似的還有2006年北京市數(shù)學高考理科試題第4題.

例3 平面α的斜線AB交α于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交α于點C，則動點C的軌跡是

( )

A．1條直線 B．1個圓

C．1個橢圓 D．雙曲線的1支

(2006年北京市數(shù)學高考理科試題第4題)

分析 由直線l始終與AB垂直，可知l的運動軌跡是直線AB的垂面β，而點C又在平面α內(nèi)，因此點C的軌跡是2個平面的交線.故選A.

例3變式 直線AB與平面M成α角，交平面M于點B，直線PA始終與直線AB保持β角，點P在平面M上，求點P的軌跡方程.

根據(jù)人教版教科書選修2-1對圓錐曲線定義的介紹，可知：1)當α≠90°,β=90°時，動點P的軌跡是1條直線.2)當α=90°,β≠90°時，動點P的軌跡是1個圓.3)當α≠90°,β≠90°時，是1個圓錐面，更具體地說，當α=β時，為拋物線；當0<α<β時，為雙曲線；當β<α<90°時，為橢圓.

經(jīng)過例3變式題的研究之后，學生很容易利用所學知識得到：在例1中，不論2條直線m,n成多少度角，其本質(zhì)是2個圓錐的軸與截面是平行的，因此所得的軌跡為雙曲線.

3 拓展應用

例4 如圖2，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，E,F分別是棱AD，BP上的動點，且滿足AE=2BF，則線段EF中點的軌跡是

( )

A．1條線段 B．1段圓弧

C．拋物線的一部分 D．1個平行四邊形

(2015年浙江省普通高中數(shù)學學業(yè)水平考試第25題)

圖2 圖3

不同于前面例題中涉及到的角度問題，例4是關(guān)于長度關(guān)系的題型.學生思考片刻后，大部分學生表示毫無頭緒，也有小部分學生嘗試采用空間向量建系法.

師：如何建系？底面為平行四邊形，建系起來貌似不那么方便呀.

生3：這是選擇題，可以取特殊的四棱錐！

師：看來例1給了大家很大的啟發(fā)，學以致用，很好！選何種四棱錐？如何建系？

生3：選最特殊的正四棱錐，以正方形ABCD為底面畫圖建系(如圖3).

師：我們學過此類方程嗎？

生4：沒有，不過x,y,z都是一次項，我就猜選A吧！

師：通過圖形特殊化用空間向量處理，得出一個我們暫時沒有學過的方程，生4猜的答案是正確的.

(學生驚呼、贊嘆！)

師：但是，說服力稍欠.仔細觀察AE,BF這2條異面直線，大家回憶下，通常我們?nèi)绾翁幚懋惷嬷本€間的位置關(guān)系？

生：平移.

師：對！經(jīng)過平移，把空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.

具體解法有2種：

解法1 如圖4，取AB的中點M，作EG平行于AB交BC于點G，聯(lián)結(jié)FG，取GF中點N，則四邊形OMBN為平行四邊形，從而MO∥BN.作CH∥GF交BP于點H，取CH的中點K，因為AE=2BF，所以BG=2BF，而∠CBP是確定的角，于是△BGF∽△BCH，因此點N在BK上，故O在平行于直線BK的一條直線上.

圖4 圖5

解法2 如圖5，取AB的中點M，AF的中點N，聯(lián)結(jié)OM,ON,MN,從而MN∥BF，NO∥AE,且滿足NO=2MN.又因為點M的位置確定，且MN始終平行BP，且∠MNO是確定的角.根據(jù)三角形相似可知，點O的軌跡是一條直線.

4 若干反思

本文所提的解決立體幾何中的軌跡問題，在高考中屢有涉及，且作為選擇題的壓軸題，難度頗大.但此類問題既然是以立體幾何為載體和背景，又以求軌跡為目標，其解題的基本思路也就可以從幾何性質(zhì)和解析幾何方法著手，這也是解決此類問題的通性通法.

一方面，指向解題目標，以空間向量法實現(xiàn)形至數(shù)的轉(zhuǎn)化.在本文的例1和例4中都體現(xiàn)了這樣的思路.學生在使用空間向量法時常會遇到的一個困難是“如何合理地建系”，這是在教學中需要給予關(guān)注的.考慮本課是在期末考試中一道得分率不高的選擇題基礎(chǔ)上設計的一節(jié)習題課，學生真實的解題思維并不能通過所選擇的最終答案得以揭示，因此在本課的教學中，筆者強調(diào)通過與學生間的對話呈現(xiàn)他們真實的思維過程.更重要的是，通過這樣的對話讓學生感受到建系方式的多樣性與選擇方法.如在例1中，生1和生2都是通過向量方法解決問題，但與他們的對話中展現(xiàn)給全班學生的是：不同的建系方式導致后續(xù)運算、判斷等環(huán)節(jié)難度的差異.另外，考慮到此類問題常以選擇題的形式出現(xiàn)，因此特殊化就顯得極為重要.特別是在一般情況下建系較為困難時，需要考慮空間向量的特殊化.如例1中設點和直線的特殊化，例4中設幾何體形狀特殊化、出現(xiàn)的特殊化向量等.

另一方面，盡管此類問題看似是解析幾何問題，但幾何性質(zhì)在解題過程中仍起到舉足輕重的作用，解題也可以從條件出發(fā)挖掘其中蘊含的幾何性質(zhì)，并利用解析幾何中常見曲線的定義進行判斷.如例2、例3及其變式、例4的解法2都是使用了該思路.

總之，學生解決具有知識交叉綜合的數(shù)學問題不僅僅是一種挑戰(zhàn)，更有助于其自身知識的不斷整合與深化，也有助于其數(shù)學問題解決能力的提升.因此，知識交叉綜合的數(shù)學問題是有價值的，未來也許會越來越多見.在教學中，教師要有意識地引導學生去解決此類問題，特別是要教給學生一些通性通法.