也談向量法解決立體幾何問題

●陳重陽 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325000)

也談向量法解決立體幾何問題

●陳重陽 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325000)

向量有了運(yùn)算才顯示出它應(yīng)用的威力，綜觀立體幾何高考試題和課堂教學(xué)，用向量法解決立體幾何問題，一般采用“坐標(biāo)法”，即通過建系，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.絕大多數(shù)師生對坐標(biāo)法是輕車熟路并能熟練運(yùn)用，該現(xiàn)象顯示了坐標(biāo)法在解決立體幾何問題中的普適性.但是，坐標(biāo)法存在坐標(biāo)容易算錯(cuò)或難算的缺點(diǎn).過度強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法，只會(huì)把向量法解決立體幾何問題的教學(xué)逼進(jìn)“只見樹木不見森林”的尷尬境地，包括向量線性運(yùn)算及數(shù)量積等非坐標(biāo)運(yùn)算被邊緣化，甚至被忽視.

筆者認(rèn)為，強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法本無可厚非，但是也應(yīng)重視以下2個(gè)薄弱方面：一是建系雖易，算坐標(biāo)不易，有哪些方法可突破；二是建系不易，向量法有哪些非坐標(biāo)運(yùn)算.

1 補(bǔ)作幾何模型，不言自明

坐標(biāo)法首先要建系求坐標(biāo)，寫某點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),一般會(huì)利用該點(diǎn)到3個(gè)坐標(biāo)平面的距離,再考慮符號.

在這個(gè)過程中，我們的腦海中會(huì)無形運(yùn)用一個(gè)長方體的模型去寫坐標(biāo).在很多立體幾何圖形中，通過割補(bǔ)方法可以還原為一個(gè)長方體模型，在長方體中寫出某點(diǎn)坐標(biāo)就顯得容易多了.

例1 如圖1，在多面體E-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足為E，AE=3，CE=9．

1)求證：平面ABCD⊥平面ADE；

2)求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．

(2011年浙江省溫州市第2次適應(yīng)性測試試題)

圖1 圖2

困境 閱卷后發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生以E或C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A,C,D,E的坐標(biāo)都容易寫出，但要寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)卻束手無策.

分析 1)略.

2)設(shè)正方形ABCD的邊長為a，在Rt△CDE中，

DE2=CE2-CD2=81-a2，

在Rt△ADE中，

DE2=AD2-AE2=a2-9.

評注 本例中，幾何體補(bǔ)成長方體的方法很奏效，體現(xiàn)了割補(bǔ)思想在解決立體幾何中的作用.當(dāng)然，如果以D為坐標(biāo)原點(diǎn)、以DC,DE分別為x,y軸建系，也可輕易寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).因此，只要我們留心觀察，縝密分析，熟悉由長方體割得的常見幾何體模型，就會(huì)收獲意想不到的解題效果.

2 巧用垂直平行，事半功倍

垂直與平行作為2種特殊的空間位置關(guān)系，是立體幾何考查的重點(diǎn).若能用好垂直與平行條件，則求某點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)有事半功倍的效果.

例2 如圖3，在多面體B-ACDE中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，四邊形ACDE為等腰梯形，∠EAC=∠DCA=45°，AC=2ED=4，平面BCD⊥平面ABE.

1)求證:AB⊥平面BCD；

2)試求二面角C-BD-E的大小.

(2012年浙江省溫州市第2次適應(yīng)性測試)

圖3 圖4

困境 本題當(dāng)年的全市平均分不到3分(滿分為14分).筆者考后訪談學(xué)生，他們認(rèn)為：“本例中圖形‘怪異’，建系不易，點(diǎn)D,E的坐標(biāo)難求，沒想到立體幾何題目也這么難！”坐標(biāo)法解決本例的困難是：1)如何建系；2)點(diǎn)D,E坐標(biāo)怎么求.多數(shù)學(xué)生對此束手無策，究其原因，是沒有充分運(yùn)用好題中的垂直條件.

分析 1)略.

評注 本例中利用AB⊥平面BCD建系，利用FA,FC的垂直及長度相等求點(diǎn)F的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.由于坐標(biāo)法教學(xué)中很少涉及類似問題，使得本題的得分如此之低，這應(yīng)引起重視.

1)略；

2)求平面A1B1C與平面BB1C1C所成銳角的余弦值.

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖5

困境 如圖5建立坐標(biāo)系，求平面A1B1C與面BB1C1C所成角的余弦值，必需要求2個(gè)平面的法向量.若通過求點(diǎn)B1的坐標(biāo)，則顯得麻煩，能否回避求點(diǎn)B1的坐標(biāo)？

評注 因?yàn)锳1B1AB，所以可用替代，這樣就繞開了求點(diǎn)B1的坐標(biāo)，體現(xiàn)了向量法解立體幾何問題的優(yōu)越性和靈活性.當(dāng)然，如果利用也可以求出點(diǎn)B1的坐標(biāo)，但是對本題而言沒有必要.

3 活用向量回路，柳暗花明

向量回路是指從一點(diǎn)出發(fā)，通過一條封閉的折線路徑又回到原點(diǎn)的那條通路.利用向量回路，通過平方、數(shù)量積等向量的非坐標(biāo)運(yùn)算來解決一些立體幾何問題,可以彌補(bǔ)坐標(biāo)法的不足，為解決難建系的立體幾何題目創(chuàng)造了新的機(jī)會(huì).

圖6

( )

A．存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置,3組直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

困境 運(yùn)動(dòng)過程中判斷2條直線在某個(gè)位置處是否垂直，建立坐標(biāo)系然后用坐標(biāo)法解決是有難度的.

分析 由題意，

圖7

例5 如圖7，在三棱錐S-ABC中，△SAC為AC=1的正三角形，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，對棱SA,BC所成角為60°.

1)求SB的長度；

2)求二面角S-AC-B的余弦值.

(2009年海南省數(shù)學(xué)高考理科試題改編)

從而

評注 本題利用向量回路法求解簡捷明了，學(xué)生易于接受，對發(fā)展學(xué)生的思維也有較好作用.因此，在向量法解決立體幾何問題的教學(xué)中，我們不能一味地追求坐標(biāo)法，還要關(guān)注向量線性運(yùn)算和數(shù)量積等多種運(yùn)算，特別要加強(qiáng)針對向量回路法的訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)和理解：何時(shí)用向量回路法，選擇什么樣的回路最好，等等.

4 依賴基底思想，峰回路轉(zhuǎn)

基本定理是向量用基底表示的理論基礎(chǔ)，基底思想是坐標(biāo)法的本源，它讓“向量坐標(biāo)化”成為一種可能，進(jìn)而讓向量的代數(shù)運(yùn)算真正成為一種簡單的數(shù)字運(yùn)算.

圖8

例6 如圖8，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，求:

1)異面直線AB1與BC1所成角的余弦值(原題是填空題)；

2)求直線AB1與平面AA1C1C所成角的正弦值(此小題為筆者增加).

(2012年全國數(shù)學(xué)高考大綱卷理科試題改編)

困境 由于本題中的幾何體是斜棱柱，用幾何綜合法和向量坐標(biāo)法進(jìn)行求解都有一定難度.注意到棱AA1與AB，AA1與AC，AB與AC的夾角都是60°且長度相等，它們可作為空間向量的一組基底.

|a|=|b|=|c|=1，

a2-b2+a·c+b·c=1,

2)設(shè)平面AA1C1C的法向量為n=xa+yb+zc(其中x,y,z∈R)，則

從而

取x=1,y=-3，z=1，即n=a-3b+c，從而直線AB1與平面AA1C1C所成角的正弦值為

評注 求空間角必定要用到向量的數(shù)量積運(yùn)算，本例中依賴向量基底思想，關(guān)鍵是如何求一個(gè)平面的法向量.“設(shè)平面AA1C1C的法向量為n=xa+yb+zc，利用n·a=n·c=0求得x,y,z的值”是向量基本定理和數(shù)量積的直接應(yīng)用，它的算法更具有一般性.

5 結(jié)束語

回讀教材，無論是平面向量還是空間向量都源起于物理問題的研究，最初的向量模型是從物理中的位移、力、速度等概念中抽象出來的.事實(shí)上，物理中研究位移、力、速度時(shí)，不會(huì)有意說明它們是平面的還是空間的，更不會(huì)關(guān)注其坐標(biāo)是什么.向量的坐標(biāo)表示作為向量代數(shù)化的手段，從運(yùn)算的角度看是把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N簡捷明了的數(shù)字運(yùn)算，向量的基本定理是坐標(biāo)法的理論基礎(chǔ)，這就意味著向量回路法和基底思想等非坐標(biāo)運(yùn)算及線性運(yùn)算是向量教學(xué)的起點(diǎn)、基礎(chǔ)和本質(zhì).在向量法解決立體幾何問題的教學(xué)中，教師應(yīng)該有這樣的理解，并把這種理解傳遞給學(xué)生.

章建躍博士指出：“解題教學(xué)要強(qiáng)調(diào)基本概念所反映的思想方法這一根本大法的應(yīng)用.要讓學(xué)生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習(xí)慣.”在立體幾何教學(xué)中，不僅要兼顧幾何綜合法和向量坐標(biāo)法，當(dāng)用向量坐標(biāo)法比較困難時(shí)，更應(yīng)重視非坐標(biāo)運(yùn)算的向量方法，這樣做不僅能完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，還能錘煉和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，才能真正實(shí)現(xiàn)“體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用”這一課程目標(biāo).

[1] 陳碧珍.向量“回路法”解立體幾何問題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué):高中,2013(6):53-55.