基于循環(huán)矩的高階調(diào)制PCMA信號的參數(shù)估計(jì)*

曹玉健， 趙宇峰， 涂世龍， 戴旭初

(1中國科學(xué)院無線光電通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 合肥 230026 2盲信號處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610041)

引 言

通信信號的特征參數(shù)估計(jì)是非協(xié)作通信中很重要的研究課題，參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確與否對于后續(xù)的信號解調(diào)和分析有著至關(guān)重要的作用。成對載波多址(PCMA)是一種能夠節(jié)省傳輸帶寬的衛(wèi)星通信信號多址方式［1］。對于單通道非協(xié)作接收到的PCMA信號來說，能否從時(shí)頻混疊的信號中獲得信號參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)是PCMA信號分離和解調(diào)的關(guān)鍵。

對于PCMA信號，需要估計(jì)的參數(shù)有符號率、頻偏、載波相位、信號延時(shí)、信號功率等。目前，已有一些研究者從不同的角度，提出了一些PCMA信號或同頻混合信號的參數(shù)估計(jì)方法。例如，文獻(xiàn)［2］在假設(shè)其它參數(shù)已知和發(fā)送端的符號序列已知的情況下，對PCMA系統(tǒng)中的干擾信號幅度進(jìn)行了估計(jì);文獻(xiàn)［3］利用PCMA信號包絡(luò)的差分信息來估計(jì)信號的符號率;文獻(xiàn)［4］則利用最大似然方法估計(jì)同頻混合信號的時(shí)延;文獻(xiàn)［5］研究了相位調(diào)制PCMA信號的譜線特征，并給出了時(shí)延的估計(jì)方法;文獻(xiàn)［6］基于循環(huán)延遲自相關(guān)方法，提出了同頻混合數(shù)字調(diào)制信號時(shí)延的閉式估計(jì)方法?？傮w而言，現(xiàn)有的關(guān)于PCMA參數(shù)估計(jì)的研究基本上都針對低階調(diào)制的PCMA信號(如BPSK、QPSK等)，而且其估計(jì)方法和算法都要求部分參數(shù)已知，且僅對個(gè)別的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。而高階調(diào)制PCMA信號(如8PSK、16QAM等)的參數(shù)估計(jì)，仍未得到深入研究。

本文首先介紹循環(huán)矩的定義及其性質(zhì)，并分析高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)與二階、四階和八階循環(huán)矩譜的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了高階調(diào)制PCMA信號所有特征參數(shù)的估計(jì)方法，包括符號率、殘留頻偏、傳輸信道衰落系數(shù)、初始相位和定時(shí)誤差估計(jì)。然后，根據(jù)本文提出的參數(shù)估計(jì)方法的特點(diǎn)，針對工程應(yīng)用給出了循環(huán)矩的實(shí)用化估計(jì)方法。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文提出的高階PCMA信號參數(shù)估計(jì)方法的有效性。

1 信號模型和問題描述

一個(gè)單通道接收機(jī)接收到下行PCMA信號，對其作放大、變頻等處理后，基帶信號y(t)可表示為

其中，T為發(fā)送符號的周期，si(n)為發(fā)送端傳輸?shù)姆栃蛄校襰1(n)、s2(n)具有相同的調(diào)制星座圖，因本文考慮的是高階調(diào)制，故為等效的傳輸衰落系數(shù)，通常在一個(gè)數(shù)據(jù)幀內(nèi)，hi是恒定不變的;Δfi表示數(shù)字調(diào)制信號經(jīng)過下變頻后殘留的頻偏，θi為初始相位，εi為定時(shí)誤差，且表示等效的基帶成形濾波器，本文采用滾降系數(shù)為βi的升余弦滾降濾波器為零均值、功率為σ2v的平穩(wěn)復(fù)高斯白噪聲，且獨(dú)立于s1(n)、s2(n)。

在式(1)和式(2)表示的PCMA信號模型中，殘留頻偏Δfi比較小，通常Δfi·T在10-5～10-2量級，且Δf1≠Δf2。另外，由于s1(n)、s2(n)的符號率相同、調(diào)制方式相同，因此y1(t)和y2(t)在時(shí)域上完全重疊，頻域上也幾乎完全重疊。但是，數(shù)字調(diào)制信號具有循環(huán)平穩(wěn)特性，其循環(huán)頻率(循環(huán)平穩(wěn)周期)與Δfi和T有關(guān)。

本文要研究的問題是:基于上述信號模型和循環(huán)平穩(wěn)理論，探討只利用接收到的單通道混合信號y(t)來估計(jì)高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)的方法和實(shí)現(xiàn)算法，需要估計(jì)的參數(shù)包括T、Δfi、hi、θi、εi。

2 高階調(diào)制PCMA信號的循環(huán)矩(譜)特性

2.1 循環(huán)平穩(wěn)信號的時(shí)變矩和循環(huán)矩

循環(huán)平穩(wěn)信號x(t)的k階時(shí)變矩［7］定義如下

其中，(*)j表示是否對第j個(gè)因子取共軛，m表示k階矩中取共軛的數(shù)目。它的傅里葉變換

稱為x(t)在循環(huán)頻率α的k階循環(huán)矩，式中［*］t表示時(shí)間平均。通常，將k＞2的循環(huán)矩稱為高階循環(huán)矩。

由時(shí)變矩和循環(huán)矩的定義，可以得到循環(huán)矩譜具有下列三個(gè)性質(zhì)

性質(zhì)1:如果x(t)是k階平穩(wěn)信號，則當(dāng)α≠0時(shí)，有Mαx(k，m)=0;

性質(zhì)2:如果x(t)是k階循環(huán)平穩(wěn)信號，時(shí)變矩是周期為T的周期函數(shù)，即k，m)，p為任意整數(shù)，則有

性質(zhì)3:在k和m給定的情況下，是循環(huán)頻率α的函數(shù)，此時(shí)也稱為循環(huán)矩譜。如果循環(huán)矩譜存在離散譜線，則x(t)一定是k階循環(huán)平穩(wěn)信號。

由于MQAM的循環(huán)矩(譜)具有類似的特性，后續(xù)分析將以16QAM和8PSK信號為例，具體研究這兩類數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)矩特征。

2.2 16QAM數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)矩譜特征

16QAM數(shù)字調(diào)制信號可表達(dá)為

2.2.1 二階時(shí)變矩mx(t，2，1)和二階循環(huán)矩譜

根據(jù)式(3)的定義和式(6)，可以得到x(t)的二階時(shí)變矩mx(t，2，1)為

很明顯，mx(t，2，1)是周期為T的周期函數(shù)，其傅里葉變換為

其中B2(f)是g2(t)的傅里葉變換，即B2(f)=G(f)*G(f)，G(f)是滾降系數(shù)為β的升余弦濾波器g(t)的傅里葉變換，*表示線性卷積，δ(f)是沖激函數(shù)。

可見，16QAM數(shù)字調(diào)制信號具有二階循環(huán)平穩(wěn)性，其非零的循環(huán)頻率為α=±1/T，且與Δf無關(guān)。

2.2.2 四階時(shí)變矩mx(t，4，0)和四階循環(huán)矩譜

16QAM數(shù)字調(diào)制信號x(t)的四階時(shí)變矩mx(t，4，0)為

其中C是與調(diào)制星座圖有關(guān)的常量，對于16QAM數(shù)字調(diào)制信號，C=-68。

由式(10)可知，mx(t，4，0)是周期函數(shù)，其周期為T。利用傅里葉變換性質(zhì)，可得到其四階循環(huán)矩譜為

式(11)中的B4(f)是g4(t)的傅里葉變換。

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因此，16QAM數(shù)字調(diào)制信號具有四階循環(huán)平穩(wěn)性，其非零的循環(huán)頻率為α=4Δf，4Δf±1/T，4Δf±2/T。由于B4(f)隨著f增大而減小，所以有

2.3 8PSK數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)矩譜特征

8PSK數(shù)字調(diào)制信號可表示為

與16QAM數(shù)字調(diào)制信號類似，8PSK數(shù)字調(diào)制信號的二階時(shí)變矩為

比較式(7)和式(15)可知，8PSK數(shù)字調(diào)制信號的二階時(shí)變矩也是周期為T的周期函數(shù)，其二階循環(huán)矩譜非零的循環(huán)頻率為

根據(jù)時(shí)變矩的定義，易知8PSK數(shù)字調(diào)制信號的四階時(shí)變矩均為0，但八階時(shí)變矩不為零，有

經(jīng)過推導(dǎo)，其八階循環(huán)矩譜為

其中B8(f)是g8(t)的傅里葉變換。由式(17)可知，8PSK數(shù)字調(diào)制信號具有八階循環(huán)平穩(wěn)性，由于B8(f)的帶限特性和隨著f增加的衰減特性，其非零的循環(huán)頻率為通常取n≤2，且循環(huán)頻率越大，其對應(yīng)的譜線幅度越小，即

2.4 高階調(diào)制PCMA信號的循環(huán)矩(譜)特征

對于式(1)和式(2)表示的PCMA信號，利用噪聲v(t)的平穩(wěn)性，以及s1(n)、s2(n)和v(t)之間的相互獨(dú)立性，可以很容易得到下列結(jié)論。

①對于8PSK和16QAM PCMA信號，有

即對于PCMA信號，Mfy(2，1)只在處有離散譜線。

②對于16QAM PCMA信號，有

③對于8PSK PCMA信號，有

3 參數(shù)估計(jì)方法

根據(jù)第2節(jié)的分析可知，對于高階調(diào)制PCMA信號，其二階、四階或八階循環(huán)矩譜存在離散譜線，而譜線包含了PCMA信號中的特征參數(shù)信息，本小節(jié)將討論利用循環(huán)矩譜中離散譜線的位置、幅度和相位信息來估計(jì)PCMA信號中兩個(gè)分量信號參數(shù)的方法。

3.1 符號率和殘留頻偏的估計(jì)

PCMA信號的循環(huán)頻率中含有符號率和殘留頻偏信息，因此只要通過循環(huán)矩譜確定離散譜線位置，即可獲得循環(huán)頻率，從而得到符號率和殘留頻偏的估計(jì)。

3.1.1 符號率的估計(jì)

由式(19)可知，不論是8PSK還是16QAM PCMA信號，其在0，處都有離散譜線，因此可將在f≠0處的最大值所對應(yīng)的頻率點(diǎn)作為符號率的估計(jì)，即

3.1.2 殘留頻偏的估計(jì)

①16QAM PCMA信號的殘留頻偏估計(jì)

其次，在集合Ω1中找到的最大值所對應(yīng)的循環(huán)頻率，便可獲得一個(gè)殘留頻偏的估計(jì)，不失一般性，假設(shè)此時(shí)得到的是Δf1的估計(jì)，即

最后，去掉Ω1中與Δf1有關(guān)的元素，即4Δf1±n/T，得到子集Ω2:{4Δf2±n/T;n=0，1，2}，進(jìn)而獲得Δf2的估計(jì)，即

②8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計(jì)

對8PSK PCMA信號，由式(21)易知其八階循環(huán)頻率集合結(jié)合式(18)可知，8PSK八階循環(huán)矩譜的離散譜線結(jié)構(gòu)和特征與16QAM的四階循環(huán)矩譜類似，故8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計(jì)方法與16QAM的相同，即

3.2 傳輸衰落系數(shù)的估計(jì)

根據(jù)式(12)、(17)、(20)、(21)，可得到循環(huán)矩與傳輸衰落系數(shù)hi的關(guān)系。對于16QAM PCMA信號，有

同理，對于8PSK PCMA信號，有

應(yīng)該注意到，hi、B4(0)、B8(0)、C和T都是實(shí)數(shù)，因此，hi的估計(jì)為

對于16QAM PCMA信號

對于8PSK PCMA信號

由于滾降系數(shù)βi∈［1/3，1/2］，且通過數(shù)值計(jì)算可知，B4(0)、B8(0)隨不同βi值的變化不大，因此在實(shí)際應(yīng)用中，取B4(0)≈0.64、B8(0)≈0.46即可。

3.3 初始相位和定時(shí)誤差估計(jì)

初始相位θi和定時(shí)誤差εi包含在離散譜線的相位信息中，根據(jù)式(12)、(17)、(20)、(21)，并注意到B4(f)和B8(f)是實(shí)偶對稱的，則可以利用循環(huán)矩譜中離散譜線的相位估計(jì)εi和θi。

對于16QAM PCMA信號

式中arg(z)表示對復(fù)數(shù)z求相角。

對于8PSK PCMA信號

3.4 循環(huán)矩譜的估計(jì)

由前文的討論和分析可知，參數(shù)估計(jì)是通過y(t)的二階、四階或八階循環(huán)矩譜來獲得。在實(shí)際應(yīng)用中，二階、四階或八階循環(huán)矩譜是利用有限長的接收數(shù)據(jù)來估計(jì)的。

不失一般性，假設(shè)以采樣頻率fs對接收信號y(t)進(jìn)行采樣，得到接收信號的數(shù)據(jù)序列y(n)=y(t)|t=nTs，其中Ts=1/fs。為了防止頻譜混疊，同時(shí)降低帶外噪聲的影響，通常選取fs≥Pfb，fb=1/T，P≥4。若用長度為N的數(shù)據(jù)y(n)來估計(jì)循環(huán)矩譜，則y(t)的二階、四階或八階循環(huán)矩譜的估計(jì)為其中DFT［·］表示對序列進(jìn)行離散傅里葉變換，通常用FFT算法來實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)估計(jì)理論可知，循環(huán)矩譜的估計(jì)誤差主要與數(shù)字信號的調(diào)制階數(shù)、循環(huán)矩譜的階數(shù)、信噪比、數(shù)據(jù)長度等諸多因素有關(guān)，在相同的估計(jì)誤差條件下，調(diào)制階數(shù)越高、循環(huán)矩譜的階數(shù)越高、信噪比越低，所需要的數(shù)據(jù)長度越大。通過仿真實(shí)驗(yàn)，我們看到，為獲得穩(wěn)定可靠的估計(jì)，估計(jì)(2，1)、(4，0)和(8，0)所需要的數(shù)據(jù)長度分別不小于P·103、P·105和P·107，直接計(jì)算如此大長度的DFT，給實(shí)際的工程應(yīng)用帶來了很大的困難。下面根據(jù)本文參數(shù)估計(jì)方法的特點(diǎn)，給出有利于工程實(shí)現(xiàn)的循環(huán)矩(譜)的估計(jì)方法。

3.4.1 基于分段疊加的循環(huán)矩譜估計(jì)

符號率和殘留頻偏的估計(jì)只需要利用循環(huán)矩譜中離散譜線的位置信息，不要求幅度和相位的準(zhǔn)確性，因此可考慮將長的數(shù)據(jù)序列分成若干段較短的序列，分段計(jì)算每段數(shù)據(jù)的時(shí)變矩。然后將分段數(shù)據(jù)的時(shí)變矩進(jìn)行疊加平均后計(jì)算DFT，以獲得離散譜線的位置。最后利用修正技術(shù)對離散譜線的位置進(jìn)行修正，從而獲得較為準(zhǔn)確的循環(huán)頻率估計(jì)。

不失一般性，假設(shè)將長度為N的數(shù)據(jù)分成K段，每段長度為Q，即N=KQ。以8階循環(huán)矩譜的估計(jì)為例，令yk(q)=y8(q+kQ)，q=0，…，Q-1，k=0，…，K-1，則8階循環(huán)矩譜分段疊加估計(jì)為

當(dāng)用FFT來計(jì)算式(39)時(shí)，由于FFT的長度為Q，故循環(huán)矩譜的頻率分辨率為由于數(shù)據(jù)長度Q較短，F(xiàn)FT估計(jì)的頻譜存在柵欄效應(yīng)，離散譜線對應(yīng)的頻率值可能不等于理論上的循環(huán)頻率。此時(shí)直接提取譜線位置來估計(jì)符號率和殘留頻偏存在誤差，最大估計(jì)誤差為因此有必要對直接估計(jì)結(jié)果進(jìn)行修正，具體修正方法見文獻(xiàn)［8］。該方法具有計(jì)算量小、修正效果明顯的優(yōu)點(diǎn)，受篇幅限制，這里不再贅述。仿真實(shí)驗(yàn)表明，采用修正技術(shù)后，循環(huán)頻率的估計(jì)精度能夠提高1～2個(gè)數(shù)量級。

3.4.2 基于遞推計(jì)算的特定循環(huán)頻率的循環(huán)矩估計(jì)

與符號率和殘留頻偏的估計(jì)不同，傳輸衰落系數(shù)、初始相位和定時(shí)誤差的估計(jì)利用的是“特定循環(huán)頻率點(diǎn)”上循環(huán)矩的幅度和相位信息。為了降低運(yùn)算量，同時(shí)保證估計(jì)精度，可以采用隨時(shí)間遞推的方法估計(jì)特定循環(huán)頻率的循環(huán)矩。

由此可得M(n)隨時(shí)間遞推的估計(jì)關(guān)系式

利用式(41)對特定循環(huán)頻率的循環(huán)矩進(jìn)行估計(jì)，由于在每個(gè)時(shí)刻的計(jì)算量非常小，因此該方法非常適合于工程應(yīng)用。另外，隨著n的不斷增加，M(n)能夠逐漸地逼近理論值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

本小節(jié)將通過MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文提出的參數(shù)估計(jì)方法的有效性，并考察其性能特點(diǎn)。

仿真實(shí)驗(yàn)中，符號率、殘留頻偏、采樣率都采用相對于符號率歸一化的參數(shù)，即T=1，采樣率fs=4，Δf1和Δf2分別在范圍內(nèi)隨機(jī)選取。其它參數(shù)設(shè)置為初始相位θi隨機(jī)選取;接收信噪比SNR定義為y1(t)和y2(t)的平均帶內(nèi)信噪比。另外，在估計(jì)二階、四階和八階循環(huán)矩時(shí)，所用的符號數(shù)分別是107個(gè)，分段疊加法估計(jì)循環(huán)矩譜時(shí)，每個(gè)分段的長度是5×103個(gè)符號。所有的性能曲線都是通過對100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行平均獲得的。

圖1是PCMA信號符號率、殘留頻偏估計(jì)的相對誤差與信噪比關(guān)系的仿真曲線，其中符號率估計(jì)的相對誤差定義為為符號率的估計(jì)值;殘留頻偏估計(jì)的相對誤差定義為兩個(gè)殘留頻偏估計(jì)的相對誤差的平均值，即和分別是兩個(gè)殘留頻偏的估計(jì)值。從圖1可以看出，當(dāng)信噪比大于12dB時(shí)，不管是16QAM或者是8PSK PCMA信號，其符號率和殘留頻偏估計(jì)的相對誤差都在10-7～10-6量級;但是當(dāng)信噪比小于12dB時(shí)，8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計(jì)性能隨信噪比降低迅速惡化，這主要是因?yàn)榘穗A循環(huán)矩的估計(jì)對噪聲比較敏感，而二階和四階循環(huán)矩的估計(jì)對噪聲不敏感。

圖2是PCMA信號傳輸衰落系數(shù)估計(jì)的相對誤差與信噪比關(guān)系的仿真曲線，這里相對誤差定義為由圖2可知，當(dāng)信噪比大于16dB時(shí)，16QAM PCMA信號和8PSK PCMA信號傳輸衰落系數(shù)的估計(jì)性能接近，相對誤差大約在當(dāng)信噪比小于14dB時(shí)，16QAM PCMA信號傳輸衰落系數(shù)的估計(jì)性能要優(yōu)于8PSK PCMA信號，其原因也是八階循環(huán)矩的估計(jì)對噪聲比較敏感。

圖1 符號率、殘留頻偏的估計(jì)性能與信噪比的關(guān)系Fig.1 The estimation performances of symbol-rate and frequency offsetwith SNR

圖3和圖4分別是PCMA信號初始相位和定時(shí)誤差的估計(jì)性能與信噪比的關(guān)系曲線。可以看出，當(dāng)信噪比大于16dB時(shí)，初始相位、定時(shí)誤差估計(jì)的絕對誤差都在10-3量級，而且16QAM和8PSK PCMA信號的估計(jì)性能非常接近，但是當(dāng)信噪比小于14dB時(shí)，16QAM PCMA信號的估計(jì)性能要優(yōu)于8PSK PCMA信號，與傳輸衰落系數(shù)估計(jì)性能的特點(diǎn)一致。

圖2 傳輸衰落系數(shù)的估計(jì)性能與信噪比的關(guān)系Fig.2 The estimation performances of channel fading coefficientswith SNR

綜合上述仿真結(jié)果，可以看出:①由于符號率和殘留頻偏估計(jì)只利用了離散譜線的位置信息，而傳輸衰落系數(shù)、初始相位和定時(shí)誤差估計(jì)利用的是離散譜線的幅度或相位信息，因此符號率和殘留頻偏的可靠估計(jì)對信噪比的要求比其它參數(shù)的可靠估計(jì)大約低2～3dB;②在相同的信噪比條件下，8PSK PCMA信號參數(shù)估計(jì)的總體性能比16QAM PCMA信號略差;③高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)估計(jì)性能主要與使用的數(shù)據(jù)長度、信噪比、兩個(gè)分量信號的功率差等因素密切相關(guān)，進(jìn)一步的仿真實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)兩個(gè)信號的功率差大于3dB時(shí)，小功率信號參數(shù)的估計(jì)性能將明顯下降，特別是對8PSK PCMA信號，受篇幅限制，這里不再展開討論，將另文闡述。

圖3 初始相位的估計(jì)性能與信噪比的關(guān)系Fig.3 The estimation performances of initial phases with SNR

圖4 定時(shí)誤差的估計(jì)性能與信噪比的關(guān)系Fig.4 The estimation performances of timing errors with SNR

5 結(jié)束語

本文以非協(xié)作接收PCMA信號為背景，以循環(huán)統(tǒng)計(jì)量為工具，對高階調(diào)制PCMA信號的參數(shù)估計(jì)問題進(jìn)行深入分析研究。通過對8PSK和16QAM PCMA信號循環(huán)矩的細(xì)致分析，獲得了其二階、四階和八階循環(huán)矩(譜)與信號諸多參數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，針對高階循環(huán)矩計(jì)算需要很長數(shù)據(jù)的問題，我們根據(jù)估計(jì)算法的特點(diǎn)，給出了高階循環(huán)矩(譜)的實(shí)用化估計(jì)方法，即基于分段疊加的循環(huán)矩譜估計(jì)和基于遞推計(jì)算的循環(huán)矩估計(jì)，為本文提出的參數(shù)估計(jì)算法的工程實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用高階循環(huán)矩可以對高階調(diào)制PCMA信號參數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)，且估計(jì)精度能夠滿足工程應(yīng)用要求。

需要指出的是，本文給出的16QAM PCMA信號的參數(shù)估計(jì)方法同樣適用于32QAM、64QAM等高階QAM PCMA信號。另外，當(dāng)8PSK PCMA信號中的兩個(gè)分量信號的功率差大于3dB時(shí)，本文算法對較小功率分量信號的參數(shù)估計(jì)性能將明顯下降，需要采用一些新的方法或措施改進(jìn)本文算法，目前該項(xiàng)研究工作正在進(jìn)展中。

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