二項(xiàng)分布下的MSPOT方法研究

王雪崢

(92493 部隊(duì) 98 分隊(duì) 葫蘆島 125000)

引 言

在裝備試驗(yàn)鑒定中，經(jīng)常會(huì)涉及到服從二項(xiàng)分布的指標(biāo)參數(shù)，例如彈炮命中概率的鑒定問題、復(fù)雜系統(tǒng)可靠性鑒定問題等。關(guān)于二項(xiàng)分布參數(shù)的檢驗(yàn)方法，常用的有經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)［1］、貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)［2］以及序貫檢驗(yàn)［3］。不管是哪一種假設(shè)檢驗(yàn)方法，都離不開統(tǒng)計(jì)假設(shè)。以導(dǎo)彈命中概率p(0＜p＜1)為例，給出命中概率指標(biāo)為某一個(gè)數(shù)值p0和最低可接受值p1，則相應(yīng)的簡單假設(shè)為:H0:p=p0，H1:p=p1。試驗(yàn)方案應(yīng)具有如下特性:當(dāng)實(shí)際p≥p0時(shí)，應(yīng)以不低于(1-α)的概率通過驗(yàn)證試驗(yàn);當(dāng)p≤p1時(shí)，應(yīng)以不高于β的概率通過驗(yàn)證試驗(yàn)。α為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，β為使用方風(fēng)險(xiǎn)。在該假設(shè)條件下，不管是采用經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)、貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)，還是序貫檢驗(yàn)，最終得出的結(jié)論是接受H0:p=p0，認(rèn)為實(shí)際導(dǎo)彈命中概率p≥p0;或者拒絕H0:p=p0，而接受H1:p=p1，認(rèn)為實(shí)際導(dǎo)彈命中概率p≤p1。當(dāng)導(dǎo)彈實(shí)際命中概率p處在［p1，p0］區(qū)間上時(shí)，這種簡單假設(shè)方案無法做出判斷，只會(huì)判給p≥p0或p≤p1，這對于子樣數(shù)較少的導(dǎo)彈類武器試驗(yàn)來說，無疑減少了試驗(yàn)信息，甚至是提供了錯(cuò)誤的試驗(yàn)信息。本文提出的多假設(shè)序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)MSPOT(Multi-hypothesis Sequential Posterior Odd Test)方法很好地解決了上述問題。

所謂多假設(shè)，是指統(tǒng)計(jì)假設(shè)打破傳統(tǒng)兩個(gè)假設(shè)(即原假設(shè)和備擇假設(shè))的情況，根據(jù)實(shí)際需求，將參數(shù)空間劃分成多個(gè)，對應(yīng)出現(xiàn)多個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)。例如前文導(dǎo)彈命中概率問題，參數(shù)空間劃分為0＜p＜p1，p1≤p＜p0，p0≤p＜1三個(gè)區(qū)域，則對應(yīng)三個(gè)假設(shè)為H0:0＜p＜p1，H1:p1≤p＜p0，H2:p0≤p＜1。這里不再分原假設(shè)和備擇假設(shè)，而是根據(jù)具體參數(shù)空間的意義來判斷，比如H0為真時(shí)，說明0＜p＜p1，即命中概率沒有達(dá)到最低可接受值;當(dāng)H1為真時(shí)，說明p1≤p＜p0，即命中概率達(dá)到最低可接受值，但尚未達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求;當(dāng)H2為真時(shí)，說明p0≤p＜1，即命中概率達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。

序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)SPOT(Sequential Posterior Odd Test)方法通常是將A.Wald提出的序貫概率比檢驗(yàn)SPRT(Sequential Probability Ratio Test)方法的似然比換作似然函數(shù)在Θ0、Θ1上的驗(yàn)后加權(quán)比，Θ0、Θ1是原假設(shè)和備擇假設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)空間。SPOT方法是一種在現(xiàn)場試驗(yàn)中根據(jù)試驗(yàn)樣本的實(shí)際情況進(jìn)行實(shí)時(shí)統(tǒng)計(jì)決策的試驗(yàn)方法，這種方法一方面可以充分利用驗(yàn)前信息，另一方面又可視試驗(yàn)參數(shù)樣本的實(shí)際情況決定是否停止試驗(yàn)新的樣本，它在工程上，特別是小子樣問題的解決上，具有重要的應(yīng)用價(jià)值［4～6］。

MSPOT方法是在多假設(shè)序貫概率比檢驗(yàn)MSPRT(Multi-hypothesis Sequential Probability Ratio Test)［7，8］方法基礎(chǔ)上，將多簡單假設(shè)推廣到更具一般性的多參數(shù)空間假設(shè)，即Θ0，Θ1，...，ΘM-1，M為假設(shè)的個(gè)數(shù)，Θi(i=0，...，M-1)可以是單點(diǎn)值，也可以是連續(xù)的參數(shù)空間。當(dāng)為單點(diǎn)值時(shí)，便是MSPRT方法，即多簡單假設(shè)的MSPOT方法。當(dāng)為連續(xù)的參數(shù)空間時(shí)，便是多復(fù)雜假設(shè)的MSPOT方法。可見，MSPRT方法是MSPOT方法的一種特例，MSPOT方法更具一般性。

圖1給出了MSPOT方法與MSPRT、SPRT、SPOT方法的關(guān)系。由圖可見其他幾種方法都是MSPOT方法的特例，MSPOT方法的優(yōu)越性在于其既利用了驗(yàn)前信息，又解決了多參數(shù)空間假設(shè)檢驗(yàn)的問題，包括多簡單假設(shè)和多復(fù)雜假設(shè)，而MSPRT方法只考慮了多假設(shè)中的簡單假設(shè)問題，SPOT方法雖然包括簡單假設(shè)和連續(xù)參數(shù)空間假設(shè)，但只考慮了兩假設(shè)。由此可見，MSPRT、SPRT和SPOT都具有自身的局限性。

圖1 MSPOT方法與MSPRT、SPRT、SPOT方法的關(guān)系Fig.1 Relationship of the MSPOT，MSPRT，SPRT and SPOT methods

本文基于多簡單假設(shè)SPOT方法［9］和多參數(shù)空間復(fù)雜假設(shè)SPOT方法［10］，研究提出了MSPOT方法，并針對常見的成敗型參數(shù)試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)問題，具體推導(dǎo)了二項(xiàng)分布參數(shù)下MSPOT方法的計(jì)算公式，對解決成敗型參數(shù)檢驗(yàn)問題具有一定的指導(dǎo)意義。

1 MSPOT方法

1.1 MSPOT方法的序貫決策過程

設(shè)X1，X2，…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，概率密度為f。如果密度函數(shù)f的參數(shù)為θ，設(shè)有參數(shù)空間Θ，Θ=Θ0∪Θ1∪…∪ΘM-1，則多假設(shè)為

如果各參數(shù)空間為單點(diǎn)集，則假設(shè)為多簡單假設(shè);如果參數(shù)空間為連續(xù)參數(shù)空間集，則假設(shè)為多復(fù)雜假設(shè)。

已知θ的先驗(yàn)分布為π(θ)。根據(jù)MSPRT方法的思想［7］，真實(shí)假設(shè)具有相對較大的后驗(yàn)概率，則有如下的序貫決策規(guī)則。

①序貫停止規(guī)則

序貫停止時(shí)的樣本數(shù)N取第一個(gè)大于0且使得對于至少一個(gè)k成立的n值。Ak為閾值，為后驗(yàn)概率。

當(dāng)假設(shè)為多簡單假設(shè)時(shí)有

當(dāng)假設(shè)為多復(fù)雜假設(shè)時(shí)有

其中fk(X|θ)表示概率密度函數(shù)f在假設(shè)Hk成立參數(shù)空間為Θk時(shí)的概率密度形式。

②序貫決策規(guī)則

上述序貫決策規(guī)則中，公式形式比較復(fù)雜，因此，將式(1)、式(2)代入序貫停止規(guī)則不等式進(jìn)行化簡整理。序貫決策過程轉(zhuǎn)化成:N取第一個(gè)大于0且使得Onk＜Ak至少對一個(gè)k成立的n值，如果Onk=min{Onj:j=0，···，M-1}，則Hk為真實(shí)假設(shè)。

當(dāng)假設(shè)為多簡單假設(shè)時(shí)有

當(dāng)假設(shè)為多復(fù)雜假設(shè)時(shí)有

1.2 MSPOT方法中閾值A(chǔ)k的計(jì)算過程

對于上節(jié)的序貫決策過程，當(dāng)樣本分布已知、先驗(yàn)概率密度已知時(shí)，Onk的計(jì)算容易得出。至于閾值A(chǔ)k(k=0，1，…，M-1)的計(jì)算，雖然多簡單假設(shè)對應(yīng)的MSPRT方法中有明確的數(shù)值表達(dá)式［7，8］，但計(jì)算起來很復(fù)雜，而多復(fù)雜假設(shè)的MSPOT方法中Ak的計(jì)算還很難找到確切的數(shù)值表達(dá)式。因此，本文采用仿真搜索法計(jì)算Ak。從序貫停止規(guī)則可以看出，Ak的大小直接影響停止時(shí)的樣本數(shù)，進(jìn)而影響決策的準(zhǔn)確度。經(jīng)分析，Ak越小，相應(yīng)的N越大，決策結(jié)果越準(zhǔn)確。因此Ak值并不是唯一確定的，在不影響決策判斷的前提下，為了方便計(jì)算，這里不妨設(shè)Ak均相等，采用仿真搜索方法進(jìn)行求解，搜索策略如下:

設(shè)搜索步長為ε，這里取ε=0.05。令初值A(chǔ)k=A=1(k=0，1，…，M-1)，誤判率允許值α0=0.3。所謂誤判率是指Hk為真實(shí)假設(shè)時(shí)，決策判斷Hk為假的概率，這里用誤判的頻率代替誤判概率，即誤判的次數(shù)/序貫試驗(yàn)總次數(shù)。

①產(chǎn)生分布密度為π(θ)的隨機(jī)參數(shù)值θi(i=1，2，…，N)，N是事先給定的，這里令N=10。

②生成服從f(Xi|θ)的隨機(jī)樣本Xi(i=1，2，…，n)，計(jì)算

按照1.1節(jié)序貫決策過程進(jìn)行序貫決策判斷。

③對步驟②操作重復(fù)進(jìn)行K次，K是事先給定的，這里令K=100。計(jì)算出θi情況下序貫試驗(yàn)的誤判率

④計(jì)算平均誤判率

通過上述過程便可求出待檢驗(yàn)樣本的閾值A(chǔ)，即Ak(k=0，1，…，M-1)。

1.3 MSPOT方法截尾序貫決策過程

給定試驗(yàn)樣本數(shù)N，當(dāng)根據(jù)1.1節(jié)的序貫決策過程無法停止試驗(yàn)時(shí)，強(qiáng)制停止試驗(yàn)。截尾序貫決策規(guī)則為:如果則Hk為真實(shí)假設(shè)，其中ONj的計(jì)算公式同式(3)、式(4)。

2 二項(xiàng)分布參數(shù)檢驗(yàn)的MSPOT方法

假設(shè)參數(shù)p的最低可接受值為p1，指標(biāo)值為p0，則對應(yīng)的多復(fù)雜假設(shè)為

其參數(shù)空間為

根據(jù)式(4)計(jì)算得到多復(fù)雜假設(shè)情況下

若采用多簡單假設(shè)，則可用參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)代表參數(shù)空間，即取

對應(yīng)的多簡單假設(shè)為

H0:p=μ0H1:p=μ1H2:p=μ2

根據(jù)式(3)計(jì)算得到多簡單假設(shè)情況下

當(dāng)參數(shù)p無先驗(yàn)信息時(shí)，各假設(shè)的先驗(yàn)概率相同，則

3 仿真算例及分析

在導(dǎo)彈試驗(yàn)過程中，對導(dǎo)彈的命中概率進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)導(dǎo)彈在規(guī)定區(qū)域爆炸，認(rèn)為導(dǎo)彈命中目標(biāo)，記為1;否則認(rèn)為失敗，記為0?？梢?，導(dǎo)彈的命中概率試驗(yàn)是一個(gè)獨(dú)立的n重伯努利試驗(yàn)，因此在n次試驗(yàn)中導(dǎo)彈命中目標(biāo)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～b(n，p)。假設(shè)某型導(dǎo)彈命中概率p1=0.75為最低可接受值，設(shè)計(jì)指標(biāo)p0=0.9，且沒有任何驗(yàn)前信息。當(dāng)p＜p1時(shí)，認(rèn)為該指標(biāo)沒有達(dá)到最低可接受值;當(dāng)p1≤p＜p0時(shí)，認(rèn)為該指標(biāo)在最低可接受值和設(shè)計(jì)指標(biāo)之間;當(dāng)p≥p0時(shí)，認(rèn)為該指標(biāo)達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。由于沒有先驗(yàn)信息可以利用，采用無驗(yàn)前信息的多簡單假設(shè)MSPOT方法。給定允許誤判率α0=0.3，根據(jù)式(9)計(jì)算出μ0、μ1、μ2值，再根據(jù)1.2節(jié)步驟①～⑤計(jì)算出A=0.7，此時(shí)的平均誤判率α*=0.279。下面借助計(jì)算機(jī)模擬，應(yīng)用MSPOT方法進(jìn)行導(dǎo)彈命中概率仿真模擬試驗(yàn)。Matlab［12］仿真模擬流程如圖2所示。

分別在三個(gè)參數(shù)空間取出一個(gè)值作為指標(biāo)真值代表，例如取p=0.5＜p1，按照圖2流程進(jìn)行序貫仿真試驗(yàn)，所得結(jié)果如表1所示。當(dāng)n=3時(shí)，有O30=0.1887＜A，停止試驗(yàn)，此時(shí)O30=min{O30，O31，O32} ，判斷假設(shè)H0為真，這與p=0.5＜p1相符。p=0.8和p=0.95的仿真結(jié)果同樣證明了本文方法的正確性和有效性。

圖2 一次MSPOT試驗(yàn)(p給定)模擬計(jì)算流程Fig.2 Flow chart of a MSPOT test calculation with given p

表1 多簡單假設(shè)MSPOT方法仿真試驗(yàn)結(jié)果Table 1 The result of MSPOTmethod with multiple simple hypothesis

若事先已規(guī)定試驗(yàn)次數(shù)，則采用截尾的MSPOT方法。例如，試驗(yàn)次數(shù)為7次，如果有5次命中目標(biāo)，記為(7，5)，則7次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果見表2。

表2 試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Test results

從表2中可以看出，前五種試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)截尾的MSPOT方法判斷O70最小，H0是真實(shí)假設(shè)，說明參數(shù)p滿足p＜0.75;試驗(yàn)結(jié)果為(7，5)和(7，6)時(shí)，判斷O71最小，H1為真實(shí)假設(shè)，說明參數(shù)p滿足0.75≤p＜0.9;試驗(yàn)結(jié)果為(7，7)時(shí)，判斷O72最小，H2為真實(shí)假設(shè)，說明參數(shù)p滿足p≥0.9。

4 結(jié)束語

從本文的計(jì)算結(jié)果可以看出，應(yīng)用MSPOT方法進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果并不是簡單拒絕或接受，而是能夠提供試驗(yàn)參數(shù)所在的區(qū)間。它有效解決了傳統(tǒng)簡單假設(shè)中，最低可接受值和設(shè)計(jì)指標(biāo)值之間的模糊參數(shù)區(qū)域問題，為試驗(yàn)雙方提供更多的試驗(yàn)信息。本文例子沒有驗(yàn)前信息，如果在實(shí)際試驗(yàn)中能夠得到相對準(zhǔn)確的驗(yàn)前信息，則應(yīng)用MSPOT方法進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果將會(huì)更貼近實(shí)際。

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