用函數(shù)與方程的思想方法解題

張志仁

【摘 要】函數(shù)思想就是要用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來，并加以研究，從而是問題獲得解決。方程的思想就是如果變量間的關(guān)系是通過解析式表示出來的，則可以把解析式看作一個方程，通過方程的討論從而使問題得到解決，從某種意義上講，方程的研究和討論是函數(shù)研究的必不可少的手段。

【關(guān)鍵詞】方程的思想方法；函數(shù)

一、什么是函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫。因此函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，與這種思想相聯(lián)系的就是方程思想.在解決數(shù)學(xué)問題時，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把他們當(dāng)成已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約關(guān)系，列出方程，求得未知數(shù)，所設(shè)的未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化。

二、如何用函數(shù)的思想方法解題

用函數(shù)的思想方法解題，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。

1.引入變量，確定函數(shù)關(guān)系

在解答有關(guān)不等式、方程及最值等問題時，利用函數(shù)觀點加以分析，?？墒箚栴}變得清晰，從而使問題得以解決。

例1：如圖（甲），已知PA⊥平面ABC AD⊥BC，垂足D在BC的延長線上，且BC=CD=DA=1，記PD=x，∠BPC=θ，求tanθ的最大值。

解：可將tanθ表示為x的函數(shù)，然后求該函數(shù)的最大值。

∵PA⊥平面ABC，∴AD是PD在平面ABC內(nèi)的射影，又∵AD⊥BC，即BD⊥AD， ∴BD⊥PD（三垂線定理），轉(zhuǎn)化為平面問題（如圖乙）。

在Rt?PDB和Rt?PDC中，θ=∠BPD-∠CPD

∵，

∴

∴當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。

2.選取主元，揭示函數(shù)關(guān)系

如何從一個含有多個變元的數(shù)學(xué)問題里，選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關(guān)系，有時便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。

例2：設(shè)不等式對滿足的一切實數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍。

解：因為受定勢思維的影響，往往把此題看成關(guān)于x的不等式進(jìn)行分討論。然而，若變換一個角度以m為主元，記，則問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于m的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在區(qū)間[-2，2]內(nèi)恒為負(fù)時應(yīng)滿足的條件。

由題意知應(yīng)滿足組：，

即

解得：.

例3：若|a|?1，|b|?1，|c|?1，求證：ab+bc+ac>-1.

解：考慮到所證不等式即是a（b+c）+bc+1>0，將a看自變量，且|a|?1，可把問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)|x|?1時，一次函數(shù)f（x）=（b+c）x+bc+1>0的問題。

∵ f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）

f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）

且|b|?1，|c|?1

∴

∴f（x）=（b+c）x+bc+1在|x|?1時恒大于零.故得所證。

3.認(rèn)識函數(shù)思想的實質(zhì)，強化應(yīng)用意識

函數(shù)是用以描述客觀世界中變量的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，其實質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問題的解決。

例4：某商店將每件進(jìn)價為180元的西服按每件280元銷售時，每天只賣出10件.若每件售價降低m元，當(dāng)m=20時，其日銷售量就增加15件，而0

解：建立函數(shù)模型.設(shè)每件售價降低20x元（x為整數(shù)）則總利潤為：

y=（280-20x-180）（10+15x）

即：y=100（5-x）（2+3x），（x∈Z）

由y=0時，得，所以拋物線頂點橫坐標(biāo)時，y最大，但x∈Z，故當(dāng)x=2或x=3時，y最大.所以每天的售價應(yīng)定為280-2×2=240（元），或280-2×3=220（元）.但定為280-2×2=240（元）較安全。

4.善于利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題

例5：f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足如下兩個條件：

（1）對于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）；

（2）當(dāng)x>0時，f（x）<0，且f（1）=-2

求函數(shù)y=f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值。

解：本題所給函數(shù)沒有解析式，屬抽象函數(shù)，解決此類問題往往要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，特別是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，才能加以解決分三步：

（1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=x，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0

∴f（x）為奇函數(shù).

（2）任取，則

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）

因為，所以，由條件知， 所以f（x）在定義域R上是單調(diào)遞減函數(shù)。

（3）f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減，所以有f（3）≤f（x）≤f（-3），而f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6.

所以f（x）在[-3，3]上的最大值為6，最小值為-6。

三、如何用方程的思想方法解題

用方程的思想方法解題，就是從問題的數(shù)量關(guān)分析入手運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）使問題獲解。

1.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法的實質(zhì)就是方程思想.它把待定的未知數(shù)與已知數(shù)等同看待來建立等式，即得到方程。

2.利用根與系數(shù)的關(guān)系或根的判別式構(gòu)造方程

如果題設(shè)條件中具備或經(jīng)變形整理后具備，的形式，則可以利用根與系數(shù)的關(guān)系；具備，的形式，可利用根的判別式，構(gòu)造一元二次方程。

從以上不難看到，函數(shù)與方程的思想在解題中有著廣泛的應(yīng)用，同時方程與函數(shù)是互相聯(lián)系的。在一定條件下，它們可以互相轉(zhuǎn)化，例如，解方程f（x）=0就是求函數(shù)f（x）的零點，解不等式f（x）>g（x）就是當(dāng)兩個函數(shù)的函數(shù)值大小確定后，求自變量的取值范圍，函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。利用函數(shù)觀點可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程（隱函數(shù)）等內(nèi)容，在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動與靜，變量與函數(shù)如此生動的辨證統(tǒng)一。這種對立統(tǒng)一的關(guān)系，能使我們進(jìn)一步提高綜合運用知識分析問題和解決問題的能力。