幾何畫(huà)板在算法教學(xué)中的應(yīng)用

金淑蘭

摘要摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在一些傳統(tǒng)教學(xué)手段難以解決的知識(shí)難點(diǎn)，如多次計(jì)算、重復(fù)作圖等，這些問(wèn)題利用算法和程序設(shè)計(jì)則較易解決?？紤]到目前中學(xué)數(shù)學(xué)教師編程能力較弱，且學(xué)生普遍難以接受編程學(xué)習(xí)，因此采用目前比較流行的幾何畫(huà)板的迭代功能來(lái)代替編程功能，既可將教師們從繁瑣的重復(fù)勞動(dòng)中解放出來(lái)，又有助于學(xué)生對(duì)算法的理解接受。教學(xué)實(shí)踐表明，幾何畫(huà)板有助于降低難度，透視本質(zhì)，創(chuàng)建模型，能提高學(xué)生的作圖能力、解題能力、編程能力，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)才能。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：幾何畫(huà)板；算法教學(xué)；信息技術(shù)

DOIDOI：10.11907/rjdk.151021

中圖分類號(hào)：G434

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)文章編號(hào)：16727800（2015）004017303

0引言

算法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，屬于高考必考范疇，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力具有重要意義[1]。但由于高考并不進(jìn)行上機(jī)操作，一些教師本著應(yīng)試教育的態(tài)度，只要求學(xué)生能看懂框圖，對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)不夠重視。算法和程序設(shè)計(jì)需要較高的抽象思維能力和邏輯思維能力，探索出一條有效的教學(xué)方式，既能使學(xué)生掌握理論知識(shí)，又能在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，是一個(gè)頗具意義的研究課題。

直接讓學(xué)生上機(jī)編程，對(duì)高中生而言有一定難度。因此在高中階段，教學(xué)生算法，培養(yǎng)其動(dòng)手能力需要找一個(gè)初級(jí)入門的階梯。近幾年的教學(xué)實(shí)踐表明，可利用幾何畫(huà)板作為踏板，幫助學(xué)生入門[23]。在教學(xué)中引入幾何畫(huà)板符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，遵循先易后難、先具體后抽象、先基本后提高的教學(xué)原則，讓學(xué)生逐步掌握知識(shí)、逐步深化學(xué)習(xí)。幾何畫(huà)板的操作與數(shù)學(xué)思維完全吻合，可見(jiàn)即可得，簡(jiǎn)單的操作能實(shí)現(xiàn)豐富的圖形效果，有助于提高學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性。

1幾何畫(huà)板的迭代功能

幾何畫(huà)板是一款優(yōu)秀的教學(xué)輔助軟件，由人民教育出版社從美國(guó)引進(jìn)并漢化。幾何畫(huà)板與其它軟件平臺(tái)如Flash、Powerpoint 相比，具有無(wú)需程序設(shè)計(jì)、操作界面直觀、能組合各類數(shù)學(xué)教學(xué)資源、易學(xué)易用等優(yōu)點(diǎn)。這些優(yōu)點(diǎn)使其受到了越來(lái)越多人的青睞，幾何畫(huà)板教學(xué)逐漸成為21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何[4]。

幾何畫(huà)板不需編程，是指不需要像Flash那樣用具體的程序語(yǔ)言編程，但編程思想在幾何畫(huà)板中卻得到了充分體現(xiàn)。在計(jì)算機(jī)編程學(xué)習(xí)入門階段，當(dāng)學(xué)習(xí)了賦值語(yǔ)句和FOR循環(huán)語(yǔ)句等基礎(chǔ)知識(shí)后，通常教材上會(huì)給出這樣一個(gè)例子：求和S=1+2+3……100。此題因高斯而出名，答案為5 050。若用計(jì)算機(jī)編程，步驟也相當(dāng)簡(jiǎn)單：

（1）新建參數(shù)S和i，分別賦值為0和1（初始狀態(tài)的S可以看作是一個(gè)沒(méi)裝東西的大容器） 。

（2）將S+i賦值給S，將i+1賦值給i。

（3）新建循環(huán)參數(shù)n，賦值為100，并將步驟（2）重復(fù)n次（此時(shí)的S是動(dòng)態(tài)變化的，該過(guò)程可看作是陸續(xù)往一個(gè)大容器向里面加“數(shù)”）。

（4）循環(huán)結(jié)束，輸出最后結(jié)果S。

利用幾何畫(huà)板來(lái)解決此題的思路如下：

①新建參數(shù)S和i，分別賦值為0和1；

②計(jì)算S+i，i+1，新建循環(huán)參數(shù)n，賦值為99；

③依次選中S、i、n，按住Shift作深度迭代：S—>S+i，i—>i+1，如圖1所示；

④生成迭代數(shù)據(jù)，如表1所示。

筆者對(duì)迭代的本質(zhì)作如下理解：迭指的是多次，代指的是替換，迭代就是指一個(gè)動(dòng)作或操作重復(fù)多次，每一次迭代得到的結(jié)果作為下一次迭代的初始值。具體到代數(shù)計(jì)算，迭代可看作使用輸入值來(lái)計(jì)算輸出值的不斷重復(fù)計(jì)算過(guò)程，重復(fù)地將前一個(gè)計(jì)算中得到的計(jì)算結(jié)果作為下一個(gè)計(jì)算的輸入值。

由此可見(jiàn)，幾何畫(huà)板具備一定的“編程”能力。類似例子還有很多，如∑ni=1i2、∑ni=11i2。高中教材上的等差、等比數(shù)列，大學(xué)教材上的泰勒展式等計(jì)算都可以用這種方法。如果將加法換為乘法，或?qū)⒓臃ㄅc乘法相結(jié)合，還可計(jì)算如n！、∑ni=1i！等。

2幾何畫(huà)板迭代功能應(yīng)用

2.1微積分課件制作

在教學(xué)中，將三角形的高n等分，做出n-1個(gè)矩形，用迭代來(lái)表現(xiàn)當(dāng)n增大時(shí)矩形面積的和與三角形面積的接近程度，其方法如下：

首先需要作“任意等分線段”。①作線段AB為被等分線段；②建參數(shù)n，作為線段的等分?jǐn)?shù)，計(jì)算1n、n-1；③點(diǎn)A為放縮中心，以1n為放縮比，放縮點(diǎn)為B，縮放后得到點(diǎn)B′；④依次選中點(diǎn)A、n、n-1，以n-1為參數(shù)作深度迭代，A—>B′，n—>n-1，得到圖2；⑤意調(diào)整參數(shù)n，等分?jǐn)?shù)隨之變化，真正做到任意等分線段，如圖3所示。

這種等分線段的思想是動(dòng)態(tài)的，即要將AB線段n等分，只要在作好點(diǎn)B′后，將B′B線段n-1等分。

接下來(lái)徹底解決該問(wèn)題：①作任意△ABC，新建參數(shù)n，將n-1作為矩形個(gè)數(shù)；②用放縮變換，即可輕松作出圖4；③作垂線，得到點(diǎn)D、E，依次連接4點(diǎn)，得到第一個(gè)矩形，如圖5所示；④運(yùn)用等分線段的思想，依次選中A、B、n、n-1，以n-1為參數(shù)作深度迭代，A—>F，B—>G，n—>n-1，得到圖6；⑤調(diào)整參數(shù)n，矩形個(gè)數(shù)也隨之變化，真正意義上做到了動(dòng)態(tài)演示，如圖7、圖8所示，完整地表現(xiàn)了當(dāng)n增大時(shí)矩形面積和與三角形面積的接近程度。

2.2分形課件制作

分形幾何是研究不規(guī)則圖形和現(xiàn)象的新興數(shù)學(xué)分支，是描述復(fù)雜形態(tài)的一種新的幾何語(yǔ)言。教授學(xué)生分形知識(shí)可以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美學(xué)魅力，培養(yǎng)其對(duì)分形的興趣，建立對(duì)分形的初步認(rèn)識(shí)，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野，體驗(yàn)觀察世界的全新角度和方式，形成關(guān)注科技前沿的意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)學(xué)生日后的發(fā)展具有重要意義。分形具有5個(gè)基本特征：形態(tài)不規(guī)則性、結(jié)構(gòu)精細(xì)性、局部與整體自相似性、維數(shù)非整數(shù)性、生成迭代性，具有如上性質(zhì)的圖形被稱作“分形”。通常情況下，分形都是極度對(duì)稱的，甚至對(duì)稱到了完美的地步，但生成這種圖形不需要非常復(fù)雜的程序，它們具有無(wú)限的細(xì)節(jié)表面，可以使用遞歸算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文主要介紹如何運(yùn)用幾何畫(huà)板來(lái)制作謝爾品斯基三角形。

數(shù)列xn=axn-1+b是一個(gè)非常常見(jiàn)的數(shù)列序列，隨著參數(shù)a、b不同，最終所得結(jié)果可能收斂，也可能發(fā)散?？衫脦缀萎?huà)板來(lái)研究該數(shù)列所生成的圖形。

先給出兩個(gè)特殊數(shù)列：

數(shù)列1：任意給定一個(gè)數(shù)k，將它乘以0.5得到一個(gè)新的數(shù)，將得到的新數(shù)乘以0.5，再得到一個(gè)新的數(shù)。遞推公式為：xn=0.5xn-1。以此類推，由無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的性質(zhì)可知，最后那個(gè)數(shù)必定是0，而得到0之后，再乘以0.5就不再得到新的數(shù)了，可見(jiàn)0是f（x）=0.5x的不動(dòng)點(diǎn)。

數(shù)列2：任意給定一個(gè)數(shù)k，將它乘以0.5，再加上0.5之后得到一個(gè)新的數(shù)，然后將得到的這個(gè)新數(shù)乘以0.5，再加上0.5之后又得到一個(gè)新的數(shù)。遞推公式為：xn=0.5xn-1+0.5。以此類推，由無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的性質(zhì)可知，最后那個(gè)數(shù)必定是1，而得到1之后，再乘以0.5，加上0.5就不再得到新的數(shù)了，可見(jiàn)1是f（x）=0.5x+0.5的不動(dòng)點(diǎn)。

（1）定義坐標(biāo)系，作任意點(diǎn)A，測(cè)量A的橫、縱坐標(biāo)xA、yA。

（2）計(jì)算0.5xA、0.5yA、0.5xA+0.5、0.5yA+0.5，作坐標(biāo)點(diǎn)B（0.5xA，0.5yA+0.5）、C（0.5xA，0.5yA）、D（0.5xA+0.5，0.5yA+0.5）。

（3）新建參數(shù)t=10，選中點(diǎn)A和參數(shù)t，按住Shift鍵，在變換菜單中選擇帶參數(shù)的迭代，點(diǎn)擊點(diǎn)B，并按Ctrl+A，添加新的映射，點(diǎn)擊點(diǎn)C，再按Ctrl+A，添加新的映射，點(diǎn)擊點(diǎn)D。也即將點(diǎn)A依次迭代到B、C、D 三點(diǎn)。這時(shí)出現(xiàn)的圖像會(huì)有雜點(diǎn)。適當(dāng)調(diào)整點(diǎn)A的位置，雜點(diǎn)消失，再隱藏所有點(diǎn)，如圖9所示。

（4）如果覺(jué)得色彩過(guò)于單調(diào)，可以在建立BCD三點(diǎn)之后，測(cè)量三點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，計(jì)算橫縱坐標(biāo)和，并除以2，得到3個(gè)數(shù)，并將這3個(gè)數(shù)作為BCD三點(diǎn)的顏色參數(shù)（設(shè)置顏色參數(shù)的方法如下：①選擇該點(diǎn)與參數(shù)；②在顯示菜單中選顏色——參數(shù)，然后按確定）。其它步驟不變，得到圖10。

2.3幾何畫(huà)板“編程”優(yōu)勢(shì)與不足

幾何畫(huà)板迭代完全按數(shù)學(xué)意義逐步完成，這對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維特別有利，不像Mathematica那樣，跳過(guò)思維過(guò)程只留下最終結(jié)果。同時(shí)，中學(xué)生使用幾何畫(huà)板學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)程序語(yǔ)言編程大有幫助。但幾何畫(huà)板也有其不足，其計(jì)算只能精確到十萬(wàn)分之一，有時(shí)不能滿足要求，例如∑ni=11i2的結(jié)果只能是1.644 93，而不同于Mathematica算得的精確結(jié)果π26。

3結(jié)語(yǔ)

從上述例子可知，將幾何畫(huà)板應(yīng)用于教學(xué)十分有趣，常常會(huì)給廣大師生以驚喜。學(xué)幾何畫(huà)板，不能將其看作是一款計(jì)算機(jī)軟件，而應(yīng)該把它看作是數(shù)學(xué)思想的一個(gè)具體載體。幾何畫(huà)板表面上沒(méi)有編程功能，但其擁有的迭代功能在一定程度上可代替編程環(huán)境，甚至可以說(shuō)，在中學(xué)數(shù)學(xué)算法教學(xué)中，幾何畫(huà)板的這一功能比C、VB等程序語(yǔ)言更合適。如何使幾何畫(huà)板的迭代功能發(fā)揮更大作用，尚有待進(jìn)一步研究。

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責(zé)任編輯（責(zé)任編輯：孫娟）