計算方法課程教學(xué)方法與手段的改革與實踐

摘 要：計算方法是一門與計算機(jī)密切相關(guān)的課程，能夠為各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值求解提供最有效的算法，已經(jīng)成為許多理工科專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)必修課。該文針對目前應(yīng)用型人才培養(yǎng)的目標(biāo)，結(jié)合計算方法課程的教學(xué)實踐，首先對計算方法課程教學(xué)中常見的問題進(jìn)行了簡單的分析，然后應(yīng)用多元化的教學(xué)方法，開展了一系列有關(guān)計算方法課程教學(xué)方法和手段的改革與實踐，擺脫了傳統(tǒng)教學(xué)模式下枯燥乏味的狀態(tài)，確保了教學(xué)質(zhì)量的提高和人才培養(yǎng)目標(biāo)的實現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：計算方法 教學(xué)質(zhì)量 教學(xué)改革 多元化

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（b）-0189-03

Abstract： The numerical methods course is closely related with computer science， provides the most efficient algorithm for the numerical study of the various mathematical problems and has become a required course for many science and engineering majors. In this paper， aiming at the current application personnel training objectives， combining with teaching practice of numerical methods courses， the common problems in numerical methods course teaching are firstly briefly analyzed， and then a series of reform and practice on numerical methods course teaching is carried out by using the diversification of teaching methods， which can get rid of the boring state of traditional teaching mode and ensure the enhancement of the teaching quality and the realization of the goal of talents cultivation.

Key words： Numerical methods； Teaching quality； Teaching reform； Diversification

隨著計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，科學(xué)計算在科學(xué)研究與工程實踐中的地位越來越重要，已經(jīng)上升為與傳統(tǒng)的實驗測定與理論分析方法相媲美的第三種科學(xué)研究方法。作為介紹科學(xué)計算的基礎(chǔ)理論與基本方法的課程，計算方法或數(shù)值分析是一門與計算機(jī)密切相關(guān)的實用性很強(qiáng)的課程，是研究使用計算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的方法、理論及其軟件實現(xiàn)的一個數(shù)學(xué)分支。該課程既有純數(shù)學(xué)的嚴(yán)密科學(xué)性與高度抽象性的特點(diǎn)，又有實際實驗的高度技術(shù)性與應(yīng)用廣泛性的特點(diǎn)，已經(jīng)成為許多理工科專業(yè)學(xué)生的一門必修課[1]。由于計算方法課程在人才培養(yǎng)中的地位和作用，特別是應(yīng)用型人才培養(yǎng)中的作用，就需要教師“教好”和學(xué)生“學(xué)好”這門課程。但是由于計算方法課程自身的特點(diǎn)，要把“教好”和“學(xué)好”這二者有機(jī)地統(tǒng)一起來并不是一件容易的事。傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往容易出現(xiàn)顧此失彼的情況，不能把二者有機(jī)地統(tǒng)一起來。為了解決教師“教好”和學(xué)生“學(xué)好”這兩個方面的問題，就需要結(jié)合人才培養(yǎng)的目標(biāo)，開展計算方法課程教學(xué)改革方面的研究與實踐，通過多元化的教學(xué)模式，全面提高課程的教學(xué)質(zhì)量和人才培養(yǎng)的質(zhì)量[2，3]。

1 計算方法課程教學(xué)方面的問題分析

由于計算方法課程自身的特點(diǎn)，在“教好”與“學(xué)好”兩個方面容易出現(xiàn)一些問題，限制了課程教學(xué)的良性發(fā)展和教學(xué)質(zhì)量的提高，現(xiàn)總結(jié)如下。

（1）知識的銜接問題。

計算方法課程涉及了微積分、線性代數(shù)、常微分方程和高級語言程序設(shè)計等多方面的知識，用到的許多知識點(diǎn)有相當(dāng)一部分學(xué)生已經(jīng)淡忘了，所以教師在授課時會比較費(fèi)力，而學(xué)生也往往比較茫然。因此在計算方法課程的教學(xué)中，就需要做好遺忘知識的溫習(xí)和鞏固工作，處理好新舊知識的銜接問題，讓課程的教學(xué)工作得以順利開展。

（2）計算公式冗長且難以熟記問題。

有許多數(shù)值計算公式都比較冗長繁瑣，推導(dǎo)起來費(fèi)時費(fèi)力，而學(xué)生也很難長久記憶，這容易導(dǎo)致課堂教學(xué)缺乏生機(jī)和活力，而學(xué)生也容易產(chǎn)生煩躁和厭學(xué)的情緒，不利于教學(xué)工作的順利開展。為此就需要分析產(chǎn)生這種問題的原因是什么，思考怎樣才能有效地解決計算公式冗長且難以熟記問題，怎樣才能有效地避免學(xué)生煩躁和厭學(xué)情緒的產(chǎn)生，怎樣才能讓課堂教學(xué)富有生機(jī)和活力。

（3）數(shù)值方法的應(yīng)用問題。

有一些學(xué)生在經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)之后，仍然會提出“這些方法有什么用？”和“為什么要學(xué)習(xí)這些方法？”諸如此類的問題，也就是說有些學(xué)生一直不理解為什么要學(xué)習(xí)這些“特殊”的方法，對這些數(shù)值方法的應(yīng)用沒有一個清晰的概念，沒有認(rèn)識到所學(xué)習(xí)的數(shù)值方法在實際應(yīng)用中的重要意義，在整個學(xué)習(xí)過程中都處于思路不清晰和渾渾噩噩的狀態(tài)。

（4）課堂教學(xué)的設(shè)計問題。

對于計算方法課程的課堂教學(xué)，需要處理好理論分析與例題講解之間的關(guān)系，需要處理好算法設(shè)計與程序?qū)崿F(xiàn)之間的關(guān)系，需要處理好當(dāng)前學(xué)習(xí)與日后深造之間的關(guān)系。例如在講解例題時，很多例題都需要應(yīng)用所講的數(shù)值方法借助計算機(jī)才能給出求解結(jié)果，那么在課堂上對學(xué)生進(jìn)行例題講解時，怎樣才能讓學(xué)生更好地理解解題的方法和過程，怎樣才能提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)值方法解決實際問題的能力，這些都需要在教學(xué)中不斷地進(jìn)行探索與實踐。

（5）數(shù)值實驗的實踐問題。

在計算方法課程的整個教學(xué)過程中，數(shù)值實驗教學(xué)是非常重要的一個環(huán)節(jié)，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)數(shù)值方法的理解與認(rèn)識，而且還可以提高學(xué)生的編程能力和解決實際問題的能力。如何安排數(shù)值實驗實踐活動，如何把課堂教學(xué)與課外實踐有機(jī)的結(jié)合起來，如何把數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)值實驗教學(xué)融合在一起，是值得深入思考的問題。

2 計算方法課程教學(xué)改革的研究與實踐

在計算方法課程教學(xué)中一方面需要提供面向計算機(jī)的各種數(shù)值計算方法，并需要對每種方法進(jìn)行相關(guān)的理論分析；另一方面需要完成從理論到實踐的全過程，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，這就對計算方法課程的教學(xué)方法和教學(xué)手段提出了更高的要求。針對前述計算方法課程教學(xué)中容易出現(xiàn)的問題，開展了計算方法課程教學(xué)方面的一系列改革與實踐，具體如下：

2.1 課堂授課方式的改革與實踐

為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和參與課堂教學(xué)活動的積極性，就需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，增強(qiáng)課堂教學(xué)的互動性，讓課堂教學(xué)充滿生機(jī)和活力。為此采取教師主講、學(xué)生主講和課堂討論相結(jié)合的方式組織課堂教學(xué)活動，這樣就改變了由教師完成全部授課任務(wù)的單一教學(xué)模式，可以化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，極大地調(diào)動學(xué)生參與課堂教學(xué)活動的積極性。由于計算方法課程知識點(diǎn)比較瑣碎且各知識點(diǎn)之間相對比較獨(dú)立，所以便于開展師生互動的授課形式。開展這樣的授課形式，任課教師要提前安排好，每一章開始之前就要安排好哪些內(nèi)容教師主講哪些內(nèi)容學(xué)生主講，一般要提前一周把學(xué)生要講的內(nèi)容布置下去，讓學(xué)生有充分的準(zhǔn)備時間。這里教師要起到引導(dǎo)的作用，要讓學(xué)生明白講什么、怎么講和怎么組織課堂教學(xué)活動，借助教師授課的示范作用，讓學(xué)生逐步適應(yīng)這種多元化的授課方式。另外，在授課過程中教師要給予及時的啟發(fā)和指導(dǎo)，引導(dǎo)其他學(xué)生對授課學(xué)生所講的內(nèi)容進(jìn)行督導(dǎo)，有問題或疑問時引導(dǎo)學(xué)生積極討論，在學(xué)生授課結(jié)束時任課教師還要進(jìn)行點(diǎn)評和總結(jié)，特別是一些學(xué)生難于理解或認(rèn)識不到的內(nèi)容進(jìn)行講評。通過這樣的授課方式，改變了學(xué)生被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，激發(fā)了學(xué)生的積極性，使課堂教學(xué)更加靈活更加富有活力。

2.2 課堂教學(xué)活動的改革與實踐

課堂教學(xué)是整個課程教學(xué)中最重要的一環(huán)，關(guān)系著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和課程的教學(xué)質(zhì)量，因此要特別重視課堂教學(xué)活動，需要對整個課堂教學(xué)活動進(jìn)行精心的設(shè)計和準(zhǔn)備。針對計算方法課程，主要從以下三個方面開展研究與實踐。一是內(nèi)容的引入方面。每一章開始時通過思考題或分析讓學(xué)生了解本章內(nèi)容的應(yīng)用背景，理解為什么要進(jìn)行本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)。例如，在講解插值法和最小二乘擬合法時通過下面的一個思考題進(jìn)行內(nèi)容的引入。（見表1）

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，請合理地估計出其它深度（如500 m，600 m，1000 m…）處的水溫？二是內(nèi)容的要求方面。在每一章開始時，要介紹清楚本章的知識結(jié)構(gòu)，要讓學(xué)生明白哪些知識點(diǎn)是重點(diǎn)內(nèi)容，哪些知識點(diǎn)是難點(diǎn)內(nèi)容，要讓學(xué)生明白哪些內(nèi)容需要掌握哪些內(nèi)容需要了解。這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中目標(biāo)就比較明確，不至于盲目而抓不住重點(diǎn)。三是內(nèi)容的總結(jié)方面。總結(jié)很重要，可以從不同角度或更高層面上重新分析或探討所講的內(nèi)容。對每一個內(nèi)容在講解完了之后都要及時進(jìn)行總結(jié)，不僅可以加深學(xué)生對內(nèi)容的理解和掌握，而且還可以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入的思考和探討。例如，在介紹完Gauss消去法之后，可以進(jìn)行如下的總結(jié)。Gauss消去法是目前求解中小規(guī)模線性方程組常用的方法，一般適用于系數(shù)矩陣稠密的線性方程組，但這個算法是不穩(wěn)定的。經(jīng)過改進(jìn)的Gauss列主元消去法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，是計算機(jī)上使用較多的一種有效方法。經(jīng)過改進(jìn)的還有Gauss全主元消去法和Gauss-Jordan消去法。

2.3 課外實踐活動的改革與實踐

課外實踐對課堂教學(xué)起到重要的補(bǔ)充作用，可以輔助完成整個教學(xué)活動。在課外實踐活動環(huán)節(jié)中，一方面可以讓學(xué)生做好預(yù)習(xí)，對所涉及的微積分、線性代數(shù)和常微分方程等方面的知識提前溫習(xí)和鞏固，這樣不僅可以讓學(xué)生能及時跟上講課的節(jié)奏，準(zhǔn)確地把握授課的重難點(diǎn)，而且還可以解決新舊知識的銜接問題；另一方面主要是讓學(xué)生開展數(shù)值實驗，完成數(shù)值實驗報告。開展數(shù)值實驗是對所學(xué)習(xí)數(shù)值方法的實踐和訓(xùn)練，也是對課程教學(xué)效果的檢驗和測評。數(shù)值實驗是課外實踐活動中的重要一環(huán)，開展好這項活動，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且還可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。這里為了促進(jìn)課外實踐活動的開展，可以組織計算方法課程的學(xué)習(xí)興趣小組，讓學(xué)生自由分組聚集在一起學(xué)習(xí)和討論，共同努力解決遇到的問題，一方面培養(yǎng)了學(xué)生之間團(tuán)結(jié)合作的意識；另一方面還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效果和課程的教學(xué)質(zhì)量。

2.4 課程雙語教學(xué)的改革與實踐

為了滿足學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要，為了拓展學(xué)生的知識面和眼界，為了跟上當(dāng)前教育的發(fā)展趨勢，計算方法課程也要進(jìn)行雙語教學(xué)的改革和實踐。與傳統(tǒng)的中文教學(xué)模式不同，雙語教學(xué)有其自身的特點(diǎn)，特別是在語言的表述方式和習(xí)慣方面。在進(jìn)行計算方法課程雙語教學(xué)的實踐時，要認(rèn)真制作和開發(fā)一套英文版的教學(xué)課件，要確保專有名詞的正確表達(dá)，要確保課件中英文表述準(zhǔn)確地道，只有這樣才能保證雙語教學(xué)的健康發(fā)展[4]。這里為了確保計算方法課程雙語教學(xué)的順利開展，首先需要向?qū)W生推薦一本優(yōu)秀的英文教材，便于學(xué)生自學(xué)和參考；其次課堂板書要全部實現(xiàn)純英文板書，為學(xué)生創(chuàng)造一個純英文的學(xué)習(xí)環(huán)境；最后作業(yè)和課程測試也要實現(xiàn)英文化，使學(xué)生得到一定程度的訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生專業(yè)英語的水平。下面針對求解線性方程組的迭代方法，給出三張英文版課件設(shè)計示例，僅供交流和參考。

示例1：Introduction of Iterative Methods

The iterative methods are used extensively in the solution of linear systems that arise in the numerical solution of boundary value problems and partial differential equations. These systems are often very large and are sparse with their nonzero entries in predictable positions.

示例2：

Theorem 4 The following statements are equivalent.

（i）A is a convergent matrix.

（ii）limn→∞||An||=0，for some natural norm.

（iii）limn→∞||An||=0，for all natural norms.

（iv）ρ（A）< 1.

（v）limn→∞Anx= 0，for every x.

示例3：

To write the Gauss-Seidel method in matrix form， transform Ax = （D L U）x=binto

（D L）x=Ux+b，

then we have the Gauss-Seidel method represented by

x（k+1）=（D L）?1Ux（k）+（D L）?1b，for each k=0，1， ….

Letting Bg = （D L）?1U and fg = （D L）?1b， gives the Gauss-Seidel technique the form

x（k+1）=Bgx（k）+fg.

2.5 數(shù)學(xué)建模融入的改革與實踐

計算方法課程中所介紹的數(shù)值計算方法在解決實際問題時具有非常重要的應(yīng)用價值，許多數(shù)值計算方法本身就是一種數(shù)學(xué)建模的方法，例如插值法和最小二乘擬合法。一旦計算方法課程教學(xué)與數(shù)學(xué)建?；顒咏Y(jié)合起來，各種數(shù)值計算方法就有了用武之地，計算方法課程教學(xué)就充滿了生機(jī)和活力。因此在計算方法課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，把計算方法課程教學(xué)與數(shù)學(xué)建模活動有機(jī)地結(jié)合起來，從學(xué)生角度可以加深對所學(xué)內(nèi)容的理解，可以提高應(yīng)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，可以增強(qiáng)計算方法課程學(xué)習(xí)的興趣；從教師角度可以深化計算方法課程教學(xué)的內(nèi)涵，可以提高計算方法課程教學(xué)的質(zhì)量，可以促進(jìn)人才培養(yǎng)目標(biāo)的實現(xiàn)。把數(shù)學(xué)建?；顒尤谌胗嬎惴椒ㄕn程教學(xué)中，要注意把握好融入的時機(jī)，要注意利用好課外的時間，要注意選取合適的實際應(yīng)用問題。例如，在非線性方程數(shù)值解法這一內(nèi)容授課結(jié)束之后，可以讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)建模分析和討論“排水渠道的設(shè)計問題”；在插值法和最小二乘擬合法這一部分內(nèi)容授課結(jié)束之后，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)建模求解“黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問題”；在常微分方程數(shù)值解法這一部分內(nèi)容授課結(jié)束之后，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)建模數(shù)值求解“食餌與捕食者兩個生物種群數(shù)目變化問題”[5]。

3 結(jié)語

開展計算方法課程教學(xué)改革方面的研究，進(jìn)行一系列的探索與實踐，取得了較好的教學(xué)效果，擺脫了傳統(tǒng)教學(xué)模式下枯燥乏味的狀態(tài)，使得計算方法課程教學(xué)呈現(xiàn)多元化，充滿了生機(jī)和活力。通過上述課程教學(xué)方面的一系列改革與實踐，有助于提高學(xué)生參與課堂教學(xué)的積極性和課外學(xué)習(xí)的主動性，有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有助于提高計算方法課程教學(xué)的質(zhì)量，有力地促進(jìn)了人才培養(yǎng)目標(biāo)的實現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

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