基于Matlab的傅里葉變換性質(zhì)實(shí)現(xiàn)

摘 要：傅里葉變換在物理學(xué)、信號學(xué)、圖像處理等方面有著廣泛應(yīng)用，充分利用其旋轉(zhuǎn)、平移、對稱、卷積等性質(zhì)將為生產(chǎn)實(shí)踐提供很大服務(wù)。本文利用matlab強(qiáng)大的圖像處理功能，以自定義的1000*1000二值圖像為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和平移性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：matlab；傅里葉變換；旋轉(zhuǎn)；平移；

文章編號：1674-3520（2015）-12-00-01

一、引言

在信號處理中，DFT的計(jì)算具有舉足輕重的地位。信號的相關(guān)、濾波、譜估計(jì)等都要通過DFT來實(shí)現(xiàn)。然而，當(dāng)N很大的時(shí)候，求一個(gè)N點(diǎn)的DFT要完成N*N次復(fù)數(shù)乘法和N（N-1）次復(fù)數(shù)加法，其計(jì)算量相當(dāng)大。1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey巧妙的利用WN因子的周期性和對稱性，構(gòu)造了一個(gè)DFT快速算法，即快速傅里葉變化（FFT）。由于各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域廣泛的使用了FFT技術(shù)，從而及大地推動了信號處理技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)已成為數(shù)字信號處理強(qiáng)有力的工具，本論文將比較全面的敘述傅里葉變換算法的原理、特點(diǎn)，并完成了基于MATLAB的實(shí)現(xiàn)。

二、傅里葉變換

傅里葉變換是一種特殊的積分變換，它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。傅里葉變換在數(shù)學(xué)中的定義很嚴(yán)格。設(shè)為x的函數(shù)，如果滿足條件：具有有限個(gè)間隔點(diǎn)，有限個(gè)極值點(diǎn)，絕對可積，則有下列二式成立：

式中，x為時(shí)域（對應(yīng)頻域）變量，u為時(shí)間（對應(yīng)頻率）變量 。如果令，則有

通常把以上公式稱為傅里葉變換對。

最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出，如今在不同的研究領(lǐng)域傅里葉變換具有多種不同的變體形式。傅里葉原理表明任何連續(xù)測量的時(shí)序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。目前，傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。根據(jù)傅里葉變換卷積性質(zhì)，可以把一些不直觀的、難理解的卷積轉(zhuǎn)換到頻域中做乘法運(yùn)算，然后再做傅里葉逆變換，達(dá)到期望的效果?？焖俑道锶~變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）算法按N的組成情況可分成N為2的整數(shù)冪的算法、N為高復(fù)合數(shù)的算法、N為素?cái)?shù)的算法三種情況。

傅里葉變換是線性算子，具有可分性、相關(guān)性、共軛對稱性、旋轉(zhuǎn)性、比例變換特性、空域平移性、頻域平移性等性質(zhì)。

三、傅里葉變換的性質(zhì)

（一）旋轉(zhuǎn)性

如果圖像函數(shù)在空間域旋轉(zhuǎn)的角度為，則在變換域中此函數(shù)的傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)同一角度，即

（二）空域平移性

空間內(nèi)圖像的原點(diǎn)平移到后，其對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系式為：

（三）頻域平移性

頻域（變換域）譜的原點(diǎn)平移到后，其對應(yīng)的傅里葉逆變換關(guān)系式為：

四、Matlab實(shí)例驗(yàn)證

Matlab具有強(qiáng)大的計(jì)算功能和豐富的工具箱函數(shù)，用Matlab處理圖像的優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)在：Matlab已經(jīng)將數(shù)學(xué)算法編成了現(xiàn)成的函數(shù)，代碼短小，編程效率高；具有強(qiáng)大的矩陣計(jì)算功能，能高效實(shí)現(xiàn)圖像處理運(yùn)算；強(qiáng)大的圖形表達(dá)功能；擴(kuò)展性良好，用戶能自己編寫M文件，組成自己的工具箱。

在matlab中，fftshift函數(shù)把傅里葉變換的零頻率部分移到頻譜的中間，其調(diào)用格式為。具體來說，把fft函數(shù)、fft2函數(shù)和fftn函數(shù)輸出的結(jié)果的零頻率部分移到數(shù)組的中間，對于觀察傅里葉變換頻譜中間零頻率部分十分有效。對于向量，把X左右部分交換一下；對于矩陣，把X的一、三象限和二、四象限交換；對于高維數(shù)組，在每維交換X的半空間。

（一）旋轉(zhuǎn)性

傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)驗(yàn)證主要通過圖像負(fù)向旋轉(zhuǎn)45度后的傅里葉變換頻譜比較實(shí)現(xiàn)。

因此，可得出結(jié)論：若圖像f（x，y）旋轉(zhuǎn)θ，則它的傅里葉變換頻譜也旋轉(zhuǎn)θ。這驗(yàn)證了傅里葉旋轉(zhuǎn)公式的結(jié)論。同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)圖像正負(fù)向旋轉(zhuǎn)相同角度，其頻譜變換也一樣，間接驗(yàn)證了傅里葉變換整體上的共軛對稱性，通過對不同角度正負(fù)向旋轉(zhuǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，其頻譜變換也是一樣。

（二）平移性

傅里葉變換的平移性質(zhì)驗(yàn)證主要通過對原始圖像、圖像沿x軸移動和圖像沿y軸移動、圖像沿xy兩軸都移動后的傅里葉變換頻譜比較實(shí)現(xiàn)。

五、結(jié)語

通過以上matlab實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和平移性質(zhì)。傅里葉變換有著很好的理論背景，其在空間濾波、光學(xué)信息、圖像處理中都發(fā)揮著重要作用。隨著圖像處理所用的計(jì)算機(jī)設(shè)備不斷降價(jià)、支持傅里葉變換的硬件的出現(xiàn)，傅里葉變換在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域?qū)⒌玫竭M(jìn)一步發(fā)展。

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作者簡介：李曉寧，測繪制圖，天津市西青區(qū)李七莊凌口昌凌路天津市測繪院，郵編300381，聯(lián)系電話13821114596，郵箱279478862@QQ.COM