例榷“幾何概型”師生常見的誤判

馬兆金

摘 要：本文從教育心理學“前科學概念”及其與學習新知的關(guān)系的角度，指出學習“幾何概型”遇到的思維障礙，重點剖析一道近年高中數(shù)學涉及物理過程的“幾何概型”問題，概括指出“幾何概型”教學中要注意的關(guān)鍵事項。

關(guān)鍵詞：幾何概型；前科學概念；概率；事件集合；幾何變量

高中數(shù)學教學中，“概率統(tǒng)計”是值得關(guān)注的必學內(nèi)容。 它不僅是升學考試的必考內(nèi)容，更是當代社會公民素養(yǎng)必不可少的內(nèi)容。 從生活中的柴米油鹽，到交通旅游，再到普通工業(yè)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、金融衛(wèi)生、高尖科技等各方面，“概率統(tǒng)計”的知識方法無處不在，運用“概率統(tǒng)計”的數(shù)學思想解決的問題比比皆是。

現(xiàn)階段高中數(shù)學“概率統(tǒng)計”部分的教學，古典概型、幾何概型兩類概型的分析與運用是學生頗感有難度的內(nèi)容之一。 其中，幾何概型貌似簡單，其實學生解決問題時很容易誤判，比如下例：

例1 如圖1，邊長的正方形ABCD的頂點A與坐標原點O恰重合，AB，AD恰與x軸、y軸重合。 直線OP繞O點以 rad/s的角速度從與x軸重合位置逆時針開始轉(zhuǎn)動，至與y軸重合后，立即以同樣大小的角速度順時針轉(zhuǎn)動至與x軸重合的位置，再重新逆時針旋轉(zhuǎn)…，直線OP交對角線BD于點K，正方形ABCD的對角線交點為Q，==，試求轉(zhuǎn)動中K點位于MN之間的概率。

筆者發(fā)現(xiàn)，一道貌似簡單的概率問題，課堂教學中竟讓眾多數(shù)學高手“翻船”，學生所得解答往往是：K點只能在BD之間來回運動，而所求概率事件中K點對應(yīng)的位置范圍是=，所以概率是。 然而，這道題的正確答案卻是。

事實上，許多“幾何概型”問題，學習狀況中等的學生極易做錯。 為何“幾何概型”問題學生極易誤判導致出錯？筆者認為需要對此進行教學剖析。

從教育心理學的角度看，數(shù)學概念習得有一個“前科學概念”的階段。 高中數(shù)學概率統(tǒng)計的學習也是如此。 學生對“概率”與“事件”早在童年時已有模糊認識，自發(fā)觀察生活中大量現(xiàn)象，對事件“分類”、“統(tǒng)計”，自發(fā)歸納，隨著年齡增長，對“同一事件”或 “同類事件”的出現(xiàn)頻率逐漸有較為精細的體驗，在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生對生活事件發(fā)生的可能性大小的自發(fā)的經(jīng)驗式預估、驗證，產(chǎn)生對“統(tǒng)計與概率”早期的模糊認識，在知識系統(tǒng)中產(chǎn)生“概率”的前科學概念。 前科學概念對學習有一定影響，雖然在新知學習的引入過程中，有時前科學概念有好的心理定向誘導作用，但在數(shù)學概念學習中，絕大多數(shù)前科學概念其實會產(chǎn)生一定的學習障礙。 因為數(shù)學來自于生活與生產(chǎn)實踐，但經(jīng)哲學意義上的理性思維的抽象，更專注于本質(zhì)的歸納、本質(zhì)關(guān)系的推究與論證，具體事物一經(jīng)抽象為科學概念，不再局限在狹隘經(jīng)驗范圍，新概念必在內(nèi)涵、外延上突破原有經(jīng)驗。 早期對“概率”與“事件”的認識中，學生能夠領(lǐng)悟或作出思維反應(yīng)的過程一般是自然發(fā)生的離散過程，涉及的數(shù)學變量是離散的小范圍、小數(shù)值數(shù)學變量，過程往往反復發(fā)生，且數(shù)學變量能直觀感知，如個數(shù)、天數(shù)、次數(shù)等。 在其后的過程，包括高中數(shù)學概率與統(tǒng)計的學習中，學生首先學習且也先習慣的是離散變量統(tǒng)計與概率問題。 如“古典概型”，涉及變量一般離散，“事件集合”基數(shù)有限，“事件”可能性有限可數(shù)，分類過程簡單，可用組合學的公式和原理進行計算，并且計算結(jié)果有時可直觀檢驗。 “古典概型”屬于能與學習者已有學習經(jīng)歷密切聯(lián)系的新知，大多數(shù)學生能很好理解“古典概型”，并能運用其解決數(shù)學問題。 但從高中數(shù)學教學現(xiàn)狀看，學習“古典概型”時處理離散型變量的經(jīng)驗，雖為導入“幾何概型”的學習創(chuàng)造數(shù)學教學的學科背景，但由于處理的數(shù)學對象不同，也會給連續(xù)型變量的學習形成不利心理定式，即使“幾何概型”是最簡單的連續(xù)型變量的統(tǒng)計與概率問題。 因此，相當多的高中學生學習“幾何概型”時有著明顯的思維障礙。

首先，處理的變量由離散型過渡為連續(xù)型。 “幾何概型”有兩顯著特點：一是某一次試驗中，事件可能性具有無限性，而其基本事件集基數(shù)無限；二是每一基本事件發(fā)生的可能性均等，事件之間具有等可能性。 學生學習“幾何概型”的過程中，通過課堂學習，能知道“幾何概型”，但理解幾何概型的數(shù)學意義，并進而運用幾何概型的思想方法解決問題則存在困難。 在每一個涉及“幾何概型”的問題中，學生要面臨一系列的問題：“基本事件”是問題中的哪個事件？與“基本事件的集合” 對應(yīng)的幾何變量是哪些變量？事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該“事件集合”中的事件對應(yīng)的幾何變量，如長度、面積或體積等幾何量，兩者之間有何種確定的數(shù)學對應(yīng)關(guān)系？這種數(shù)量關(guān)系往往不像古典概型那樣可以進行簡單計數(shù)，而且絕大多數(shù)幾何變量（如長度、質(zhì)量、面積等）是連續(xù)型變量，有時需聯(lián)系問題實際背景，綜合運用所學的基本函數(shù)知識、平面與立體幾何關(guān)系、不等式、數(shù)列、方程和解析幾何的知識方法。由離散變?yōu)檫B續(xù)，固然是認識的一大飛躍，但由此帶來的知識綜合性與方法運用復雜性也形成學生學習中的思維障礙。

其次，長期生活和學習中，處理連續(xù)型變量問題，學生最習慣的相關(guān)關(guān)系是正比例關(guān)系。 學習古典概型時他們發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的概率正比于頻率。 在處理相當多的“幾何概型”問題中，往往因抓不住事件發(fā)生過程中的帶根本性的核心變量，有時簡單認為，某事件發(fā)生的概率與“該事件集合”對應(yīng)的任一幾何變量值取值的區(qū)間長度都成正比。 例1列舉的那道常見易錯題中，伴隨著直線OP的旋轉(zhuǎn)，會引起一系列幾何量的改變，比如點K的位置變化，向量，，等的位置變化，這些量的變化其實是直觀的，引起這些幾何量變化的根源是直線本身的轉(zhuǎn)動，因此，直線的轉(zhuǎn)速才是核心的量。 轉(zhuǎn)速的大小決定了確定的時刻直線所處的具體位置、確定時刻K點的位置。 所以K點位置的變化范圍及其對應(yīng)的幾何量其實應(yīng)該轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的轉(zhuǎn)動階段的時段的時長。K點位置對應(yīng)的幾何量選擇OP與x軸的夾角就十分方便，位置的變化范圍對應(yīng)角度的變化范圍，位置的概率問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動角度的概率問題，因為直線OP勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角度的概率隨時間等概率分布，進而轉(zhuǎn)化為涉及時間的等概率分布問題。 用一句話說，就是相等時間必然轉(zhuǎn)過相等的角度，直線在相等角度里也即相等時間段里出現(xiàn)的概率相等。 由正方形ABCD邊長為，==，不難求出∠MOQ=30°，∠MON=60°，而∠BOD=90°，所以K點位于MN之間的概率為=。

值得關(guān)注的是，近年高中數(shù)學涉及物理過程的“幾何概型”問題越來越多，學生感到有一定難度，往往因為問題涉及的某些變量的取值區(qū)間長度并不與事件的概率成正比，而學生往往誤用，比如下面一道題：

例2 如圖2，點S處有一光源向四周發(fā)光，點E位置與點S位置關(guān)于過A點的直線AD對稱，小球P從A點出發(fā)沿直線在點D和點A之間來回往復做勻速運動，P在A點時投下的影子在E點，P在B點時投下的影子在F點，P在C點時投下的影子在G點，P在D點時投下的影子H恰在D點，∠PHE=∠SEH=∠SBA=60°，∠SFH=90°，∠SGE=75°，∠SDA=30°，試求P的影子出現(xiàn)在FG之間的概率。

這道題中關(guān)鍵條件是“勻速運動”，而P在AD之間的勻速運動并不導致影子在EH上勻速運動，因為這是一個中心投影而非平行投影。 “P的影子出現(xiàn)在FG”這樣一個事件相當于“在EH之間取一個區(qū)間”，而在EH之間取一個區(qū)間，長度與概率不成正比，因此，不能用在EH之間的幾何線度作為概率的測度。 但是，“P在D，A之間來回往復的勻速運動”導致可以很方便地取在AD之間的幾何線度作為概率的測度，這時AD之間的幾何線度與P出現(xiàn)的區(qū)間的概率成正比。 由題中已知條件不難求出：∠SCA= 45°，設(shè)SA=h，AD=，BC=-，“P的影子出現(xiàn)在FG之間”的概率也即“P出現(xiàn)在BC之間”的概率，為=。

總之，學習“幾何概型”，一定要在教學中讓學生領(lǐng)悟到“等概率的基本事件”在研究的問題中究竟是哪個事件，它與題中要求概率的那個事件之間有什么關(guān)系，此時概率究竟跟哪個幾何量成正比，這是正確解決“幾何概型”問題一定要注意的關(guān)鍵。