歸納推理在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

摘 要：歸納推理在高中數(shù)學(xué)解題中如何巧妙應(yīng)用，本文結(jié)合一線課改實(shí)驗(yàn)，從數(shù)列問(wèn)題變形猜想，滲透歸納意識(shí)；探尋數(shù)形規(guī)律，蘊(yùn)涵歸納推理能力；實(shí)際問(wèn)題化歸，提升歸納品質(zhì)這三個(gè)方面進(jìn)行深入探究。

關(guān)鍵詞：歸納推理；數(shù)列；研究

推理是一個(gè)古老的話題，它是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷的思維方式.推理能力的培養(yǎng)一直是數(shù)學(xué)教育最重要的任務(wù)之一.歸納法或歸納推理有時(shí)叫做歸納邏輯，是論證的前提支持結(jié)論但不確保結(jié)論的推理過(guò)程.它的理論基礎(chǔ)是亞里士多德在邏輯學(xué)中提出的“三段論”學(xué)說(shuō).簡(jiǎn)言之，歸納推理是由特殊到一般，由部分到整體的推理。

數(shù)學(xué)教學(xué)中如何開(kāi)展歸納推理？對(duì)此，小學(xué)就已開(kāi)始了，只不過(guò)原教材是分散于各章節(jié)內(nèi)容之中，沒(méi)有進(jìn)行專題性的、系統(tǒng)的教學(xué).2001年的《標(biāo)準(zhǔn)》中，提出了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)合情推理能力，但在九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材中只增加了合情推理很少一部分內(nèi)容.這樣會(huì)導(dǎo)致實(shí)際教學(xué)與課程標(biāo)準(zhǔn)所要求達(dá)到的目標(biāo)存在一定的偏差.2003年《高中新課標(biāo)》中“推理與證明”專列一個(gè)模塊，目的非常明顯：提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究和推理能力，一方面培養(yǎng)直覺(jué)型的創(chuàng)新能力，同時(shí)強(qiáng)化理性思維.作為新增教學(xué)內(nèi)容，無(wú)論對(duì)于學(xué)生今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，還是對(duì)于激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，都具有十分重要而深遠(yuǎn)的意義.下面筆者結(jié)合多年一線課改實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，探討歸納推理在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

[?] 數(shù)列問(wèn)題變形猜想，滲透歸納意識(shí)

推理一般包括合情推理和演繹推理，他們都是日常學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常應(yīng)用的思維方法，教科書(shū)盡量結(jié)合學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)模型和生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納，然后提出猜想的推理，從中挖掘、提煉出歸納推理的含義和方法，特別在數(shù)列題型中廣泛應(yīng)用。

例1 已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且an+1=（n∈N*），試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

分析：方法一（歸納法）

分別把n=1，2，3，4代入an+1=得

a2=，a3=，a4=，a5=，歸納出an=. 容易用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想是正確的。

方法二（構(gòu)造法）

取倒數(shù)得：=1+，則-=1，令bn=，顯然{bn}是等差數(shù)列，公差為1.由等差定義知bn=n，故an=。

感悟：法一從特殊入手，引導(dǎo)學(xué)生歸納、猜想、推理，得出結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法給予證明，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力及邏輯思維能力；法二通過(guò)觀察、變形，構(gòu)造特殊數(shù)列從而得出一般結(jié)論，滲透歸納意識(shí)。

例2 （易錯(cuò)題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=-an+1，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

錯(cuò)解：當(dāng)n=1，2，3，4，分別代入已知條件得，a1=1，a2=，a3=，a4=，

除第一項(xiàng)之外，后三項(xiàng)很有規(guī)律，于是可以猜想

錯(cuò)源分析：先天不足，過(guò)于武斷.容易驗(yàn)證，當(dāng)n=5時(shí)，a5=，就不適合an。

原因是由歸納推理所得的結(jié)論未必是可靠的.一般，考查的個(gè)體越多，歸納的可靠性越強(qiáng).因此，歸納推理的猜想出來(lái)的結(jié)論，一般要證明其正確性。

正解：正確的猜想如下：a1=·-

（1）10是該數(shù)列的第幾項(xiàng)到第幾項(xiàng)？（2）求第100項(xiàng)；③求前100項(xiàng)的和。

分析：這是數(shù)列題型中常見(jiàn)題目。思路：分組—觀察—找規(guī)律—?dú)w納—猜想。

對(duì)已知數(shù)列進(jìn)行分組，第一組一個(gè)1，個(gè)數(shù)記為a1=1；第二組兩個(gè)2，個(gè)數(shù)記為a2=2；第三組三個(gè)3，個(gè)數(shù)記為a3=3；第四組四個(gè)4，個(gè)數(shù)記為a4=4，……，以此類推。

（1）容易得出“10”皆出現(xiàn)在第十組，由于前九組中共有a1+a2+a3+…+a9=45項(xiàng)，因此10在該數(shù)列中從第46項(xiàng)到第55項(xiàng)。

（2）由a1+a2+…+an=1+2+…+n<100，即<100成立的最大自然數(shù)為13，又1+2+…+13=91，因此第100項(xiàng)為14。

（3）由上題可知該數(shù)列前100項(xiàng)的和為：S100=1×1+2×2+…+13×13+9×14=945。

感悟：本題是在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)上，通過(guò)合理的分組，將隱性規(guī)律挖掘出來(lái)，再觀察、歸納從而解決問(wèn)題。

數(shù)列與函數(shù)相互滲透在新課改中廣泛應(yīng)用。

例4 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切n∈N*，點(diǎn)

都在函數(shù)f（x）=x+的圖象上，求a1，a2，a3的值，猜想an的表達(dá)式，并證明您的結(jié)論.

分析：由已知=n+，故Sn=n2+an.若n=1，則S1=a1=1+a1，所以a1=2；同理n=2時(shí)，S2=a1+a2=4+a2，則a2=4；當(dāng)n=3時(shí)，a3=6.由此可以猜測(cè)an=2n。

以上結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法容易證明。

①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。

②假設(shè)n=k（k≥1）猜想成立，則ak=2k。

當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=Sk+1-Sk=

整理得ak+1=4k+2-ak=2（k+1），

故n=k+1猜想也成立，所以對(duì)于一切n∈N*，結(jié)論成立。

點(diǎn)評(píng)：本題是中等題，在掌握an與Sn關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些共性或一般規(guī)律；然后把共性推廣為一般猜想，最后，對(duì)所得出的一般命題進(jìn)行檢驗(yàn)證明。

【拓展提升】 將數(shù)列{an}依次按1、2、3、4、…項(xiàng)循環(huán)分（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按照原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值。

分析：因?yàn)閍n=2n（n∈N*），所以數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…每一次循環(huán)記為一組，由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，易得出b5=22，且b100是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.觀察每組第4個(gè)括號(hào)中四個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)成等差數(shù)列，且公差d1=20，由等差數(shù)列性質(zhì)，每組第4個(gè)括號(hào)中四個(gè)數(shù)之和也成等差數(shù)列，且d2=80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，所以b100=68+24×80=1988，所以b5+b22=2010。

反思：歸納立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)基礎(chǔ)上。

[?] 探尋數(shù)形規(guī)律，蘊(yùn)涵歸納推理能力

數(shù)學(xué)天才高斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)是鍛煉思維能力的體操?！?歸納推理是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的重要形式，具有較強(qiáng)的探索和預(yù)測(cè)作用.教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納方法，不僅能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，尋找數(shù)形規(guī)律，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力等思維品質(zhì)，提高認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

例5 （2009年湖北高考）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).比如：

他們研究圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）

追本溯源1 上題雖是一道創(chuàng)新題，但其來(lái)源早已熟悉.（2004春季上海）人教A版選修1-2第46頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第1題根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖形中有n2-n+1個(gè)點(diǎn).

[（1） （2） （3） （4） （5）]

試題剖析：依題意，圖（1）中數(shù)的規(guī)律a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…累加易得

an=（n∈N*），而圖（2）中cm=m2（m∈N*），故選C。

核心規(guī)律：通過(guò)數(shù)與形之間特殊關(guān)系，觀察、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而估算得解。

追本溯源2 （2005年廣東高考）設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f（n）表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，f（4）= 5 ，當(dāng)n>4時(shí)，f（n）= （n-2）（n+1）.（用n表示）

分析：因?yàn)椋?）f（3）-f（2）=2，

分析：觀察數(shù)表不難發(fā)現(xiàn)其是楊輝三角的變異版本，本質(zhì)還是數(shù)列知識(shí)歸納推理的應(yīng)用.第一行是一個(gè)1，第二行是兩個(gè)2，第三行的第一個(gè)數(shù)是3，

若第n-1行的第二個(gè)數(shù)為bn-1，第n行的第二個(gè)數(shù)為bn.由楊輝三角規(guī)律得bn=（n-1）+bn-1，即bn-bn-1=n-1.由b3=4，

又bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b4-b3）+b3

=（n-1）+（n-2）+…+4+3+4=×（n-3）+4=，于是第10行的第2個(gè)數(shù)是a10=46。

反思：本數(shù)表與上面題型比較，形變神不變.第一個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)完全歸納列舉出來(lái)解決問(wèn)題，但延伸到第n行，難度明顯提升.拓展問(wèn)題的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生求知欲望，由觀察、概括、特殊到一般總結(jié)出結(jié)論，體現(xiàn)歸納思維過(guò)程.

[?] 實(shí)際問(wèn)題化歸，提升歸納品質(zhì)

歸納推理是重要的推理之一，也是解決問(wèn)題的重要途徑.歸納推理的一般步驟：（1）對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；（2）提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想。

例6 20世紀(jì)60年代，日本數(shù)學(xué)家角谷發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪現(xiàn)象：一個(gè)自然數(shù)，如果它是偶數(shù)就用2除它；如數(shù)果奇數(shù)，則將它乘以3后再加1，反復(fù)進(jìn)行這樣兩種運(yùn)算，會(huì)得到什么結(jié)果？試考查幾個(gè)并給出猜想。

這是一道問(wèn)題情景題，筆者在競(jìng)賽輔導(dǎo)班向?qū)W生展示，分組實(shí)驗(yàn)，能激起大部分學(xué)生的探索欲望。

學(xué)生展示一，如自然數(shù)6，按照角谷的要求：=3，3×3+1=10，=5，5×3+1=16，

=8，=4，=2，=1，計(jì)算流程：6—3—10—5—16—8—4—2—1；

學(xué)生展示二，計(jì)算流程簡(jiǎn)記9—28—14—7—22—11—34—17—52—26—13—40—20—10—5—16—8—4—2—1，…

大量運(yùn)算結(jié)果，得出一樣的規(guī)律：這樣反復(fù)運(yùn)算的結(jié)果都是1.故大膽猜想所有自然數(shù)運(yùn)算結(jié)果都是1.這就是“角谷猜想”又名“冰雹猜想”.至今還沒(méi)有人證明出來(lái)。

學(xué)生在演示過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)樂(lè)趣，探索數(shù)學(xué)奧秘，提升歸納品質(zhì).案例啟示學(xué)生在日常學(xué)習(xí)生活中，要善于觀察、總結(jié)、歸納、大膽猜想。

追本溯源 （普通高中數(shù)學(xué)選修1-2 P27例5）有三根針和套在一根針上的若干大小不同金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。

1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片；

2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。

試推測(cè)：把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針，最少需要移動(dòng)多少次。

分析：設(shè)n個(gè)金屬片，需要移動(dòng)次數(shù)為f（n），

當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，

當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=3，

當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=7=f（2）+1+f（2），

當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=15=f（3）+1+f（3），

歸納出f（n）=2n-1，

f（n）=1，n=1，

2f（n-1）+1，n≥2.

點(diǎn)評(píng)：從實(shí)際問(wèn)題入手，激發(fā)求知欲望，構(gòu)造出數(shù)的模型.從特殊到一般，總結(jié)數(shù)學(xué)模型的一般規(guī)律。

歸納推理是數(shù)學(xué)基本的思維過(guò)程，在高中數(shù)學(xué)解題中廣泛應(yīng)用.一般情況下，由歸納推理所獲得的結(jié)論，能幫助猜測(cè)規(guī)律，能為證明提供思路和方向.但它僅僅是一種猜想，其可靠性還需進(jìn)一步證明.解題、教學(xué)和研究過(guò)程就是師生觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、猜測(cè)以及抽象、概括等思維方法過(guò)程，特別是合理的挖掘素材、巧妙的陳述、有效的提問(wèn)，可以使枯燥的數(shù)學(xué)課堂充滿生機(jī)和活力，一方面提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究和推理能力，另一方面培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)型的創(chuàng)新能力和理性思維。