修正微分定義 統(tǒng)一數(shù)學(xué)分析

摘 要：第二次數(shù)學(xué)危機爆發(fā)至今一直都存在不同的意見，無窮小分析這套微積分工具對問題的解決頗具啟發(fā)性，但其理論基礎(chǔ)備受質(zhì)疑；而現(xiàn)今極限理論框架下的微積分失去了無窮小分析的簡明直觀性。該文修正了極限理論中微分和無窮小量的定義，根據(jù)“Bolzano連續(xù)性賦值”建立微商引理，統(tǒng)一了無窮小分析與極限理論；舉例推證了部分微分學(xué)公式，揭示了無窮小分析和極限理論之間內(nèi)在的蘊含關(guān)系，指出了L’Hospital法則、等價無窮小代換本質(zhì)上就是求出函數(shù)在0/0處的值，和Euler的觀點吻合。同時用純粹數(shù)學(xué)描述Marx的數(shù)學(xué)手稿，證明其“微分為特定的0”的觀點的正確性，表明可以從本質(zhì)上徹底解決第二次數(shù)學(xué)危機。

關(guān)鍵詞：第二次數(shù)學(xué)危機 無窮小分析 極限理論 微分 微商引理

中圖分類號：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（b）-0010-03

我們知道，Newton、Leibniz創(chuàng)立的第一代微積分理論——無窮小分析，由于其無法解釋無窮小量還是，引發(fā)了著名的第二次數(shù)學(xué)危機，也稱為Berkeley悖論。為解決這個悖論，Cauchy等人建立了極限理論，把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，問題從而得到初步解決。但第二次數(shù)學(xué)危機爆發(fā)至今，一直都存在著不同意見：著名的數(shù)學(xué)家Euler就堅持認(rèn)為在求導(dǎo)數(shù)的運算中，其結(jié)果應(yīng)該是；[1]Marx在他的《數(shù)學(xué)手稿》中說得更明確：求導(dǎo)數(shù)的運算的結(jié)果應(yīng)該是嚴(yán)格的、特定的，提出了微分在數(shù)值上等于0的新思想，指出了的精辟見解。[2]雖然無窮小分析存在邏輯上的悖論，但其表述運算過程的簡明性和直觀性是其他理論所不能及的；枯燥晦澀的語言成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一道難關(guān)，因此許多經(jīng)濟學(xué)家和工程師牢牢地抓住“無窮小量”不放。非標(biāo)準(zhǔn)分析的建立就是為了為無窮小分析正名，但是該理論較為繁瑣，進(jìn)入教學(xué)實踐困難，無法取代極限理論的地位。統(tǒng)一自然辯證法和純粹數(shù)學(xué)兩個領(lǐng)域在這個問題上的不同意見，恢復(fù)無窮小分析在純粹數(shù)學(xué)中的合理地位已成為一項饒有興致、頗具重要的課題。

1 百家爭鳴的無窮小量

Leibniz定義并求R上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過程：取函數(shù)的自變量變化無窮小量，其中，則隨變化增量為，因此

，

，令，

定義函數(shù)在時的函數(shù)值作為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記做。

可見，上述過程出現(xiàn)了無窮小量和這個悖論。

為了解決這個悖論，Cauchy等人建立了極限理論，極限理論定義導(dǎo)數(shù)如下

設(shè)R上函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，若，當(dāng)時，總有，我們稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，稱極限A為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即

（1）

極限理論固然嚴(yán)格，消除了和這個悖論，但失去了簡明、生動、活潑的計算方法。第一代微積分中的無窮小量在數(shù)學(xué)上被斷定為不可接受，因為還沒有形成滿意的定義，能與上述公式化的微積分原理一致，或者可以成為在邏輯上滿意的替代解釋的基礎(chǔ)。[3]為了保持微積分運算的簡易性，現(xiàn)代數(shù)學(xué)把無窮小分析看成一種記號，如復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式可表示成，其概念源自于導(dǎo)數(shù)：函數(shù)自變量的微分規(guī)定為，因變量的微分記為，這種定義下函數(shù)的微分將隨著自變量的任意取值而變化，微分即可“充分大、任意大、大而不微”[4]，失去了無窮小量的真實含義。此外，在微積分發(fā)展史中學(xué)者們對無窮小量有著不同的看法：“潛無窮”、“實無窮”、“已消失的量的鬼魂”、“令人憎惡的小零蛋”、“特定的無”等等。[3]

Marx在他的《數(shù)學(xué)手稿》中指出，微商（導(dǎo)數(shù)）應(yīng)該是嚴(yán)格的、特定的；微分應(yīng)該是揚棄的增量，不是虛無，而是“特定的無”。[2]通俗地講，即當(dāng)平均變化率變?yōu)樗矔r變化率（導(dǎo)數(shù)）時，。數(shù)學(xué)家Euler認(rèn)為，一個比任何給定量還小的數(shù)，必然為零，因此在數(shù)值上等于0；因此，對歐拉而言微積分只是找出表達(dá)式之值的啟發(fā)式運算。[3]可惜的是Euler和Marx未給出無窮小量概念的合理的數(shù)學(xué)描述，隨著時間的流逝，這些正確觀點逐漸被人們所淡忘。

2 修正微分的定義

根據(jù)Euler和Marx的微分在數(shù)值上為0觀點，不妨重新定義微分和。我們?nèi)O限，作為揚棄的增量，把它稱作自變量的微分，記做，那么因變量的微分即為。我們發(fā)現(xiàn)，和在數(shù)值上等于0但不同于代數(shù)的0，因為它們是變量在趨于0過程中的最終極限值，是帶有變化趨勢這一信息的。下面根據(jù)極限理論嚴(yán)格描述微分：

定義2.1嚴(yán)格的，若R上變量滿足，則稱變量在處可微，我們把增量趨于零時的極限叫做變量在處的微分，記為，又可表示成，不混淆的情況下簡寫為.

同理，函數(shù)的因變量也可按上述定義，因此只要給定一條數(shù)軸，R上的任意連續(xù)變量均可寫出微分的形式，與函數(shù)的依賴關(guān)系無關(guān)。此外，注意到此定義有個奇妙之處：，也就是可以把0和互換，不妨稱為微分形式不變性。

下面考慮兩個變量的微商（導(dǎo)數(shù)）運算，我們竭盡全力要使兩個具有函數(shù)依賴關(guān)系的變量微分之比等于因變量對自變量的導(dǎo)數(shù)，即。從形式上可以得到如下推導(dǎo)：

充分性：

（2）

必要性：

（3）

其中表示當(dāng)時，，即函數(shù)連續(xù)性這一變量之間的依賴關(guān)系。在上述推導(dǎo)中我們疏忽了一點，就是極限的除法運算中要求分母變量不等于0。如果要把它推廣到的形式，就要用到Bolzano連續(xù)性賦值。

3 建立微商引理

先觀察這樣一類函數(shù)，滿足形式，且與在定義域上連續(xù)，但函數(shù)在某一點上化為。例如信號處理理論中常用的抽樣函數(shù)：，在=0時刻或延時后峰值具有物理意義，通常顯式地定義為。而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常認(rèn)為當(dāng)=0時刻分母等于0無定義，從而采用兩邊夾定理得到重要極限：。數(shù)學(xué)家Bolzano認(rèn)為：如果一個函數(shù)在某一點化為，那么它在這個點上就沒有確定值；但是，當(dāng)達(dá)到這個點時，它可以有一個極限值；他還正確地指出，把有限值作為的意義，可使函數(shù)在這一點成為連續(xù)的。[3]不妨稱之為Bolzano連續(xù)性賦值，利用這個極限賦值，我們建立微商引理：

引理3.1設(shè)函數(shù)，在點處有，，且存在，根據(jù)Bolzano連續(xù)性賦值，我們認(rèn)為在點處有定義且連續(xù)，滿足，即：，又，得到.

引理3.1我們稱為微商引理。

特別的，函數(shù)

，顯然

，；若極限存在，則在處有定義且連續(xù)，同理，根據(jù)微商引理，有：，即函數(shù)在的函數(shù)值為

，由微分形式不變性，將0換成，有

。

4 統(tǒng)一無窮小分析與極限理論

定理4.1若函數(shù)在點處連續(xù)，則滿足。

這個定理的證明是輕而易舉的，可能在微積分的計算中沒有多大的作用，但對于無窮小分析與極限理論的統(tǒng)一，卻是至關(guān)重要的。

根據(jù)無窮小分析給出的導(dǎo)數(shù)定義式：，取函數(shù)的自變量變化無窮小量，隨變化增量為。則由修正的微分定義，有，。其中，，設(shè)，=0，顯然函數(shù)在處連續(xù)。由定理4.1，有

，再根據(jù)微商引理，得：

.

另外，，故。

這樣我們就把無窮小分析建立在極限理論之上，使之獲得嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，又可重新使用無窮小量的簡潔表示，而不必寫出極限符號。

師教民教授在論文《論極限理論的微分之謎》中指出，無窮小分析法和極限理論給出的導(dǎo)數(shù)定義本質(zhì)上都是定義函數(shù)在處的函數(shù)值。[5]我們論證了這一觀點的正確性，體現(xiàn)了微積分概念應(yīng)該是按照“否定之否定”的哲學(xué)原理發(fā)展的。第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生和極限理論的處理方法其實是微分學(xué)發(fā)展過程中的第一次否定，第二次否定應(yīng)該是回歸到最初的無窮小分析法上，在更高層次上的“回應(yīng)”，這也是符合馬克思主義自然辯證法原理的。

根據(jù)修正的微分定義，這里有必要改進(jìn)無窮小量的數(shù)學(xué)描述。極限理論是把無窮小以潛無窮的變量表達(dá)出來的，定義如下：（或N），當(dāng)（或時），總有，則稱函數(shù)為當(dāng)（或）時的無窮小量。[6]根據(jù)第一代微積分（無窮小量分析法）與微商引理，我們修正定義如下：

定義4.1（或N），當(dāng)（或時），總有0< ，即或，則稱極限為當(dāng)（或）時的無窮小量。

定義4.1中排除常量0是為了區(qū)別“虛無”和“特定的無”，根據(jù)Euler的微分學(xué)理論，無窮小量正是特定的消失的變量，在數(shù)值上等于0，因此是實無窮取徑。根據(jù)定義4.1，微分是無窮小量，無窮小量也可以轉(zhuǎn)化為微分的形式：（時，），有。

定理4.2 若，，則.[6]

定理4.2可由極限的乘法運算法則直接導(dǎo)出，特別的，令極限常數(shù)A=0，得到無窮小量的轉(zhuǎn)換定理。接下來我們給出無窮小比較的定義。

定義4.2 設(shè)，是同一極限過程中的兩個無窮小量（為了方便表示，這里略去了與的下標(biāo)），如果有

（1），則稱是比的高階無窮小量，記做；

（2），則稱是比的低階無窮小量；

（3），則稱與是同階無窮小量；

特別的，若c=1，則稱與是等價無窮小量，記做∶.

我們發(fā)現(xiàn)，新定義的實無窮小量通過微商引理轉(zhuǎn)化到極限理論定義的潛無窮小量上。類似的，我們引入等價代換定理：

定理4.3 設(shè)存在且，則比值也存在，且有

（4）

證明：

特別的，微分自身之比為1，，滿足等價無窮小的定義。

5 基于新定義推證相關(guān)定理

下面將依據(jù)新的微分定義與微商引理舉例推證微分學(xué)相關(guān)公式，揭示無窮小分析和極限理論之間內(nèi)在的蘊含關(guān)系。

定理5.1（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）

證明：設(shè)及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)，可導(dǎo)必連續(xù)，

定理5.2（反函數(shù)求導(dǎo)法則）

證明：設(shè)函數(shù)=g（y）在點y0處可導(dǎo)且存在反函數(shù)，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為：

定理5.3（L’Hospital法則的特征表式）

引理 5.3 若函數(shù)在點處可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)在點處連續(xù)，則有：

（5）

若，且在點的某個去心鄰域內(nèi)，及都存在，且，，結(jié)合微商引理和引理5.3，有

如果依然滿足L’Hospital法則的條件，循環(huán)使用直至求出極限為止（極限最終存在的前提），即：

（6）

不妨稱式（5-2）為L’Hospital法則的特征表式，簡稱特征式。

根據(jù)Bolzano連續(xù)性賦值，我們發(fā)現(xiàn)，L’Hospital法則、等價無窮小代換、兩個變量的微分之商在本質(zhì)上是一樣的，就是求函數(shù)在點=a處的函數(shù)值！這驗證了Euler的觀點：微分學(xué)只是找出表達(dá)式之值的啟發(fā)式運算。[3]

6 結(jié)論

綜上所述，我們在極限理論的基礎(chǔ)上修正微分和無窮小量的定義，證明了無窮小分析的邏輯是正確的，統(tǒng)一了無窮小分析與極限理論；無窮小量（或微分）在數(shù)值上是等于零的，出現(xiàn)和這個悖論是因為沒有獲得微分與零關(guān)系的正確見解。微商引理指出，任何導(dǎo)數(shù)都是嚴(yán)格的形式，這和Marx的《數(shù)學(xué)手稿》中的新思想是一致的，同時，也和Euler的微分學(xué)基礎(chǔ)理論吻合。從哲學(xué)的角度看，Marx的辯證微分學(xué)思想獲得了純粹數(shù)學(xué)的描述；微分學(xué)概念是按照“否定之否定”的原理發(fā)展的，那么第二次數(shù)學(xué)危機也可以從本質(zhì)上徹底解決。

參考文獻(xiàn)

[1]Euler. John D. Blahton.Foundations of Differential Calculus[M].New York： Springer-Verlag，2000.

[2]馬克思.數(shù)學(xué)手稿[M].北京：北京大學(xué)出版社，1975.

[3][美]卡爾·B·波耶，著.微積分概念發(fā)展史[M].唐生，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2013.

[4]師教民.微積分之謎與美[M].石家莊：河北科學(xué)技術(shù)出版社，2007.

[5]師教民.論極限理論的微分之謎[J].高等數(shù)學(xué)研究，2012（4）：44-46.

[6]南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.