入門·入理·入迷

數(shù)學(xué)作為初中階段的一門重要學(xué)科，不少學(xué)生雖然投入了大量的時間與精力，但學(xué)習(xí)進程并不順利，有的甚至恐懼到想放棄的地步。其實，數(shù)學(xué)并不特別難學(xué)，只要我們幫助學(xué)生入門、入理，他們在嘗試到學(xué)習(xí)的樂趣之后，就可能入迷。

一、入門：克服畏難心理，養(yǎng)成良好習(xí)慣

（一）你喜歡數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就會喜歡你

1.數(shù)學(xué)很有趣

很多同學(xué)特別喜歡看動畫片。動畫是利用了人類“視覺暫留”的特性，連續(xù)播放一系列畫面，形成連續(xù)變化的圖畫，給人一種流暢的視覺變化效果。類似的小動畫我們自己也可以制作：每組8名同學(xué)，依次編號，每人一張小方格紙，紙的左下角有從1—8的阿拉伯?dāng)?shù)字，按各自的編號，分別在空白方格紙上畫出小魚整體向右移動相應(yīng)格數(shù)的圖案（如下圖），并把本小組畫好的8張方格紙片依次裝訂成小畫冊，快速翻動小畫冊，就會看到小魚在游動。這時，就可以請學(xué)生說說在平移過程中小魚的形狀、大小、位置的變化情況。

這里面蘊含了初中數(shù)學(xué)的平移知識。鼓勵學(xué)生先動手畫一畫，翻一翻，有一個直觀的感受，然后再理性思考動畫過程中平移的特性，有助于更好地理解相關(guān)知識。這樣的例子還有很多，如3D動畫制作、網(wǎng)絡(luò)動畫制作等等，都與數(shù)學(xué)知識緊密相連，學(xué)生覺得很有趣。

七巧板也稱“七巧圖”“智慧板”，原為一種室內(nèi)游戲，后在民間演變?yōu)槠磮D玩具。幼兒園、小學(xué)、初中都會提及七巧板，幼兒園時更多地關(guān)注七巧板一共有幾塊，哪一塊比較大，哪一塊比較小等等;在小學(xué)更多關(guān)注七巧板每一塊是什么樣的形狀，哪一個面積大，哪一個周長大等等;而初中研究七巧板，其數(shù)學(xué)意義就更復(fù)雜了。比如：你能用一副七巧板中的3塊拼成三角形嗎？如果是4塊呢，可以有幾種不同的拼法。

顯然，這樣的問題幼兒園的小朋友解決不了，小學(xué)生也比較困難，但對于初中生就相對容易了。初中幾何主要研究圖形的形狀、大小、位置，認識并分析七巧板拼圖中的基本圖形，思考基本圖形之間的相互關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，體會七巧板整體與部分之間的關(guān)系，可以進一步加深學(xué)生對線段、平行線、垂線、銳角、直角、鈍角等有關(guān)概念的理解和掌握。這樣的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生覺得很好玩。

2.數(shù)學(xué)很有用

上世紀(jì)90年代，玻璃瓶裝可樂十分盛行?？煽诳蓸饭緦τ诳蓸菲康脑O(shè)計頗費了一番心思。它花重金在世界范圍內(nèi)招募玻璃瓶的設(shè)計，要求玻璃瓶看上去要美觀，讓人感覺容量比較大，而實際的容量要盡可能的小。于是，左圖中間的可樂瓶就入選了。我們可以看出，這個可樂瓶相對于旁邊的兩個瓶子要“高”一些，也要“瘦”一些，它們的容量相差多少呢？圖中的可樂瓶容量為255ml，而其他兩個瓶子容量都為500ml，相差了將近兩倍。

在實際生活中，也有很多地方要求在降低成本的前提下，外觀要小巧，而容量要盡可能的大。比如保鮮盒，由于要儲存食品，又要便于存放，所以容量要盡可能的大，外觀又要盡可能的小，對于廠家來說，省材也很重要。在初中數(shù)學(xué)中有這樣一個問題：現(xiàn)在給你一張正方形的紙，四個角剪去，把它制作成一個無蓋的長方體，如果說這個正方形的邊長為a，剪去四個角的小正方形邊長為b，試問，b和a之間滿足什么關(guān)系，折起來的長方體體積最大呢？這樣的應(yīng)用問題，在初中數(shù)學(xué)中很多，數(shù)學(xué)就在我們身邊，你喜歡數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就會喜歡你。

（二）學(xué)好數(shù)學(xué)，好的習(xí)慣很重要

要養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。自主學(xué)習(xí)習(xí)慣包括自學(xué)與預(yù)習(xí)習(xí)慣、獨立訓(xùn)練與復(fù)習(xí)習(xí)慣、學(xué)后反思與總結(jié)習(xí)慣（方法歸納）、糾錯的習(xí)慣、做題的習(xí)慣等等。比如預(yù)習(xí)，就是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個必不可少的環(huán)節(jié)，它有助于把自己理解的東西與課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容作比較，提高聽課效率。預(yù)習(xí)時先要想一想，以前學(xué)習(xí)了什么知識，接下來該學(xué)習(xí)什么了，自己先來個“預(yù)測”，更有利于加深對知識的理解，形成嚴(yán)謹而靈動的數(shù)學(xué)思維。

要注重提升課堂學(xué)習(xí)的效率。課堂學(xué)習(xí)的效率高低直接影響到學(xué)習(xí)的效果。因為課堂學(xué)習(xí)是獲取知識的主要來源，是發(fā)展智力的重要途徑。課堂學(xué)習(xí)習(xí)慣有專注聽課的習(xí)慣、課堂記筆記的習(xí)慣、尊重與欣賞老師的習(xí)慣、積極思考的習(xí)慣、即時完成學(xué)習(xí)任務(wù)的習(xí)慣、反思與質(zhì)疑的習(xí)慣、即時檢測學(xué)習(xí)的習(xí)慣等等。要認真聽課，專注傾聽老師的講解和同學(xué)們的討論交流，記好筆記并積極思考，同時注重理解和觀察，不放過任何問題和疑點，追求高效的課堂學(xué)習(xí)效率。

習(xí)慣是一種相對穩(wěn)定的自動化了的行為，養(yǎng)成好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣是數(shù)學(xué)入門的重要環(huán)節(jié)。

二、入理：弄懂?dāng)?shù)學(xué)語言，領(lǐng)悟思想方法

數(shù)學(xué)家克萊因說：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，它使人類的思維得以運用到最完善的程度?！崩硇运季S是數(shù)學(xué)的核心思維，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是培養(yǎng)理性思維的重要途徑，要在平時學(xué)習(xí)的各種方法、進行的各種練習(xí)與反思中，逐步形成邏輯推理的能力。比如2014年全國高考數(shù)學(xué)卷第14題：甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A、B、C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市;乙說：我沒去過C城市;丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市。由此可判斷乙去過的城市是 " "。

對于這個問題，如果我們列一個表格，就很容易解決了。如下圖：

沒有公式，沒有運算，更多地考查推理能力，列表格的方法顯得更為簡潔，但基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)理性思維的能力。

（一）要形成較為完善科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)

初中階段主要研究數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)的思想方法與學(xué)科素養(yǎng)等等。我們可以幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容整理出一棵“知識樹”，包括四個板塊（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐），每個板塊有些什么內(nèi)容，內(nèi)容與內(nèi)容之間的關(guān)系等等，直觀地表現(xiàn)出知識的結(jié)構(gòu)。而數(shù)學(xué)的思想，主要指抽象的思想、推理的思想、模型的思想、審美的思想等等，數(shù)學(xué)的能力主要是關(guān)于數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析、運算、推理和建模等等，這些思想的形成與能力的提升是一個漸進的過程，只要我們注重在科學(xué)的傳授與訓(xùn)練中進行有效的滲透與培養(yǎng)，自然會水到渠成。

（二）要真正理解數(shù)學(xué)的“抽象”特征

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、廣泛的應(yīng)用性，有的同學(xué)因其抽象而覺得枯燥、難學(xué)，其實“抽象”正是數(shù)學(xué)的武器，是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢。

我們來看一個問題：小明左手拿著3張深灰色與2張淺灰色的牌疊在一起，如圖①。以下是他每次洗牌的三個步驟：（1）用右手拿出疊在最下面的2張牌，如圖②;（2）右手拿的2張牌依序交錯插入左手拿的3張牌之間，如圖③;（3）用左手拿著顏色順序已改變的5張牌，如圖④。

若重復(fù)上述三個步驟洗牌，其顏色與順序可能與圖①情形相同的洗牌次數(shù)是（ " ）

A.2013 B.2014 C.2015 D.2016

要解決這個問題，可以把這五張撲克牌進行編碼，前三張分別為1、2、3，后面兩張分別為A、B，經(jīng)過若干次洗牌以后，其顏色與順序還必須是123AB。如123AB→1A2B3→1BA32→13B2A→123AB，經(jīng)過4次洗牌后其顏色與順序與圖①情形相同，顯然，此題選A。這個編碼的過程，可以看成是一個抽象的過程，把具體的實物抽象為數(shù)字后，問題的解決就容易得多了。

（三）要重視數(shù)學(xué)的思想方法

三國時，曹操的一位朋友用船給他送來一頭大象，曹操很想知道大象的重量，可大象太重?zé)o法直接稱量。聰明的曹沖想到了一個方法，就是先把大象牽到船上，在船身刻上水位線，再從船上牽下大象，把石頭一塊塊裝上船，直到水位線與大象在船上時刻劃的水位線相同，然后卸下石頭，稱出石頭重量，由此間接測出大象的體重。曹沖把不能直接稱量的大象體重轉(zhuǎn)化為能直接稱量的石頭重量，這其實體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。把我們生疏的東西，轉(zhuǎn)化為熟悉的，把我們沒有學(xué)過的知識，轉(zhuǎn)化為學(xué)過的等等，這就叫轉(zhuǎn)化。還有分類的思想，人們在點錢時通常先將錢分類，把相同面值的錢整理在一起;商場里的商品也總是分類擺放。分類是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想方法。我們把實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，把整式分為單項式和多項式，把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，把直線與圓的位置關(guān)系分為相離、相切、相交三類等等。通過分類，可以使復(fù)雜的問題變得簡單明了，更易于解決。

三、入迷：聯(lián)系生活實際，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用

（一）用數(shù)學(xué)的思維分析問題

我們先看一個例題：任意想一個兩位數(shù)，減去它的十位數(shù)字，再減去它的個位數(shù)字。如想好一個兩位數(shù)35，那么35-3-5=27，對照這個數(shù)字的左邊，是一種什么水果？換一個數(shù)字試試看，你有什么發(fā)現(xiàn)？這里，我們可以用數(shù)學(xué)的思維來研究這個問題，設(shè)這個兩位數(shù)為10a+b，它的個位數(shù)字是b，十位數(shù)字是a，（10a+b）-a-b=9a，一定是9的倍數(shù)，而9的倍數(shù)恰好在下圖的一條對角線上。用數(shù)學(xué)的思維，可以較為順當(dāng)?shù)胤治鲞@個問題。

初中教材中有一篇閱讀材料“司馬光砸缸”。司馬光聰明在哪兒？小朋友掉到缸里，缸里都是水，怎么救出他來？不能讓人離開水，可以讓水離開人，方法就是砸缸，這就是逆向思維。可見，數(shù)學(xué)的思維與方法在生活中是隨處可以用到的。

（二）用數(shù)學(xué)的策略解決問題

生活中有這樣一個例子：某航班每次約有100名乘客。若飛行中飛機失事的概率為p=0.00005，一家保險公司要為乘客保險，許諾飛機一旦失事，向每位乘客賠償40萬元人民幣。保險公司應(yīng)該如何收取保險費呢？

設(shè)保險公司向每位乘客收取保險費x元。在n次飛行中，保險費收入共100nx元，平均失事np次，平均賠償400000×100×np，即40000000np元。保險公司必須保證收入不小于支出，也就是100nx≥40000000np，即100nx ≥40000000×n×0.00005，100nx≥2000n，x≥20。所以保險公司向每位乘客收取的保險費應(yīng)不低于20元。

生活中類似的例子很多，如果我們通過建立一個方程或不等式的模型來解決問題，就容易得多，這就是用數(shù)學(xué)的策略解決問題。

（三）用數(shù)學(xué)的眼光看待世界

初中教材中有這樣一道題：用抽簽的方法從3名同學(xué)中選1名去參加某音樂會。事先準(zhǔn)備3張相同的小紙條，并在1張紙條畫上記號，其余2張紙條不畫，把3張紙條折疊后放入一個盒子中攪勻，然后讓3名同學(xué)去摸紙條。抽到有記號的人參加，先抽的人有利還是后抽的人有利呢？

遇到這樣的問題，很多同學(xué)感到困惑：如果先抽的人把中獎的這張抽走了，其他人就抽不到了，那么先抽的人合算;如果先抽的人抽不到，那么，能中獎的這張還在這里，后抽的人合算。到底誰合算，這就是數(shù)學(xué)上常常提及的概率。我們不妨列一張表：

把所有的情況都列出來，就會發(fā)現(xiàn)，其實不管是誰，他抽到的概率都是三分之一，因此先抽后抽一個樣。對于這些現(xiàn)實生活中的問題，如果能以數(shù)學(xué)的眼光來看待并理解分析，那么，我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會更加輕松自然，也充滿了樂趣。

（侯正永，南京市第二十九中學(xué)，210013）

責(zé)任編輯：宣麗華