壓縮映射原理、微分公式、泰勒公式在近似計算中的應用

摘要：在實際生產(chǎn)生活以及科學研究中，對于很多結(jié)果我們很難計算其精確數(shù)值，但是，往往在誤差合理的范圍內(nèi)，可以用近似值來代替精確值。本文介紹了壓縮映射原理、微分公式、泰勒公式三種方法在近似計算中的應用

關(guān)鍵詞：壓縮映射;不動點;微分;泰勒公式;近似計算

Abstract：We are difficult to calculate the accurate numbers of the results in production and life and scientific research，but can use approximate numbers to replace them within the limits of allowable error. In this paper，three methods of application for compress mapping theorem and differential and Taylor formula in approximation algorithm are showed.

Keywords：compress mapping;fixed point;differential;Taylor formula;approximation algorithm

一、壓縮映射原理在近似計算中的應用

1 "壓縮映射原理

定義 （泛函分析中的定義）給定度量空間 及映射 ，若存在 ，使得 ，則稱 為映射 的不動點，若存在正常數(shù) ，使得對任給的 ，都有 成立，則稱 是 上一個壓縮映射.

定理 （巴拿赫壓縮映射原理）設 為完備的度量空間， 是壓縮映射，則 有且僅有一個不動點.

注 " 壓縮映射是連續(xù)的.

注 " 空間 的完備條件是為了保證映射 的不動點存在.

定義 （高等數(shù)學上的定義）設 在閉區(qū)間 上有定義，方程 在 上的解被稱為 在 上的不動點.若存在常數(shù) ，使得 ，都有 成立，則稱 是 上的壓縮映射.

定理 " 設 是有界閉區(qū)間 上的壓縮映射，那么函數(shù) 在閉區(qū)間 上存在唯一的不動點.

推論 " 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上可導，且 ，則函數(shù) 在閉區(qū)間 上存在唯一的不動點.

推論 " 如果函數(shù) 是 到自身的映射， 在 上連續(xù)，且 ，則函數(shù) 在 上存在唯一的不動點.

定理 " 設函數(shù) 是閉區(qū)間 上的壓縮映射，且 ，而 ， ，對 ，有 ，則函數(shù) 在 上存在唯一的不動點 ，而且 .

注 " 若 非閉，函數(shù) 是壓縮映射，但是函數(shù) 在 中的不動點未必存在.

2 "在近似計算中的應用

例1 試用壓縮映射的原理計算 的近似值.

解 "注意到 是方程

的是實根，構(gòu)造輔助函數(shù)

，

則任給 ，都有

，

可令

，

容易驗證，當 時，有

，

，

所以 是壓縮因子 的壓縮映射.由于 是 中的有界閉集，故有 ，使得 進而可用迭代法求得 的近似值.

取 ，從而有

，

， ， ，

由上述說明可知

，

從而還可求出近似值與精確值之間的誤差.

由上可知，巴拿赫不動點定理不僅能夠證明一定條件下不動點的存在性和唯一性，而且提供了計算不動點的方法，即迭代法.一般地，我們可以從任意選取的一點初值出發(fā)，逐次作點列的迭代運算，其最終收斂到所求方程的解.這種方法又稱為逐次逼近法，這也是計算數(shù)學中的一種重要方法.

二 "微分公式在近似計算中的應用

1 "微分的概念

定義 " 設函數(shù) 在某區(qū)間 內(nèi)有定義，當自變量 在點 處產(chǎn)生一個改變量 （其中 ）時，函數(shù)的改變量 與 有下列關(guān)系

，

其中 是與 無關(guān)的常數(shù)，則稱函數(shù) 在點 處可微，稱 為函數(shù) 在點 處的微分，記為 .

注4 "由可微與可導的關(guān)系，進一步可得

忽略掉高階無窮小 ，有 .

2 "在近似計算中的應用

例 2 "試用微分計算 的近似值.

解 "注意到 ，且 可直接開方得2，于是設函數(shù)

，

有

， 且 ，

取 給 一個增量 ，對應函數(shù) 增量

即 .

例 3 "試用微分計算 的近似值

解 "注意到 ，且 ，于是設函數(shù)

，

有

，

取 給 一個增量 ，對應函數(shù) 增量

即 .

由于近似公式 里，省略了高階無窮小 ，因此，選擇微分作近似計算時，誤差取決于自變量的增量 ，隨 的減小而減小.

三 "泰勒公式在近似計算中的應用

1 "泰勒中值定理

定理 （泰勒中值定理）如果函數(shù) 在含有點 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階的導數(shù)，那么對于 ，有

稱為 在點 處關(guān)于 的 階泰勒公式.其中 （ 在 與 之間）稱為拉格朗日型余項.

注5 "當 時， 是比 的高階無窮小，故

.

注6 "在泰勒中值定理中，若取 是，泰勒公式變成如下形式

，

稱其為 的 階麥克勞林公式.

2 "在近似計算 中的應用

例4 "應用 階泰勒公式計算 的近似值.

解 "注意到要計算 的近似值，需利用函數(shù) 在點 的 解泰勒公式而得到，由 階泰勒公式

得到

誤差 （ 在 與 之間）.

例5 "應用 階泰勒公式計算 的近似值.

解 "注意到 與0很接近，因此應用函數(shù) 的3階麥克勞林公式

得到

誤差 （ 在 與 之間）

由泰勒公式可以觀察到，利用泰勒公式作近似計算時，選取泰勒公式的階數(shù)越高，近似計算的精確度越高.并且微分的近似計算公式就是一階泰勒公式的特殊情況，因此微分近似計算的精確度并不高，但是在精確度要求不高的情況下，選擇微分作近似計算更加簡單.

參考文獻：

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作者簡介：

巨小維（1982-），女，山東臨朐人，講師，主要研究方向：非線性泛函分析。

基金項目：黑龍江省高等學校教改工程項目（JG2014010966）。