在平面直角坐標(biāo)系中求三角形的面積方法再探

在歷年的數(shù)學(xué)中考題中，求圖形的面積常常出現(xiàn)在試卷上。其中求三角形的面積，則更多地出現(xiàn)在綜合題中，與函數(shù)、運動型問題結(jié)合，使有些學(xué)生覺得很難，無從下手。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，在求三角形的面積的問題時，在平面直角坐標(biāo)系中，可以有一種更加簡單、直觀的方法。

三角形的面積的求法很多，常用的方法是

⑴S= "ah

⑵S= "ab

⑶S=大的圖形的面積—小的圖形的面積，即割補法

在平面直角坐標(biāo)系中，用下面這種方法去求三角形面積有時會變得很簡單，學(xué)生也很容易掌握，即S= "水平寬×鉛垂高

如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)，BC的水平距離即為水平寬，線段AD即為鉛垂高，

∴ " " = "BC的水平距離×線段AD的長。

證明如下：

= "AD×（BD的水平距離+CD的水平距離）

= "AD×BC的水平距離

例1如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為點C（1，4），

交x于點A（3，0），交y軸于點B。

（1）求拋物線和直線AB的解析式。

（2）點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個

動點，連接PA，PB，當(dāng)P點運動到頂點C時，求的鉛垂高CD及 " "。

（3）在拋物線上是否存在一點P，使 " " " " " 。

解：（1）

（2）如圖，當(dāng)P為拋物線的頂點（1，4）時，則點C、D的橫坐標(biāo)相同，即當(dāng)x=1時，yAB=-x+3，∴y=2，∴點D（1，2），∴CD=4-2=2

∴ " " = （3-0）×2

=3

（4）設(shè)P（x，y），則點D（x，-x+3）

∴ PD =

=

線段PD的長即為鉛垂高，AB的水平距離即為水平寬=3-0=3

∴

∵

∴

∴ " " " " " " 或

解得 " " " " "或，

∴

例2. 如圖，反比例函數(shù) " "與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A、B兩點，交x軸于點M，交y軸于點N，求S△AOB。

解：由y=-x+2交x軸于點M，交y軸于點N

M點坐標(biāo)為（2，0），N點坐標(biāo)為（0，2） "∴OM=2，ON=2

由 " " " nbsp; 解得 " " " "或

∴A點坐標(biāo)為（-2，4），B點坐標(biāo)為（4，-2）

點A和點B的水平距離即商品寬=4-（-2）=6

ON的長即為鉛垂高=2

∴

例3如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），

E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）。

（1）求拋物線的解析式;

（2）若D是拋物線第一象限的任意一點，

求四邊形AEDB的面積的最大值。

解：（1）y=-x2+2x+3

（2）設(shè)D（x，-x2+2x+3），直線BE的解析式y(tǒng)AB=-x+3，

∴ " " " " 上的鉛垂高是-x2+3x

∴當(dāng)x= " " " "時

S四邊形AEDB的最大值=

例4. 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù) " " "的圖象相交于A（1，4），B（3，m）兩點。

⑴求一次函數(shù)解析式;⑵求△AOB的面積。

⑵解：⑴由A（1，4），在 " " " 的圖象上，

∴k2=xy=4

B（3，m）在 " " "的圖象上，∴B點坐標(biāo)為

A（1，4）、B（3， ）在一次函數(shù)y=k1x+b的圖象上，可求得一次函數(shù)解析式為：

（2）點O和B的水平寬是3-0=3

設(shè)直線OB的解析式為y=kx（k≠0）

點A直線OB的鉛垂高是

∴

利用上述公式來計算三角形或者可以轉(zhuǎn)化為三角形圖形的面積問題，起到把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，可以收到事半功倍的效果。

對于任何三角形都可以由上述三種類型，S= mn或S= ah或S= bc，在實際計算時只要看看圖形中哪兩個點的橫坐標(biāo)容易求出，則第三個點到這兩個點所組成的直線的鉛垂距離即為鉛垂高。