試論變量的相對(duì)性及其作用

在方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)式中出現(xiàn)的數(shù)量通常有常量、變量、參變量。一個(gè)數(shù)量是常量還是變量，是主變量還是參變量，其地位和性質(zhì)是相對(duì)的，不是絕對(duì)的，是變化的不是靜止的。

我們解決數(shù)學(xué)問題，往往需要用不同的視角，不同的思維方式，不同的數(shù)學(xué)方法對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的，繁瑣的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，抽象的轉(zhuǎn)化為直觀的，讓看似無法解決的問題迎刃而解，從“山窮水復(fù)疑無路”到“柳暗花明又一村”。在這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中，不僅要將數(shù)學(xué)問題，在方程、不等式、函數(shù)等問題之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)還要對(duì)一些數(shù)量的“身份”在常量、變量、參變量之間不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化。此時(shí)把一個(gè)字母當(dāng)作常量，彼時(shí)又把這個(gè)字母當(dāng)作變量；此地把一個(gè)字母看作主變量，彼地又把同一個(gè)字母看作參變量。正是數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化和相應(yīng)的變量在相對(duì)的變化的過程中問題就順利得以解決。

下面，筆者舉例說明變量的相對(duì)轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化中的必然性和作用。

例1.（1）求過圓x2+y2=R2（R＞0）上一點(diǎn)P（a，b）的切線方程.

（2）從圓外一點(diǎn)P（x0，y0）引圓x2+y2=R2（R＞0）的兩切線，切點(diǎn)為A、B，求切點(diǎn)弦AB的方程.

圖1

圖2

解析：（1）如圖 1 P（a，b）為切點(diǎn)，設(shè) M（x，y）為切線上任一點(diǎn).

這里a，b看作常量，x，y是變量，這即是過P點(diǎn)的切線方程.

（2）如圖 2，設(shè)切點(diǎn) A（x1，y1），B（x2，y2）把 x1，y1，x2，y2看作常量

分別為過A，B兩點(diǎn)的切線方程.

∵ 兩切線方程都過 P（x0，y0）點(diǎn).

在等式③、④中，把 x0，y0看作常量，把 x1，x2和y1，y2看作分別處在變量x，y的位置上，那么③④兩式可以看作：直線 x0x+y0y=R2過 A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn).

∴切點(diǎn)弦AB的方程為x0x+y0y=R2.

例 2.若關(guān)于 x的方程 ax+2b=0（a＞0）在區(qū)間（0，3）內(nèi)有一個(gè)根.

圖3

在前面的方程和函數(shù)中，把a(bǔ)，b看作是常量.

在不等式組和①式中把a(bǔ)，b看作變量。

圖4

設(shè)點(diǎn) A（-2，-1），P（a，b）為可行域內(nèi)任一點(diǎn).

問題轉(zhuǎn)化為求直線AP的斜率的最大、最小值.

由圖4可見，當(dāng)點(diǎn)P在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，過A點(diǎn)的直線中，直線AO的斜率KAO最大，與直線3a+2b=0平行的直線AQ的斜率KAQ最小.

例 3.若不等式 2x-1＞m（x2-1）對(duì)于 -2≤m≤2恒成立.求x的取值范圍.

解析：如果將x看作主變量，m看作參變量，那么需要對(duì)m進(jìn)行繁鎖的分類討論，我們換一種思維方式，把m看作主變量，x看作參變量，要2x-1＞m（x2-1）對(duì)于 -2≤m≤2恒成立.

即是關(guān)于m 的一元不等式（x2-1）m-（2x-1）＜0，當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)恒成立，再作一次轉(zhuǎn)化，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

就是關(guān)于 m 的一次函數(shù) f(m)=（x2-1）m-（2x-1）當(dāng) m∈[-2，2]時(shí) f(m)＜0 恒成立.

圖5

本題先對(duì)主變量和參變量的身份進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，避免了對(duì)一元二次不等式的參變量進(jìn)行繁雜的討論，然后將一元不等式的問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間的函數(shù)值問題，問題很快得到了解決。

例 4.設(shè)函數(shù) f(x)=x3-3x2，若過點(diǎn)（2，n）可作三條直線與曲線y=f(x)相切，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

解析：f(x)=x3-3x2f′(x)=3x2-6x.

設(shè)（x0，y0）是一個(gè)切點(diǎn)，則過此點(diǎn)的切線斜率是

若將x0看作常量，則①式表示曲線y=f(x)的一條切線

因?yàn)檫^（2，n）點(diǎn)可以作曲線y=f(x)的三條切線

所以變量x0應(yīng)有三個(gè)不同的值滿足等式②

即方程2x3-9x2+12x+n=0有三個(gè)不同的解

改寫成2x3-9x2+12x=-n

我們?cè)侔褑栴}轉(zhuǎn)化為

函數(shù)g(x)=2x3-9x2+12x與函數(shù)y=-n的圖象有三個(gè)交點(diǎn).為此，我們要求函數(shù)y=g(x)的極值點(diǎn).

g′(x)=6x2-18x+12

=6（x-1）（x-2）

令 g′(x)=0 得 x1=1，x2=2

∵ 在(-∞，1]，[2，+∞)區(qū)間內(nèi) g′(x)＞0

∴g(x)為增函數(shù)

在（1，2）區(qū)間內(nèi) g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù).

∴g(x)在x=1處取極大值g(1)=5

在x=2處取極小值g(2)=4

圖6

如圖6.若要y=g(x)與y=-n的圖有三個(gè)不同的交點(diǎn)

則要4＜-n＜5

即-5＜n＜-4

這就是實(shí)數(shù)n的取值范圍.

本題將切線問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，然后又將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)曲線的交點(diǎn)問題，在這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0在常量和變量之間轉(zhuǎn)換，n也在常量和變量之間轉(zhuǎn)化。

其實(shí)一個(gè)量是常量、變量還是參變量是相對(duì)的，也是統(tǒng)一的。變量在變化的過程中取不同的值，常量可以看成是變量在變化的過程中取同一個(gè)值。不過在觀察、認(rèn)識(shí)、解決問題的過程中為了敘述和處理的方便，我們需要將一些量看成常量、變量或參變量。對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是為了解決問題，讓一些量的身份進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是為了服務(wù)于問題的轉(zhuǎn)化，有利于問題的解決。所以，如果我們善于對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，善于在轉(zhuǎn)化的過程中讓一些量（或一些字母）扮演不同的角色，那么我們分析問題解決問題的能力就會(huì)顯著提高。