數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透

《線段、射線、直線》是新編人教版四年級(jí)和七年級(jí)都涉及到的教學(xué)內(nèi)容。從課程標(biāo)準(zhǔn)來看，本課是圖形與幾何中圖形的知識(shí)體系。教學(xué)目有三個(gè)：一是結(jié)合實(shí)例了解線段、射線、直線的概念，并了解線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系;二是體會(huì)兩點(diǎn)之間線段最短的原理，知道兩點(diǎn)之間的距離;三是合理地體驗(yàn)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。因而在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過程性特點(diǎn)，加深相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)與感悟。本文圍繞該章節(jié)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了習(xí)題設(shè)計(jì)。

用無限的思想幫助概念形成

問題1：直線、射線、線段都能度量嗎？

問題2：過一點(diǎn)O可以畫幾條直線？幾條射線？過兩個(gè)點(diǎn)可以畫幾條直線？

分析：本節(jié)課從線段、射線、直線概念的形成入手，教師應(yīng)該抓住“不可度量”這一關(guān)鍵特質(zhì)，從而用無限思想?yún)^(qū)分線段、射線、直線的區(qū)別。在理解線段、射線、直線的特性時(shí)，經(jīng)過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線，過一點(diǎn)出發(fā)可以畫無數(shù)條射線等，便蘊(yùn)含了無限的思想。

解答：直線和射線不能度量，線段可以度量。過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線與射線，過兩點(diǎn)只能畫一條直線，如圖1。

用分類加強(qiáng)概念區(qū)分

問題3：下面的圖形，哪些是直線？哪些是射線？哪些是線段？把序號(hào)標(biāo)在相應(yīng)的橫線里。 是直線， 是射線， 是線段。

分析：由于線段、射線、直線概念不同，在授課中，為了區(qū)分概念，教師可以利用分類集合思想幫助學(xué)生進(jìn)一步的了解三者之間的區(qū)別與聯(lián)系。

解答：①②是直線，③是射線，④⑤是線段。

問題4：已知A、B、C村在同一條直線上，A村到B村的距離是8千米，C村到B村的距離是3千米，求線段A村到C村的距離。

分析：由于點(diǎn)C可能在線段AB上，也可能在線段AB外，因此需要分類討論。

解答：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖3所示，AC=AB-BC=5千米;當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，如圖4所示， AC=AB+BC=11千米。因此線段A村到C村的距離為5千米或11千米。

用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題

問題5：小明、小華、小剛、小林四個(gè)同學(xué)見面后相互握手，若每人相互握手一次，一共需要握手幾次？

問題6：小明周末到圖書館看書，從小明家到圖書館中途有兩個(gè)客車?？奎c(diǎn)。試問這輛客車有多少種不同的票價(jià)？售票員要準(zhǔn)備多少種車票？

分析：為了降低難度幫助學(xué)生弄清題意，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖，借助圖形的形象思維解答問題。利用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。用線段上的點(diǎn)表示四個(gè)同學(xué)和四個(gè)車輛?？奎c(diǎn)。學(xué)生每握手一次可以看成一條線段，兩站之間的票價(jià)了可以看成一條線段，用線段的條數(shù)輔助學(xué)生確定握手次數(shù)問題和票價(jià)問題。但這兩題的不同點(diǎn)，教師都要注意幫助學(xué)生區(qū)分，握手一次相當(dāng)于兩個(gè)相互之間都握手了，所以線段條數(shù)只算一次。票價(jià)是有方向的線段，條數(shù)要算兩次。

解答：根據(jù)題意畫出圖5中的線段?？梢杂蠥C、AD、AB、CD、CB、DB共六條。因此問題5中四人相互握手次共需要6次。問題6中有6種不同的票價(jià)。但因?yàn)樵谶@條路上往返時(shí)起點(diǎn)和終點(diǎn)正好相反，所以要準(zhǔn)備12種車票。

用類比解決角個(gè)數(shù)問題

問題7：下面圖形中有幾個(gè)角？

分析：這類題目雖說有很直觀的圖形素材，但是在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此類有關(guān)角的個(gè)數(shù)的題目建模沒有用線段建模深刻，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用知識(shí)的類比遷移，把角的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的線段問題。

解答：此題可以先用學(xué)生熟悉的找線段條數(shù)來做個(gè)鋪墊。找找上面線段的條數(shù)，通過類比幫助學(xué)生建模。線段有AB、AC、AD、BC、BD、CD。角有∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD、∠COD。

用方程解決線段比問題

問題8：點(diǎn)D、E在線段AB上，且都在AB中點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)D分AB為2：5兩部分，點(diǎn)E分AB為4：5兩部分，若DE=5厘米，則AB的長(zhǎng)為 ？

分析：此題中只知道線段DE的長(zhǎng)度。教師要引導(dǎo)學(xué)生利用線段的比來建立方程。

解答：由題意，得如圖8所示，設(shè)AB=x，則，由，得，解得x=31.5，即AB=31.5厘米。

用歸納建模找規(guī)律

問題9：如圖9，當(dāng)直線上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)有幾條線段？6個(gè)點(diǎn)呢？N個(gè)點(diǎn)時(shí)有幾條呢？

問題10：如圖10所示，a、b、c與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有3個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面內(nèi)，再畫第4條直線d ，那么這4條直線最多可有幾個(gè)交點(diǎn)？如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫第5條直線，那么這5條直線最多可有幾個(gè)交點(diǎn)？由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)n（n為大于1的整數(shù)）條直線最多可有幾個(gè)交點(diǎn)？（用含n的代數(shù)式表示）。

分析：上面兩個(gè)題目規(guī)律一樣，只是知識(shí)呈現(xiàn)的背景不一樣。對(duì)于這種找規(guī)律的題目，我們可以引導(dǎo)學(xué)生用列表建模的方法，通過數(shù)據(jù)變化的特點(diǎn)比較歸納出它們的規(guī)律。

解答：a2=1，a3=a2+2=1+2，a4=a3+3=1+2+3，a5=a4+4=1+2+3+4……于是，可猜想n個(gè)點(diǎn)/n條直線最多可有線段條數(shù)/交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：an=an-1+（n-1）=1+2+3+4+…+（n-1）=n（n-1）。

有句話說得好，數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于應(yīng)用，而學(xué)生從學(xué)數(shù)學(xué)到用數(shù)學(xué)，其質(zhì)的飛躍應(yīng)該是由知識(shí)的累積過程轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。因此，教師課堂教學(xué)中要著眼長(zhǎng)遠(yuǎn)，在教學(xué)設(shè)計(jì)上，要注意啟發(fā)學(xué)生思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師要關(guān)注的不僅是學(xué)生知識(shí)掌握的多寡，更應(yīng)關(guān)注的是在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和智慧的生成。

（作者單位：廣東省廣州市南沙區(qū)沙尾第二小學(xué)）