“基本圖形”提高幾 何學(xué)習(xí)能力

幾何就是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的、特殊的、為我們所用的幾何規(guī)律。幾何基本圖形法是幾何教學(xué)中常用到的基本方法，是幾何教學(xué)很好的著手點(diǎn)。對幾何基本圖形的識別與應(yīng)用也是學(xué)好幾何的重要環(huán)節(jié)。所以，我在初中幾何教學(xué)中，重視對幾何基本圖形的訓(xùn)練與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對幾何圖形中信息的整合能力，促進(jìn)學(xué)生幾何能力發(fā)展。

歸納“基本形”

課堂上所解決的幾何問題，通常就是基本圖形的重組與整合。如果心中沒有“形”，就看不出圖形的本質(zhì)。為了夯實(shí)學(xué)生的幾何內(nèi)功，教師在平時的教學(xué)過程中，就要進(jìn)行階段性的知識梳理，將零散的知識連成一條“形”的知識主線，逐步積淀知識網(wǎng)絡(luò)；同時，讓學(xué)生心中有“形”可依，有理可循，解題思路更清晰，從而提高學(xué)生的解題能力。

不同圖形易混淆知識點(diǎn)歸類——由此及彼 如，將三角形的“外心”和“內(nèi)心”以“數(shù)、形、理”為主線，將有關(guān)知識點(diǎn)整理在一張表格中，既豐富了三角形與圓內(nèi)在的聯(lián)系，又甄別概念的本質(zhì)，便于學(xué)生理解概念，記憶圖形特征，掌握圖形內(nèi)在的性質(zhì)。

同一圖形多角度知識點(diǎn)歸類—— 由表及里 如圖1，這張圖形貫穿于初一到初三的教學(xué)過程，被稱為經(jīng)典圖形“母子相似型”。隨著知識的深入，學(xué)生要對它進(jìn)行由表及里的研究與學(xué)習(xí)。在初三復(fù)習(xí)階段，教師就有必要以這張圖形為主線，將多方面的知識點(diǎn)整理在一起，使學(xué)生對同一張圖形有深入的理解，在處理同一張圖形中的線段、角度問題時，可以采用不同的方法。

第一，角的數(shù)量關(guān)系：銳角的相等關(guān)系：，

第二，線段的數(shù)量關(guān)系：

①勾股定理：，，

②射影定理：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD

③等積法：AC·BC=AB·CD

第三，三角形的相似關(guān)系：ΔACB∽ΔADC∽ΔCDB

勾勒“基本形”

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來進(jìn)行思考”。在幾何教學(xué)中，單獨(dú)講授一個概念，一張圖形時，學(xué)生很容易理解；稍微復(fù)雜一點(diǎn)的圖形中，有些學(xué)生就看不出基本圖形，也不會用幾何的基本性質(zhì)、定理等知識來解決問題了。所以，在教學(xué)中，筆者重視“基本圖形”的挖掘，訓(xùn)練學(xué)生在千變?nèi)f狀的圖形中勾勒出所求問題的基本圖形，將主陣地遷移到基本圖形中，尋求問題的本質(zhì)。通過觀察、思考、操作等數(shù)學(xué)活動，練就學(xué)生的一雙“慧眼”，提高學(xué)生的幾何識圖能力。

例如，圖2中的∠1與∠2、∠2與∠B、∠3與∠C，各是哪兩條直線被哪一條直線所截的什么角？∠1、∠2分別與哪個角是內(nèi)錯角？

對于剛接觸幾何的初一學(xué)生來說，在“三線八角”的基本圖形中，學(xué)生基本都能找出同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。但在有三角形的圖形中，學(xué)生容易受一些非主要線段的干擾，辨別不出是哪一種角了。所以在判斷∠1與∠2、∠2與∠B、∠3與∠C分別是什么角時，教師讓學(xué)生畫出關(guān)于∠1與∠2的最簡圖形，就勾勒出了“U”型圖；∠2與∠B、∠3與∠C都勾勒出了“F”型圖。在找內(nèi)錯角時，讓學(xué)生用手指在圖形上“描描畫畫”，尋找其中的“Z”型圖，則學(xué)生很輕松地找出∠1與∠EDF，∠2與∠DEC是內(nèi)錯角。（如圖3所示）

經(jīng)過幾節(jié)課的“描”與“畫”，學(xué)生對同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念就較深刻了，對基本圖形的圖感也提高了，并能體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動成功的樂趣，鍛煉克服復(fù)雜圖形的意志，建立自信心。

構(gòu)造“基本形”

從可持續(xù)發(fā)展的角度來看，學(xué)生僅學(xué)會從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形還是不夠的。“授人以魚，不如授人以漁”。教師在傳授知識的同時，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在綜合性問題中構(gòu)造熟悉的基本圖形，教會學(xué)生數(shù)學(xué)方法，讓其有終身受用的“漁”，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性和內(nèi)在“潛力”，加強(qiáng)其創(chuàng)新意識。

例如，在解直角三角形的題目中，我們經(jīng)常會遇到一些非特殊的三角形。這時，就需要構(gòu)造特殊的含30°角的直角三角形和含45°角的等腰直角三角形，這樣，就能化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，化不利條件為有力條件，顯現(xiàn)隱含的線段關(guān)系，釋放基本圖形的正能量。

例.（2014·蘇州）如圖4，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（ ）

A.4km B.km

C.km D.km

分析：如圖（由圖4構(gòu)造后圖5）由已知得出隱含條件，，馬上聯(lián)想到過點(diǎn)A作AD⊥OB于D就可以構(gòu)造Rt△AOD和等腰Rt△ABD，得出BD=AD=2，則AB=AD=.故選C.

本題考查直角三角形的應(yīng)用及方向角問題，難度適中，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是解題的思維切入點(diǎn)，構(gòu)造的想法來源于獨(dú)立的基本圖形以及組合圖形的基本圖形（如圖6），而兩個特殊的直角三角形是優(yōu)化思維的關(guān)鍵點(diǎn)。所以，只有心中有“形”，才能手中握“法”，穩(wěn)操勝券。

在幾何教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的觀察、構(gòu)造、變形，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想方法和思維方式，有助于積累學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識、技能和方法等解決問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展創(chuàng)新意識。

學(xué)生幾何能力的提高不在一朝一夕，需要教師的堅(jiān)持不懈，循序漸進(jìn)。在平時的教學(xué)中，只要注重對幾何圖形本質(zhì)的挖掘與探究，讓學(xué)生在練習(xí)中不斷嘗試歸納與總結(jié)，從而形成一定的挖掘圖形信息的能力，提煉問題的本質(zhì)，掌握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區(qū)藏書中學(xué)）