生活中的數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)

一、項(xiàng)目學(xué)習(xí)源自生活

項(xiàng)目學(xué)習(xí)來源于生活，這是項(xiàng)目學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn)，也是項(xiàng)目學(xué)習(xí)得以發(fā)展的基礎(chǔ)。“項(xiàng)目”既可以來自于學(xué)生自己的生活，也可以來源于社會(huì)生活，其首要目的是通過學(xué)生感興趣的生活現(xiàn)象，把學(xué)生組織到教學(xué)中來，創(chuàng)建豐富而真實(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)場(chǎng)景，使學(xué)生在實(shí)踐的過程中親身體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)而學(xué)會(huì)知識(shí)，并能運(yùn)用知識(shí)，提升能力。

數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)打通了數(shù)學(xué)課程與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活世界之間的界限，使數(shù)學(xué)課程真正地走入學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活中，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、建構(gòu)認(rèn)知，讓學(xué)生真切地感受到數(shù)學(xué)課程就在現(xiàn)實(shí)生活中。項(xiàng)目學(xué)習(xí)為實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的生活化和教學(xué)方式的多樣化提供了新的選擇，也給學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了生動(dòng)的環(huán)境。

有學(xué)者認(rèn)為，項(xiàng)目學(xué)習(xí)的基本特點(diǎn)是：學(xué)習(xí)情境真實(shí)而具體；學(xué)習(xí)內(nèi)容綜合而開放；學(xué)習(xí)途徑多樣而協(xié)同；學(xué)習(xí)手段數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化；學(xué)習(xí)收獲多面而有個(gè)性。本文將就“出租車費(fèi)用研究”的項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例探討以上特點(diǎn)，并從對(duì)案例的分析評(píng)價(jià)中體會(huì)如何開展基于生活的數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)。

二、出租車費(fèi)用研究案例

（一）項(xiàng)目簡(jiǎn)介

本項(xiàng)目開展的是北京市出租車費(fèi)用問題的研究，這個(gè)問題是學(xué)生身邊的真實(shí)數(shù)學(xué)問題，為學(xué)習(xí)分段函數(shù)、分類討論、問題最優(yōu)化等提供了真實(shí)、具體的問題情境。

（二）項(xiàng)目背景

北京是中國的首都，一個(gè)發(fā)達(dá)的大城市，很多人出行時(shí)都需要乘坐出租車，正如在北京工作的業(yè)務(wù)員張誠。身為業(yè)務(wù)員，張誠會(huì)經(jīng)常來往于客戶與公司之間，考慮到出行方便，他會(huì)優(yōu)先選擇乘坐出租車，而出租車的計(jì)價(jià)是根據(jù)行駛的里程數(shù)計(jì)算的，那么乘坐出租車需要的費(fèi)用與行駛的里程有怎樣的關(guān)系呢？

任務(wù)一：北京白天的出租車計(jì)價(jià)計(jì)算。

由于張誠的工作時(shí)間均為白天，所以我們只需考慮在北京白天出行時(shí)的出租車費(fèi)用。北京市出租車近期的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下。

張誠某日的出行計(jì)劃如下。

路程1：搜狐網(wǎng)絡(luò)大廈到北京科技大學(xué)西門。

路程2：北京科技大學(xué)西門到雍和大廈。

路程3：雍和大廈到搜狐網(wǎng)絡(luò)大廈。

問題一：請(qǐng)你使用互聯(lián)網(wǎng)地圖或北京市紙質(zhì)地圖，測(cè)量這三段路程的距離，填寫下表。

問題二：計(jì)算張誠這天的三段路程乘坐出租車分別需要花費(fèi)多少錢，填寫下表。

問題三：若張誠的下一目的地距離出發(fā)地不足3公里，則出租車費(fèi)用需要多少錢？若下一目的地距離出發(fā)地超過3公里，則出租車費(fèi)用需要多少錢？填寫下表。

問題四：張誠希望可以通過行使里程計(jì)算出行所需的出租車費(fèi)用，你能想辦法幫他設(shè)計(jì)一種計(jì)算工具能夠根據(jù)行駛里程計(jì)算出出租車費(fèi)用嗎？

任務(wù)一設(shè)計(jì)說明：

完成任務(wù)的過程中，學(xué)生需要在較簡(jiǎn)單的情境下計(jì)算出租車的收費(fèi)。學(xué)生會(huì)分別解決測(cè)量問題和具體情境中的計(jì)算問題，完成從實(shí)例中提出抽象關(guān)系的任務(wù)，并設(shè)計(jì)一種出租車費(fèi)用的計(jì)算工具。

問題一中，學(xué)生會(huì)根據(jù)個(gè)人情況自由選擇測(cè)量路程的工具，比如利用互聯(lián)網(wǎng)地圖中的測(cè)量工具，直接測(cè)量三段路程的行駛距離，或者利用紙質(zhì)北京市地圖，根據(jù)直尺及地圖比例尺測(cè)量三段路程的行駛距離。在這個(gè)過程中，學(xué)生要分析各種影響車輛行駛的因素，可能會(huì)考慮到測(cè)量最短距離，也可能會(huì)考慮到部分路段擁堵而采取繞路的行駛距離。這個(gè)問題是開放的，學(xué)生只要能夠說清楚自己測(cè)量過程中考慮的因素即可。通過對(duì)問題二的解決，學(xué)生經(jīng)歷了三段路程的費(fèi)用計(jì)算，鞏固了他們對(duì)條件的認(rèn)識(shí)。在問題三中，將里程和收費(fèi)抽象為變量x和y，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生將具體問題抽象為代數(shù)問題，將里程與收費(fèi)之間的關(guān)系抽象為函數(shù)關(guān)系。學(xué)生在回答問題三的過程中就能體會(huì)到，出租車的收費(fèi)需要根據(jù)行駛里程分成兩種情況討論，繼而進(jìn)一步體會(huì)分段函數(shù)的內(nèi)在含義。問題四是對(duì)問題三的整合，也是一個(gè)開放性的問題，學(xué)生可能直接根據(jù)問題三的回答，列出一個(gè)分段函數(shù)，利用分段函數(shù)來計(jì)算某段行駛里程需要的出租車費(fèi)用；學(xué)生也可能會(huì)想到利用計(jì)算機(jī)Excel軟件設(shè)計(jì)一個(gè)表格，并通過其中的函數(shù)功能實(shí)現(xiàn)里程與費(fèi)用的計(jì)算。

任務(wù)二：購買私家車出行花費(fèi)計(jì)算。

考慮到出行成本問題，張誠是否應(yīng)該自己購買一輛私家車出行才更劃算呢？

以購買10萬元的現(xiàn)代伊蘭特（1.6L）為例，平均油耗為8.6L/100km。假設(shè)現(xiàn)代伊蘭特汽車一共可以行駛100000km，使用期限為10年。

問題一：在不考慮汽油費(fèi)的情況下，該私家車的購買費(fèi)用及10年內(nèi)的維護(hù)基本花銷共為多少錢？平均每行駛1公里需要花費(fèi)多少錢？填寫下表。

問題二：以2015年2月3日北京95號(hào)汽油油價(jià)6.15元/L為準(zhǔn)，上述張誠的3段路程需要花費(fèi)多少汽油費(fèi)？填寫下表。

問題三：如果算上買車和維護(hù)汽車等基本花銷，你會(huì)建議張誠購買私家車嗎？為什么？

任務(wù)二設(shè)計(jì)說明：

任務(wù)二在任務(wù)一的基礎(chǔ)上考慮私家車的消費(fèi)情況，將問題自然地推進(jìn)，與實(shí)際生活中對(duì)此類問題的分析過程相一致。

在問題一中設(shè)計(jì)了汽車保養(yǎng)維修費(fèi)用的調(diào)查，學(xué)生可以通過互聯(lián)網(wǎng)查詢相關(guān)材料，也可以到汽車經(jīng)營店去了解相關(guān)信息，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和溝通能力，進(jìn)一步提升學(xué)生解決問題的能力。問題二中又對(duì)上述三段路程的私家車油耗費(fèi)用進(jìn)行了計(jì)算，在這個(gè)過程中加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)單價(jià)、油耗、路程、汽油費(fèi)用之間的運(yùn)算關(guān)系的掌握。問題三是開放性的問題，學(xué)生可以從某個(gè)角度或幾個(gè)角度綜合考慮，并對(duì)張誠是否應(yīng)該買私家車給予建議。此過程中學(xué)生會(huì)經(jīng)歷很復(fù)雜的資料收集和資料分析階段，從綜合性的限制因素中抽象出主要因素，對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以實(shí)現(xiàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題的目標(biāo)。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的建議作出合理的說明，或者對(duì)建議說明給予適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充。

任務(wù)三：在實(shí)際情況下比較出租車與私家車的交通費(fèi)。

因北京城內(nèi)車輛眾多，堵車現(xiàn)象頻發(fā)，假設(shè)全程平均時(shí)速為20km，其中20%的時(shí)間屬于低速行駛（時(shí)速低于12km）。

出租車在低速行駛時(shí)，需要收取低速行駛費(fèi)；而私家車在低速行駛時(shí)，耗油量也明顯增加，平均油耗約為11L/100km。

問題一：在車輛眾多的情況下，張誠如果乘坐出租車出行，那么上述3段路程需要花費(fèi)多少錢？填寫下表。

問題二：在車輛眾多的情況下，張誠如果駕駛私家車出行，那么上述3段路程需要花費(fèi)多少錢？填寫下表。

問題三：在車輛眾多的情況下，相同行駛里程與出租車交通費(fèi)和私家車交通費(fèi)之間的關(guān)系如何？你能寫出函數(shù)關(guān)系式嗎？

問題四：在車輛眾多的情況下，請(qǐng)你調(diào)整對(duì)張誠是否購買私家車的建議，并說明理由。

任務(wù)三設(shè)計(jì)說明：

任務(wù)三在較為復(fù)雜的情境下研究出租車及私家車的出行費(fèi)用問題，需要考慮在之前費(fèi)用的基礎(chǔ)上加入低速行駛時(shí)造成的消耗。

問題一和問題二中涉及到低速行駛時(shí)間的計(jì)算，并將正常行駛和低速行駛的時(shí)間轉(zhuǎn)化為行駛里程進(jìn)而計(jì)算出租車的收費(fèi)及私家車的交通費(fèi)用。在這個(gè)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)條件加以限定，例如，假設(shè)前3km均在正常速度下行駛，可以如何解決問題？再如，前3km均為低速行駛，可以如何解決問題？繼而將問題簡(jiǎn)化，為分析復(fù)雜問題提供思路。教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生在較為復(fù)雜的情境下進(jìn)行信息整理和分析的能力，并給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和指導(dǎo)。在這個(gè)任務(wù)中，處理復(fù)雜的信息和在信息中尋找解決問題的方法的過程比得出計(jì)算結(jié)果更為重要，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分析問題、解決問題的能力。問題三是在問題一、二的基礎(chǔ)上，將計(jì)算思路用抽象的符號(hào)語言進(jìn)行整理和表達(dá)，這里仍然要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分類討論的數(shù)學(xué)思想。問題四是基于上述分析之后為培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)、概括能力而設(shè)置的問題，學(xué)生的回答可以是開放性的，不必局限于問題一、二的費(fèi)用比較上。如果出于環(huán)保的考慮，學(xué)生也會(huì)提出希望張誠乘坐公共汽車和地鐵出行的建議，這些都是值得鼓勵(lì)的。

從本項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例可見，生活中的許多實(shí)際問題都與課程內(nèi)容有著內(nèi)在的聯(lián)系。在解決生活實(shí)際問題的過程中，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)和掌握相關(guān)知識(shí)，還要培養(yǎng)解決問題的能力，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的情感態(tài)度過程，學(xué)習(xí)活動(dòng)因此自然而發(fā)生。

“出租車費(fèi)用研究”的項(xiàng)目學(xué)習(xí)案例體現(xiàn)出項(xiàng)目學(xué)習(xí)的如下基本特點(diǎn)。

首先，項(xiàng)目學(xué)習(xí)著眼于解決生活中的實(shí)際問題。本項(xiàng)目起源于生活的實(shí)際問題，整個(gè)項(xiàng)目圍繞著實(shí)際問題展開建模和求解過程。在比較出租車與私家車出行的交通費(fèi)用過程中，涉及到非?，F(xiàn)實(shí)的問題，如怎樣測(cè)量?jī)傻刂g的距離、如何根據(jù)里程數(shù)計(jì)算乘坐出租車的費(fèi)用、如何計(jì)算購買私家車的基本費(fèi)用、如何在道路擁堵的情況下考慮交通費(fèi)用等。這些問題都非?，F(xiàn)實(shí)，又和學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容緊密相關(guān)。

其次，項(xiàng)目學(xué)習(xí)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是綜合性的。在幾個(gè)任務(wù)中涉及到了測(cè)量、分類討論、分段函數(shù)、對(duì)數(shù)據(jù)的分析和處理等內(nèi)容，并在過程中多次利用字母和表格來表示和整理數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)之間存在的內(nèi)在聯(lián)系清晰可見，將數(shù)學(xué)的符號(hào)語言和圖示語言滲透在問題的分析和解決過程中，使學(xué)生在聯(lián)系與綜合中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解。

再次，項(xiàng)目學(xué)習(xí)的手段數(shù)字化、網(wǎng)絡(luò)化。在項(xiàng)目實(shí)施初期，就需要學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)地圖或紙質(zhì)北京地圖測(cè)量距離。不論學(xué)生選用哪種手段測(cè)量，都一定會(huì)對(duì)比例尺、信息工具的使用有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)。在對(duì)道路擁堵情況的行駛時(shí)間分析時(shí)，學(xué)生也可以利用互聯(lián)網(wǎng)信息查閱資料。這種利用信息技術(shù)的學(xué)習(xí)方式為項(xiàng)目促進(jìn)人的發(fā)展提供了進(jìn)一步的保障。

最后，項(xiàng)目學(xué)習(xí)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了開放的思考空間。本項(xiàng)目中的任務(wù)二和任務(wù)三，都對(duì)出租車和私家車的交通費(fèi)進(jìn)行了分析，并給學(xué)生拋出一個(gè)比較開放的最優(yōu)化的問題。這個(gè)最優(yōu)化解決方案的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)并不唯一，這也體現(xiàn)了本項(xiàng)目的開放性特點(diǎn)。學(xué)生可以從某一方面考慮如何提建議，也可以綜合多方面考慮。這給學(xué)生的思考提供了更為充裕和自由的空間，有利于學(xué)生的創(chuàng)造性和個(gè)性的發(fā)展。