構(gòu)造法淺談

“構(gòu)造”是數(shù)學(xué)家們常用的思想方法，譬如當(dāng)一個(gè)實(shí)際問題需要數(shù)學(xué)家?guī)椭鉀Q時(shí)，他將首先通過抽象分析，去構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并希望通過數(shù)學(xué)模型的處理，對(duì)這項(xiàng)實(shí)際問題的解決有所裨益。其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“構(gòu)造”同樣是一種重要的思想方法。

所謂構(gòu)造法，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想，經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得以解決。

構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思想。因?yàn)榻鉀Q問題同獲得知識(shí)一樣，首先得感知它，要通過仔細(xì)地觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)問題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。

構(gòu)造法體現(xiàn)了類比的思想，為了找出解題的途徑很自然地要聯(lián)系已有知識(shí)中與之類似的或與之相關(guān)的問題，從而為構(gòu)造模型提供了參照對(duì)象。

構(gòu)造法體現(xiàn)了化歸的思想。把一個(gè)個(gè)零散的發(fā)現(xiàn)由表及里，由淺入深地集中和聯(lián)系起來，通過恰當(dāng)?shù)姆椒右蕴幚砘瘹w為已有的認(rèn)識(shí)，就自然形成了構(gòu)造模型的手段。

構(gòu)造法在解題過程中的思維模式可用下圖表示：

構(gòu)造法解題的目的是：簡化運(yùn)算量，探索最佳解，發(fā)揮創(chuàng)造性，加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高分析問題和解決問題的能力。

下面，通過一些常見類型的題例，對(duì)構(gòu)造法作進(jìn)一步的更為細(xì)致的分類介紹。

1、構(gòu)造函數(shù)

有些問題可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數(shù)，這時(shí)就可以構(gòu)造一個(gè)或幾個(gè)函數(shù)，從而能利用函數(shù)的性質(zhì)使問題得解。構(gòu)造數(shù)列亦為構(gòu)造函數(shù)。其實(shí)，所遇到的大量的極值問題，都是構(gòu)造二次函數(shù)、三角函數(shù)去求解。

例1，平面上有n條直線，例2，兩兩相交，例3，但無三線共點(diǎn)，例4，求這條m直線能把平面分成幾部分？

分析：顯然結(jié)論與有關(guān)，因此，考慮設(shè)平面被分為部分?jǐn)?shù)的n的函數(shù)f（n）。容易想到第n條直線畫出后是在前n-1條直線所分平面的部分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，又增加了部分，因而有f（n）=f（n-1）+1又得出f（1）=2，若f（0）=1（即不畫直線時(shí)為一部分），有f（1）=f（0）+1，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，……，f（n-1）=f（n-2+（n-1），f（n）=f（n-1）+n，可得f（n）=+1，問題得到解決。

有些問題中雖然也出現(xiàn)函數(shù)式，但對(duì)解題的作用不夠明顯，因此也可以重新構(gòu)造函數(shù)。

對(duì)某些問題，若能充分利用題中潛在的變化關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)模型，?？杀芊本秃?，打破常規(guī)，出奇制勝。

2、構(gòu)造法在幾何上的應(yīng)用

（1）構(gòu)造圖形

在解立體幾何習(xí)題時(shí)，在第一步就經(jīng)常產(chǎn)生困難。為了給出相應(yīng)的圖形，必須具有很好的空間想象力。如果涉及的是我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降膸缀误w（立方體、球體、圓柱、平行六面體）等，這些對(duì)象是容易想象的，描繪它們也是簡單的，但有些圖形要描繪則是相當(dāng)困難的，例4 兩直線在同一平面內(nèi)的射影有哪幾種情況？

分析：構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，利用這一幾何模型來考慮圖形的各種可能性及判斷命題的真假性是很方便的。

解：兩直線在同一平面內(nèi)的射影可能為兩相交直線、兩平行直線、一直線、一直線與直線外一點(diǎn)、兩點(diǎn)共五種情況。

（2）幾何模型

有些問題，若能挖掘或賦予其幾何背景，巧妙地構(gòu)造幾何模型，可獲簡捷，直觀的證明。

3、構(gòu)造復(fù)數(shù)模型

有些問題在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解決很困難，可構(gòu)造復(fù)數(shù)模型，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解決問題。

例3、已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求證：

（1）b≠0時(shí)，tg3A=；

（2）（1+2cos2A）2=a2+b2

證明：構(gòu)造Z=cosA+isinA，則zz=1，且

b+ai=z+z3+z5=z3（z2+1+z2）=（cos3A+isin3A）（1+2cos2A）.

當(dāng)時(shí)（1+2cos2A）>0，b+ai的輻角為3A，所以tg3A=；

當(dāng)（1+2cos2A）<0時(shí)，b+ai=[-（1+2cos2A）][cos（ +3A）+isin（ +3A）]，所以b+ai的輻角為（ +3A），tg3A=tg（ +3A）=，|b+ai|=|1+2cos2A|=，所以（1+2cos2A）2=a2+b2

4、構(gòu)造方程

方程是數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分重要的內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。很多數(shù)學(xué)問題粗看起來無從下手或用一般的方法去解決很困難，而通過用方程的知識(shí)來解決卻顯得十分簡捷，可通過構(gòu)造方程模型證題。

例4、設(shè)AM是中BC邊上的中線，任作一直線分別交AB，AC，AM于P，Q，N.求證：， ，成等差數(shù)列.

分析：利用關(guān)系S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC，構(gòu)造方程模型：

由三角形的面積關(guān)系及MB=MC.易得：

則是三元齊次方程組

的非零解，故其系數(shù)行列式等于零.即

展開整理得：bc（2pqm-cqn-bpn）=0，所以+=，即+=.因此， ， 成等差數(shù)列。

5、構(gòu)造組合模型

當(dāng)直接運(yùn)用題設(shè)條件難以證題時(shí)，不妨把所考慮的問題置于特定的背景下，構(gòu)造組合模型，往往可得到簡潔、巧妙的證明。

例5、求證：

分析：此題是范得蒙等式的特例，若從組合數(shù)公式或數(shù)學(xué)歸納法入手，思維必然受挫，分析等式左邊的一般項(xiàng)CC，可構(gòu)造如下的組合模型：有甲、乙兩只袋，甲袋中有100個(gè)紅球，乙袋中有200個(gè)白球，從甲、乙兩袋中共取出50個(gè)球，其取法總數(shù)為，而這件事情就相當(dāng)于將這兩種球放在一只袋中，從300個(gè)球里任取50個(gè)的取法總數(shù)C，所以原等式成立。

例6.從1，2，3，，14按由小到大的順序取出a1a2a3，使同時(shí)滿足a2-a1≥3，a3-a2≥3，試證符合上述要求的不同取法有C種。

分析：本題不妨令x=a1-1，y=a2-a1-3，z=a3-a2-3，u=14-a3，則問題等價(jià)于求方程x+y+z+u=7的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)。若視7為七個(gè)相同的小球，x，y，z，u看作四個(gè)不同的不盒，由此構(gòu)造組合模型，于是上問題即為求七個(gè)小球投入4個(gè)小盒的投法種數(shù)，顯然是C=C。

（作者單位：襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）