平面向量綜合卷

一、填空題

1.若向量a=（1，1），b=（-1，1），c=（4，2），則c=（用a，b表示）.

2.某人先位移向量a：“向東走3km”，接著再位移向量b：“向北走3km”，則a+b表示.

3.設(shè)a、b是兩個不共線向量，AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b，若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值為.

4.已知|a|=2|b|，|b|≠0且關(guān)于x的方程x2+|a|x-a·b=0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是.

5.已知e1、e2是夾角為2π3的兩個單位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，則實數(shù)k=.

6.平面上有四個互異點A、B、C、D，已知（DB+DC-2DA）·（AB-AC）=0，則△ABC的形狀是 三角形.

7.已知a=（-12，32），b=（1，3），則|a+tb|（t∈R）的最小值等于.

8.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有（填序號）.

①（a·b）c-（c·a）b=0；

②|a|-|b|<|a-b|；

③（b·c）a-（a·c）b不與c垂直；

④（3a+4b）·（3a-4b）=9|a|2-16|b|2.

9.在正三角形ABC中，D是BC上的點.若AB=3，BD=1，則AB·AD=.

10.在平行四邊行ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點M為AB的中點，

點P在CD上運動（包括端點），則AP·DM的取值范圍是 .

11.已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為120°，|a|=1，|b|=2，|c|=3，則向量a+b+c與向量a的夾角是.

12.設(shè)e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，已知OM=e1，ON=e2，OP=x·OM+y·ON（x，y為實數(shù)）.若△PMN是以M為直角頂點的直角三角形，則x-y取值的集合為 .

13.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點）滑動，則OB·OC的最大值是.

14.在△ABC中，AB=1，AC=2，O為△ABC外接圓的圓心，則AO·BC=.

二、解答題

15.已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角分別為A，B，C.

（1）設(shè)BC·CA=CA·AB，求證：△ABC是等腰三角形；

（2）設(shè)向量s=（2sinC，-3），t=（cos2C，2cos2C2-1），且s∥t，若sinA=13，求sin（π3-B）的值.

16.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）.

（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；

（2）設(shè)實數(shù)t滿足（AB-tOC）·OC=0，求t的值.

17.設(shè)向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.

（1）若a與b-2c垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|b+c|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求證：a∥b.

18.已知平面上三點A、B、C，向量BC=（2-k，3），AC=（2，4）.

（1）若三點A、B、C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)k應(yīng)滿足的條件；

（2）若△ABC為直角三角形，求k的值.

19.已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，23cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=a·b+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對稱，其中ω、λ為常數(shù)，且ω∈（12，1）.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點（π4，0），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3π5]上的取值范圍.

20.已知兩個不共線的向量a，b的夾角為θ，且|a|=3，|b|=1，x為正實數(shù).

（1）若a+2b與a-4b垂直，求tanθ；

（2）若θ=π6，求|xa-b|的最小值及對應(yīng)的x的值，并指出向量a與xa-b的位置關(guān)系；

（3）若θ為銳角，對于正實數(shù)m，關(guān)于x的方程|xa-b|=|ma|有兩個不同的正實數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍.

參考答案

1. 3a-b

2. 向東北走32km

3. -1

4. 2π3

5. 54

6. 等腰

7. 32

8. ②④

9. 152

10. [-12，12]

11. 150°

12. {1}

13. 2

14. 32

15.（1）因為BC·CA=CA·AB，所以CA·（BC-AB）=0，

又AB+BC+CA=0，所以CA=-（AB+BC），所以-（AB+BC）·（BC-AB）=0，所以AB2-BC2=0，

所以|AB|2=|BC|2，即|AB|=|BC|，故△ABC為等腰三角形.

（2）∵s∥t，∴2sinC（2cos2C2-1）=-3cos2C，

∴sin2C=-3cos2C，即tan2C=-3，

∵C為銳角，∴2C∈（π2，π），∴2C=2π3，

∴C=π3.

∴A=2π3-B，∴sin（π3-B）=sin[（2π3-B）-π3]=sin（A-π3），

又sinA=13，且A為銳角，∴cosA=223，

∴sin（π3-B）=sin（A-π3）

=sinAcosπ3-cosAsinπ3=1-266.

16.（1）由題設(shè)知AB=（3，5），AC=（-1，1），

則AB+AC=（2，6），AB-AC=（4，4）.

所以|AB+AC|=210，|AB-AC|=42.

故所求的兩條對角線長分別為42，210.

（2）由題設(shè)知OC=（-2，-1），AB-tOC=（3+2t，5+t）.由（AB-tOC）·OC=0，

得（3+2t，5+t）·（-2，-1）=0，

從而5t=-11，所以t=-115.

17.（1）b-2c=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

∵a與b-2c垂直，

∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，

∴sin（α+β）=2cos（α+β），即tan（α+β）=2.

（2）b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），

|b+c|=（sinβ+cosβ）2+16（cosβ-sinβ）2

=17-15sin2β≤17+15=42，

則|b+c|的最大值為42.

（3）證明：由tanαtanβ=16

得sinαsinβ=16cosαcosβ，

即4cosα4cosβ-sinαsinβ=0，所以a∥b.

18.（1）由三點A、B、C不能構(gòu)成三角形，得A、B、C在同一條直線上，即向量BC與AC平行，∵BC∥AC，∴4（2-k）-2×3=0，解得k=12.

（2）∵BC=（2-k，3），∴CB=（k-2，-3），

∴AB=AC+CB=（k，1）∵△ABC為直角三角形，

則當(dāng)∠BAC是直角時，AB⊥AC，即AB·AC=0，

∴2k+4=0，解得k=-2；

當(dāng)∠ABC是直角時，AB⊥BC，即AB·BC=0，

∴k2-2k-3=0，解得k=3或k=-1；

當(dāng)∠ACB是直角時，AC⊥BC，即AC·BC=0，

∴16-2k=0，解得k=8.

綜上得k∈{-2，-1，3，8}.

19.（1）f（x）=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+3sin2ωx+λ

=2sin（2ωx-π6）+λ.

由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin（2ωπ-π6）=±1，

所以2ωπ-π6=kπ+π2（k∈Z），即ω=k2+13（k∈Z）.又ω∈（12，1），k∈Z，

所以k=1，故ω=56，所以f（x）的最小正周期是6π5.

（2）由（1）知f（x）=2sin（53x-π6）+λ.

由y=f（x）的圖象過點（π4，0），得f（π4）=0，

即λ=-2sin（56×π2-π6）=-2sinπ4=-2，即λ=-2，

故f（x）=2sin（53x-π6）-2.

由0≤x≤3π5有-π6≤53x-π6≤5π6，

所以-12≤sin（53x-π6）≤1，

得-1-2≤2sin（53x-π6）-2≤2-2，

故函數(shù)f（x）在[0，3π5]上的取值范圍為[-1-2，2-2].

20.解：（1）由題意得，（a+2b）（a-4b）=0，即a2-2a·b-8b2=0，

得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=16，

又θ∈（0，π），故θ∈（0，π2），

因此，sinθ=1-cos2θ=1-（16）2=356，

tanθ=sinθcosθ=35.

（2）|xa-b|=（xa-b）2

=x2a2-2xa·b+b2

=9x2-2x×3×1×cosπ6+1

=9（x-36）2+14，

故當(dāng)x=36時，|xa-b|取得最小值為12，

此時，a·（xa-b）=xa2-a·b=36×9-3×1×cosπ6=0，

故向量a與xa-b垂直.

（3）對方程|xa-b|=|ma|兩邊平方整理，

得9x2-（6cosθ）x+1-9m2=0，①

設(shè)方程①的兩個不同正實數(shù)解為x1，x2，

則由題意得，

Δ=（6cosθ）2-4×9×（1-9m2）>0，x1+x2=6cosθ9>0，x1x2=1-9m29>0.

解之得，13sinθ

若x=m，則方程①可以化為-（6cosθ）x+1=0，

則x=16cosθ，即m=16cosθ.

而x≠m，故得m≠16cosθ.

令13sinθ<16cosθ<13，

得sin2θ<1，cosθ>12，得0°<θ<60°，且θ≠45°，

當(dāng)0°<θ<60°，且θ≠45°時，

m的取值范圍為{m|13sinθ

當(dāng)60°≤θ<90°，或θ=45°時，

m的取值范圍為{m|13sinθ

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）