三角綜合卷

一、填空題

1.sin25π6+cos25π3+tan（-25π4）=.

2.已知函數(shù)y=cosx與y=sin（2x+φ）（0≤φ<π），它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為π3的交點(diǎn)，則φ的值是.

3.設(shè)α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，則α，β滿足的關(guān)系式為.

4.函數(shù)f（x）=（1+3tanx）cosx的最小正周期為.

5.已知函數(shù)f（x）=3sinωx+cosωx（ω>0），y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

6.若函數(shù)f（x）=x2+2xtanθ-1在[-1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則θ的取值范圍.

7.已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ），g（x）=3cos（ωx+φ），若對任意x∈R都有f（π3+x）=f（π3-x），則g（π3）=.

8.已知f（x）=cos（πx），x≤0f（x-1）+1，x>0，則f（43）+f（-43）的值是.

9.若函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，（其中ω>0，|φ|<π2）的最小正周期是π，且f（0）=3，則φ=.

10.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若（3b-c）cosA=acosC，則cosA=.

11.在△ABC中，AB=2，AC=1，D為BC的中點(diǎn)，則AD·BC=.

12.已知函數(shù)y=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=5π3對稱，則函數(shù)y=asinx+cosx的圖象關(guān)于直線對稱.

13.存在x∈[0，2π），使（4-m）sin（x-π3）-（2m-3）=0成立，則m的取值范圍是.

14.關(guān)于x的不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是.

二、解答題

15.已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（5，25）

（1）求sinθ和cosθ的值；

（2）若sin（θ-φ）=1010，0<φ<π2，求cosφ的值.

16.函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π2）在它的某一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間是[5π12，11π12].

（1）求f（x）的解析式；

（2）將y=f（x）的圖象先向右平移π6個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍（縱坐標(biāo)不變），所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），求函數(shù)g（x）在[π8，3π8]上的最大值和最小值.

17.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（1）求A的大?。?/p>

（2）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀.

18.已知函數(shù)f（x）=cos2（x+π12），g（x）=1+12sin2x.

（1）設(shè)x=x0是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x0）的值.

（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

19.已知函數(shù)f（x）=sin（3x+π4）.

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若α是第二象限角，f（α3）=45cos（α+π4）cos2α，求cosα-sinα的值.

20.已知函數(shù)f（x）=sin2x+23sinxcosx+sin（x+π4）sin（x-π4），x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期和值域；

（2）若x=x0（0≤x0≤π2）為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x0的值.

參考答案

一、填空題

1. 0

2. π6

3. 2α-β=π2

4. 2π

5. [kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）

6. （kπ-π2，kπ-π3]∪[kπ+π4，kπ+π2）（k∈Z）

7. 0

8. 1

9. π3

10. 33

11. -32

12. x=kπ-π6（k∈Z）

13. [-1，73]

14. a<-2-6或a>2

二、解答題

15.解：（1）sinθ=255，cosθ=55.

（2）∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴-π2<θ-φ<π2，

則cos（θ-φ）=1-sin2（θ-φ）=31010，

∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]

=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=22.

16.解：（1）依題意得：T2=11π12-5π12=π2，∴2πω=π，∴ω=2，

又sin（2×5π12+φ）=1，∴φ=-π3

∴f（x）的解析式為f（x）=sin（2x-π3）.

（2）將y=f（x）的圖象先向右平移π6個(gè)單位，得sin（2x-2π3），

∴g（x）=sin（4x-2π3），而x∈[π8，3π8]，

∴-π6≤4x-2π3≤5π6，

∴函數(shù)g（x）在[π8，3π8]上的最大值為1，最小值為-12.

17.解：（1）由已知，根據(jù)正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，

即a2=b2+c2+bc，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

故cosA=-12，A=120°.

（2）由（1）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.

又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=12，

因?yàn)?°

故B=C，

所以△ABC是等腰鈍角三角形.

18.解：（1）依題意得：f（x）=12[1+cos（2x+π6）].

∵x=x0是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，所以2x0+π6=kπ，

即2x0=kπ-π6（k∈Z），

∴g（x0）=1+12sin2x0=1+12sin（kπ-π6）.

1°當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g（x0）=1+12sin（-π6）=1-14=34；

2°當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g（x0）=1+12sinπ6=1+14=54.

（2）h（x）=f（x）+g（x）=12[1+cos（2x+π6）]+1+12sin2x=12sin（2x+π3）+32，

當(dāng)2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，即kπ-5π12≤x≤kπ+π12（k∈Z）時(shí)，

函數(shù)h（x）=12sin（2x+π3）+32是增函數(shù)，

故函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-5π12，kπ+π12]（k∈Z）.

19.解：（1）由2kπ-π2≤3x+π4≤2kπ+π2（k∈Z），得23kπ-π4≤x≤23kπ+π12（k∈Z），

所以，f（x）=sin（3x+π4）的單調(diào)遞增區(qū)間為

[23kπ-π4，23kπ+π12]（k∈Z），

（2）由f（α3）=45cos（α+π4）cos2α，

得sin（α+π4）=45cos（α+π4）cos2α.

因?yàn)閏os2α=sin（2α+π2）=sin[2（α+π4）]

=2sin（α+π4）cos（α+π4），

所以sin（α+π4）=85sin（α+π4）cos2（α+π4），

又α是第二象限角，即2kπ+π2<α<2kπ+π（k∈Z），

得2kπ+3π4<α+π4<2kπ+5π4（k∈Z），

所以sin（α+π4）=0或cos2（α+π4）=58.

①由sin（α+π4）=0得α+π4=2kπ+π（k∈Z），即α=2kπ+3π4（k∈Z），

所以cosα-sinα=-22-22=-2.

②由cos2（α+π4）=58得cos（α+π4）=-522，

所以cosα-sinα=2cos（x+π4）=2·（-522）=-52.

綜上，cosα-sinα=-2或cosα-sinα=-52.

20.解：（1）依題意得：

f（x）=sin2x+3sin2x+12（sin2x-cos2x）

=1-cos2x2+3sin2x-12cos2x

=3sin2x-cos2x+12=2sin（2x-π6）+12，

∴f（x）周期π，值域?yàn)閇-32，52].

（2）由f（x0）=2sin（2x0-π6）+12=0，

得sin（2x0-π6）=-14<0，

又∵0≤x0≤π2得-π6≤2x0-π6≤5π6，

故∴cos（2x0-π6）=154，

此時(shí)，sin2x0=sin[（2x0-π6）+π6]

=sin（2x0-π6）cosπ6+cos（2x0-π6）sinπ6

=15-38.

（作者：王小青，江蘇省如皋中學(xué)）