《三角函數》中的易錯題剖析

三角函數是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的熱點之一.由于三角函數的知識具有：（1）公式繁多；（2）性質獨特（定義域、有界性、單調性、周期性等）；（3）變化靈活；（4）滲透性強等特點，使解決三角函數問題較其他的代數問題更趨于隱蔽，解題的過程有更多陷阱，解題的思維更需慎密.因此，解題時稍有不慎，便往往會出現增解、漏解，甚至錯解的現象.本文結合具體實例剖析解決三角函數問題時常見的錯誤情況，供同學們參考.

易錯點一：忽視三角函數的定義域而致錯

例1 判斷函數f（x）=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.

錯解：∵f（x）=2sinx2（sinx2+cosx2）2cosx2（sinx2+cosx2）=tanx2，∴f（-x）=tan（-x2）=-tanx2=-f（x），

∴f（x）是奇函數.

錯因剖析：研究函數，首先考慮函數的“定義域”，即要使該函數有意義，則分母必須不為0，從而1+sinx+cosx=1+2sin（x+π4）≠0，即sin（x+π4）≠-22，得：π4+x≠2kπ+54π且π4+x≠2kπ+74π（k∈Z），故x≠2kπ+π且x≠2kπ+32π（k∈Z），而函數f（x）=tanx2的定義域卻是{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，顯然這兩個函數不是同一個函數.究其原因，當約去因式sinx2+cosx2時，使原函數不關于原點對稱的定義域擴大為關于原點對稱的定義域.因此，原函數應是非奇非偶函數.

易錯點二：忽視三角函數的有界性而致錯

例2 若cosαcosβ=12，求sinαsinβ的取值范圍.

錯解：設sinαsinβ=t，則cosαcosβ+sinαsinβ=t+12，即cos（α-β）=t+12，又因為cos（α-β）∈[-1，1]，所以有-1≤t+12≤1，解得：-32≤t≤12，

所以sinαsinβ的取值范圍為[-32，12].

錯因剖析：若cosαcosβ+sinαsinβ=t+12，則也有cosαcosβ-sinαsinβ=12-t，

所以應該得到cos（α-β）=t+12，cos（α+β）=12-t都成立.由cos（α-β）∈[-1，1]，

cos（α+β）∈[-1，1]，可以得到-12≤t≤12，即sinαsinβ的取值范圍為[-12，12].

易錯點三：忽視三角函數的單調性而致錯

例3 已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.

錯解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.

錯因剖析：由于正弦值為22的角在（0，π）上不唯一，才造成兩解.正確的解法是取余弦，因為余弦函數在（0，π）上是單調遞減的，這樣才不會擴大解集.∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函數在（0，π）上是單調遞減，所以α+β=3π4.

易錯點四：忽視條件等式對三角函數的角或值的制約而致錯

例4 設θ是第二象限角，且cosθ2-sinθ2=13，求cosθ2+sinθ2的值.

錯解：∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2<θ<2kπ+π（k∈Z）∴kπ+π4<θ2

錯因剖析1：有些同學認為θ是第二象限角，則θ2必為第一象限角，從而未討論θ2在第三象限時的情況.又cosθ2-sinθ2=13>0，∴cosθ2>sinθ2，∴2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），

∴cosθ2<0，sinθ2<0，將cosθ2-sinθ2=13平方得：1-2sinθ2cosθ2=19，

∴2sinθ2cosθ2=89，

∴（cosθ2+sinθ2）2=1+2sinθ2cosθ2=179，∴cosθ2+sinθ2=-173.

錯因剖析2：如果在前面誤認為θ2只能為第一象限角，則就會得出cosθ2+sinθ2=173的錯誤，如果得2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），而不從三角函數等式中推出隱含條件cosθ2<0，sinθ2<0，則會導致產生cosθ2+sinθ2=±173的錯誤.

易錯點五：忽視三角形中邊角的關系而致錯

例5 在△ABC中，三內角A，B，C成等差數列，且sinC=513，求cosA的值.

錯解：由A，B，C成等差數列及三角形內角和定理知：2B=A+C，A+B+C=π，

∴B=π3，A=23π-C，又∵sinC=513，

∴cosC=±1-sin2C=±1213，

∵cosA=cos（23π-C）=cos23πcosC+sin23πsinC=-12cosC+32sinC，

∴當cosC=1213時，cosA=53-1226；

當cosC=-1213時，cosA=53+1226.

錯因剖析：cosC能否正負都取呢？因為A，B，C是三角形中的三個內角，故A+B+C=π.因此，這三個角之間有著相互制約的關系，應對給出的固定的正弦值的角C的范圍加以挖掘，從而決定cosC的正、負號的取舍.∵0

評析：與三角形有關的三角問題，必須注意三角形中的邊角等量關系、邊角的不等關系及角的取值范圍等隱含條件，避免出現增解.

易錯點六：忽視換元前后變量范圍的區(qū)別而致錯

例6 求函數y=sinxcosx+sinx-cosx（x∈R）的值域.

錯解：令sinx-cosx=t，則由（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=t2，得：sinxcosx=1-t22，所以y=1-t22+t=-12（t-1）2+1，因為t∈R，所以y∈（-∞，1].

錯因剖析：上述錯解在于忽略了t的正確范圍.因sinx-cosx=t=2sin（x-π4）∈[-2，2]，

所以當t=-2時，ymin=-2-12；當t=1時，ymax=1.

故函數y=sinxcosx+sinx-cosx的值域為[-2-12，1].

易錯點七：忽視由給定三角函數值縮小相關角的范圍而致錯

例7 已知tan（α-β）=12，tanβ=-17，且α，β∈（0，π），求2α-β的值.

錯解：tan2（α-β）=2tan（α-β）1-tan2（α-β）=11-14=43，又2α-β=2（α-β）+β，所以

tan（2α-β）=tan2（α-β）+tanβ1-tan2（α-β）tanβ=43-171+43×17=1.由α，β∈（0，π），得2α-β∈（-π，2π），

所以2α-β=-34π或π4或5π4.

錯因剖析：這是同學們解答時常見的典型錯誤，實際上，由tanβ=-17>-33，可得β∈（56π，π），又由tanα=tan[（α-β）+β]=13<33，可得α∈（0，π6），忽視了這個隱含條件，才會出現上面解答中2α-β的過大范圍.只有通過題給條件，把角的范圍縮小到盡可能小的范圍，才能使角的功能突出，從而避免錯誤.由α∈（0，π6）且β∈（56π，π），得2α-β∈（-π，-π2），故2α-β=-34π.

易錯點八：忽視變形式子對變量范圍的制約而致錯

例8 已知sin2x和sinx分別是sinθ和cosθ的等差中項與等比中項，求cos2x的值.

錯解：由題設得sin2x=sinθ+cosθ2（1）sin2x=sinθcosθ（2），

將（1）平方，得：sin22x=1+2sinθcosθ4

=1+2sin2x4，

∴4sin22x=1+2sin2x4（1-cos22x）=1+（1-cos2x），

即4cos22x-cos2x-2=0，解得cos2x=1+338或cos2x=1-338.

錯因剖析：從計算過程來看感覺推理合理，條理清晰，結論也正確，因為-1<1±338<1，容易讓人誤認為兩個結論都正確.實際上在題設（1）和（2）中，都隱含了角θ和x的范圍.

∵（1），（2）可寫為sin2x=22sin（π4+θ）sin2x=12sin2θ，

∴sin2θ=2sin2x≥0，

∴2kπ≤2θ≤2kπ+π（k∈Z），即kπ≤θ≤kπ+π2（k∈Z），故kπ+π4≤θ+π4≤kπ+34π（k∈Z），由正弦函數的圖象可得22≤|sin（θ+π4）|≤1，即12≤|sin2x|≤22，∴22≤cos22x≤34，

∴22≤|cos2x|≤32，故cos2x=1-338不符合條件，即cos2x=1+338.

易錯點九：忽視題設條件而致錯

例9 已知銳角△ABC中，sin（A+B）=35，sin（A-B）=15.

（1）求證：tanA=2tanB；

（2）設AB=3，求AB邊上的高.

錯解：（1）略，（2）由（1）易得：cosAsinB=15，作AB邊上的高CD，設CD=h，則有

tanA=hAD，tanB=hBD，所以AC=1+h2，

BC=4+h2，即cosA=11+h2，

sinB=h4+h2，代入cosAsinB=15，得h4-20h2+4=0，解得：h2=10±46，即h=6±2.

錯因剖析：錯解中未注意到題設條件中的銳角△ABC，實際上，當h=6-2時，tanA=h=6-2<1，則A<π4，又Bπ2，這與題設條件中的銳角△ABC矛盾，故舍去，即h=6+2.

上面我們揭示了三角函數中常見可能出錯的情況，在實際解題時，這些方法既可以單獨運用，也可以結合在一起綜合運用，只有這樣，才能收到良好的效果.培養(yǎng)同學們挖掘隱含條件的能力，對加深理解知識，提高解題能力，培養(yǎng)思維有積極意義.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學）