《平面向量、三角函數(shù)》命題規(guī)律與考查熱點(diǎn)

高考命題分析

高考中，三角函數(shù)主要考查同學(xué)們的運(yùn)算能力、靈活運(yùn)用能力.在客觀題中，突出考查基本公式所涉及的運(yùn)算、三角函數(shù)的圖象基本性質(zhì)，尤其是對(duì)三角恒等變換較為注重.解答題中以中等難度題為主，涉及解三角形、向量及簡(jiǎn)單運(yùn)算.

平面向量的考查側(cè)重平面向量的數(shù)量積以及平面向量的平行、垂直關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算.以向量的平行、垂直、所成角為載體，與三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合是值得注意的方向.現(xiàn)聚焦高考三角函數(shù)與平面向量試題，揭秘三角函數(shù)與平面向量高考命題動(dòng)向，挖掘三角函數(shù)與平面向量常見的考點(diǎn)及其求解策略，希望能給同學(xué)們帶來(lái)幫助和啟示.

高考命題特點(diǎn)

高考涉及三角函數(shù)與平面向量的考題要么全是有關(guān)三角函數(shù)的，要么全是向量的，或者是三角函數(shù)與向量結(jié)合的，其特點(diǎn)如下：

（1）考小題，重基礎(chǔ)：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式；圖象與圖象變換；兩域（定義域、值域）；四性（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）；簡(jiǎn)單的三角變換（求值、化簡(jiǎn)及比較大小）.有關(guān)向量的考查主要是向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積等知識(shí).

（2）考大題，難度明顯降低：有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過(guò)公式變形轉(zhuǎn)換來(lái)考查思維能力的題目已經(jīng)很少，而著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能與方法的題目卻在增加.大題中的向量，主要是作為工具來(lái)考查的，多與三角相結(jié)合.

（3）考應(yīng)用，融入三角形之中：既能考查解三角的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，深受命題者的青睞.主要解法是充分利用三角形內(nèi)角和定理、正、余弦定理、面積公式、向量夾角公式、向量平行與垂直的充要條件，向量的數(shù)量積等.

（4）考綜合，體現(xiàn)三角的工具作用：由于近幾年高考試題突出能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)性和應(yīng)用性的考查，故常常在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題.

高考動(dòng)向透視

考點(diǎn)1 三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要以小題的形式出現(xiàn)，即利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值、變形，或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求值、求參數(shù)的值、求值域、求單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問(wèn)題中涉及三角函數(shù)的定義、圖象、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，在這類問(wèn)題的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齊次化切”等.

例1 若sin（π6-α）=13，則cos（2π3+2α）=.

解：cos（2π3+2α）=cos[π-2（π6-α）]

=-cos2（π6-α）=-[1-2sin2（π6-α）]

=-1+2sin2（π6-α）=-79.

極速突擊：條件角π6-α與結(jié)論角2π3+2α之間存在這樣的關(guān)系：2（π6-α）+（2π3+2α）=π，因此可通過(guò)誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求條件角的三角函數(shù)值.尋找條件角與結(jié)論角間的關(guān)系是三角化簡(jiǎn)求值中常見題型，需要仔細(xì)分析，看它們間是否存在互余、互補(bǔ)等關(guān)系，通過(guò)配湊，轉(zhuǎn)化求解.

考點(diǎn)2 三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括：正弦（型）函數(shù)、余弦（型）函數(shù)、正切（型）函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等內(nèi)容.在近年高考試卷中都有考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的試題，解答題主要在與三角恒等變換、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題，難度中等偏下.對(duì)三角函數(shù)最值的考查，常以小題形式呈現(xiàn)，屬中檔題.有時(shí)也在大題中的某一步呈現(xiàn)，屬中檔偏難題，高考?？疾橐韵聝煞N類型：①化成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其最值；②化成二次函數(shù)形式后利用配方法求其最值.

例2 已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（其中A>0，ω>0，0<φ<π2）的周期為π，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為M（2π3，-3）.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)y=f（x）+f（x+π4）的最大值及對(duì)應(yīng)x的值.

解：（1）由2πω=π得ω=2.

由最低點(diǎn)為M（2π3，-3），得A=3.

且2×2π3+φ=3π2+2kπ（k∈Z），0<φ<π2，

∴φ=π6，

∴f（x）=3sin（2x+π6）.

（2）y=f（x）+f（x+π4）

=3sin（2x+π6）+3sin[2（x+π4）+π6]

=3sin（2x+π6）+3cos（2x+π6）

=32sin（2x+512π），

∴ymax=32.此時(shí)，2x+5π12=2kπ+π2，x=kπ+π24，k∈Z.

極速突擊：求函數(shù)解析式就是求三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，通過(guò)振幅，周期，圖象過(guò)一個(gè)定點(diǎn)三步即可完成.關(guān)于最值問(wèn)題一般要先求函數(shù)解析式，再求函數(shù)的最值，三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象在其對(duì)稱軸處取到最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值點(diǎn)之間橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為其函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱中心，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值也是函數(shù)的半個(gè)周期；函數(shù)取最值的點(diǎn)與相鄰的x軸的交點(diǎn)之間橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為其函數(shù)的14個(gè)周期.

考點(diǎn)3 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

高考對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性考查，常以小題形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在大題的某一小問(wèn)中，屬中檔題.對(duì)于形如y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ）），Aω≠0的單調(diào)區(qū)間的求法是：先考慮A，ω的符號(hào)，再將ωx+φ視為一個(gè)整體，利用y=sinx的單調(diào)區(qū)間，整體運(yùn)算，解出x的范圍即可.

例3 函數(shù)y=3sin（π3-x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

解：設(shè)μ=π3-x2，則y=3sinμ，

當(dāng)2kπ+π2≤μ≤2kπ+3π2時(shí)，y=3sinμ隨x增大在減小，

又∵μ=π3-x2隨x增大在減小，

∴y=3sin（π3-x2）當(dāng)2kπ+π2≤π3-x2≤2kπ+3π2，

即-4kπ-7π3≤x≤-4kπ-π3時(shí)，y隨x增大而增大.

∴y=3sin（π3-x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-4kπ-7π3，-4kπ-π3]（k∈Z）.

極速突擊：將π3-x2看作一個(gè)變量μ，求出μ的范圍，結(jié)合μ=π3-x2是單調(diào)減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.也可以提出負(fù)號(hào)變成y=-3sin（x2-π3），y=3sin（x2-π3）的單調(diào)遞減區(qū)間即為y=3sin（π3-x2）的單調(diào)遞增區(qū)間.本題一定要注意變量x的系數(shù)是負(fù)數(shù)，所以要把π3-x2放在μ的單調(diào)遞減區(qū)間里求解.但是有時(shí)會(huì)誤以為求遞增區(qū)間，把μ=π3-x2放在y=3sinμ的遞增區(qū)間[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）里求解x的取值范圍而得到錯(cuò)誤的結(jié)果.

考點(diǎn)4 利用三角恒等變換求三角函數(shù)值

三角恒等變換是研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形的基礎(chǔ)，在高考中單獨(dú)命題的情況很少，大多是結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形進(jìn)行命題，在客觀題上高考也加大了對(duì)三角恒等變換的考查力度，高考命題考查的重點(diǎn)是公式的應(yīng)用，包括同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.

例4 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+23sinxcosx.

（1）求函數(shù)f（x）在[-π6，π3]上的值域；

（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值.

解：（1）f（x）=1+cos2x+3sin2x=2sin（2x+π6）+1，

因?yàn)?π6≤x≤π3，所以-π6≤2x+π6≤5π6，

所以-12≤sin（2x+π6）≤1，所以-1≤2sin（2x+π6）≤2.

所以f（x）∈[0，3].即函數(shù)f（x）在[-π6，π3]上的值域?yàn)閇0，3].

（2）由f（C）=2，得2sin（2C+π6）+1=2，所以sin（2C+π6）=12.

在△ABC中，因?yàn)?

所以2C+π6=5π6，所以C=π3，所以A+B=2π3.

因?yàn)?sinB=cos（A-C）-cos（A+C），所以2sinB=2sinAsinC.

因?yàn)锽=2π3-A，C=π3.所以2sin（2π3-A）=3sinA.

即3cosA+sinA=3sinA，即（3-1）sinA=3cosA.

所以tanA=sinAcosA=3+32.

極速突擊：利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并成一個(gè)三角函數(shù)，把得到的角看做一個(gè)整體求出其取值范圍，再求整個(gè)三角函數(shù)值的范圍.根據(jù)給出的一個(gè)角的函數(shù)值可以求出角C的大小，對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)把其中的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為用一個(gè)角來(lái)表示即可求出一個(gè)三角函數(shù)值.

考點(diǎn)5 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

三角函數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年來(lái)高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題，高考更加注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用意識(shí)的考查，而且新課標(biāo)高考在考查的內(nèi)容以及形式上不斷推陳出新，三角函數(shù)不僅可以與集合、函數(shù)與方程、不等式等結(jié)合命題，而且還可以結(jié)合解三角形的知識(shí)命題.

例5 已知函數(shù)f（x）=2sinx·cos2θ2+cosx·sinθ-sinx（0<θ<π）在x=π處取最小值.

（1）求θ的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知a=1，b=2，f（A）=32，求角C.

解：（1）f（x）=2sinx·1+cosθ2+cosx·sinθ-sinx=sin（x+θ），

∵當(dāng)x=π時(shí)，f（x）取得最小值，∴sin（π+θ）=-1即sinθ=1，

又∵0<θ<π，∴θ=π2.

（2）由（1）知f（x）=cosx，

∵f（A）=cosA=32，且A為△ABC的內(nèi)角，

∴A=π6，

由正弦定理得sinB=bsinAa=22知B=π4或B=3π4，

當(dāng)B=π4時(shí)，C=π-A-B=7π12，

當(dāng)B=3π4時(shí)，C=π-A-B=π12，

綜上所述，C=7π12或C=π12.

極速突擊：本小題主要考查利用二倍角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，根據(jù)最小值求出θ的值.通過(guò)三角函數(shù)值求出角A，結(jié)合正弦定理求角B，但是這里有兩解，不能漏解.三角形中三角問(wèn)題主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力，以化簡(jiǎn)、求值為主.

考點(diǎn)6 平面向量共線與垂直

高考對(duì)平面向量共線與垂直的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題，有時(shí)也在大題的條件中出現(xiàn)，屬中檔偏難題.平面向量的坐標(biāo)表示可使平面向量運(yùn)算完全代數(shù)化，從而使得我們可以利用“方程的思想”破解向量共線與垂直的問(wèn)題.

向量平行或垂直時(shí)坐標(biāo)所滿足的條件，即a=（x1，y1），b=（x2，y2），若a∥b則有x1y2-x2y1=0，反之也成立；若a⊥b則有x1x2+y1y2=0，反之也成立.

例6 設(shè)x，y∈R，向量a=（x，1），b=（1，y），c=（2，-4）且a⊥c，b∥c，則|a+b|=.

解：因?yàn)閍⊥c，b∥c，所以有2x-4=0且2y+4=0，解得x=2，y=-2，即a=（2，1），b=（1，-2），所以a+b=（3，-1），|a+b|=10.

極速突擊：利用向量平行和垂直的條件先求出x，y的值，求出a+b的坐標(biāo)，可求出其模長(zhǎng).要區(qū)分垂直與平行的充要條件.

考點(diǎn)7 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

高考對(duì)平面向量基本定理及坐標(biāo)的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題.有時(shí)也在大題中出現(xiàn)，屬中檔題.

例7 如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為150°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23.若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），則λ+μ的值為.

解：建立平面直角坐標(biāo)系，則OA=（1，0），

OB=（-12，32），OC=（-3，-3），代入OC=λOA+μOB（λ，μ∈R）可得：λ-12μ=-332μ=-3，可解得λ=-4，μ=-2，故λ+μ=-6.

極速突擊：坐標(biāo)的引入，使向量真正成為數(shù)形結(jié)合的載體，為向量與其他代數(shù)知識(shí)的結(jié)合創(chuàng)造了前提條件.在坐標(biāo)系中只要能表示出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入運(yùn)算就是解方程問(wèn)題.

考點(diǎn)8 平面向量的模

高考對(duì)平面向量的模的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題，常考查類型：①把向量放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦予具體坐標(biāo)求向量的模，如向量a=（x，y），求向量a的模只需利用公式|a|=x2+y2即可求解.②不把向量放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問(wèn)題的通常做法是利用向量運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|=a2.

例8 a，b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a-b|=.

解：因?yàn)閍·b=|a|·|b|·cos120°=1×3×（-12）=-32，

∴|5a-b|=（|5a-b|）2

=25a2-10a·b+b2

=25×1-10×（-32）+32=7.

極速突擊：因?yàn)閍2=a·a=|a|·|a|cos0=|a|2，由此可得|a|=a2，所以可先求出a·b的值，再求出|5a-b|的值.對(duì)于向量坐標(biāo)的求模運(yùn)算，若a=（x，y），則|a|=x2+y2.如本題根據(jù)向量的模長(zhǎng)和夾角求新的向量的模長(zhǎng)，還是用公式|a|=a2即可解決問(wèn)題.

考點(diǎn)9 平面向量的數(shù)量積

在知道模長(zhǎng)和兩向量夾角時(shí)，求向量的數(shù)量積用a·b=|a|·|b|·cosθ求解；若已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則用a·b=x1x2+y1y2求解.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，常結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.

例9 在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，則CM·CN的取值范圍為.

解：求向量的數(shù)量積，若有向量的模長(zhǎng)與夾角，可以考慮用定義來(lái)做.但是在這些條件缺少的情況下我們可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到與已知條件相關(guān)的或很容易求出模和夾角的向量表示這兩個(gè)向量來(lái)做.這樣求兩個(gè)向量數(shù)量積就可以轉(zhuǎn)化為求這些向量的數(shù)量積，使問(wèn)題得到解決.也體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

方法1：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn).在Rt△ABC中，

CD=2，CM·CN=（CD+DM）·（CD+DN）

=CD2+CD·（DN+DM）+DN·DM=2-|DM| |DN|，

由于2=MN=DM+DN≥2DM·DN，

∴DM·DN≤12，

即0≤DM·DN≤12，當(dāng)且僅當(dāng)DM=DN=22時(shí)取得“=”.∴-12≤-DM·DN≤0，則32≤2-DM·DN≤2.∴CM·CN的取值范圍為[32，2].

極速突擊：利用向量回路，只要將CM和CN分別用線性表示，然后再利用向量數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.這里的易錯(cuò)點(diǎn)是只寫了DM·DN≤12，而沒有寫成0≤DM·DN≤12，從而致錯(cuò).由平面向量的基本定理知同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，利用向量線性運(yùn)算的幾何定義可以作出幾個(gè)向量的合成向量，由此將對(duì)象進(jìn)行有效統(tǒng)一，此法使用的關(guān)鍵是要把未知都往已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后才好求解.

坐標(biāo)法

根據(jù)平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），a·b=x1x2+y1y2.用坐標(biāo)法求向量數(shù)量積，首先要建立合適的直角坐標(biāo)系，先求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，用坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算.

方法2：如圖，以CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則lAB：x+y-2=0，設(shè)M（x，2-x）（0≤x≤1），則N（x+1，1-x）.

∴CM·CN=x（x+1）+（2-x）（1-x）

=2（x2-x+1）=2（x-12）2+32，（0≤x≤1）.

∴當(dāng)x=0，1時(shí)CM·CN取得最大值2，當(dāng)x=12時(shí)CM·CN取得最小值32.

極速突擊：這里的易錯(cuò)點(diǎn)是x的取值范圍容易忽略，或者認(rèn)為x的取值范圍是[0，2]從而致錯(cuò).對(duì)于規(guī)則的圖形，選好坐標(biāo)系后能夠表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出向量的數(shù)量積是關(guān)于自變量的一個(gè)二次函數(shù)，從而求出其取值范圍.

（作者：車樹勤，連云港市錦屏高級(jí)中學(xué)）