三角重點知識解析

三角是高考必考內容之一，江蘇高考中解答題以基本題為主，填空題以中檔題為主.本文就三角的重點知識作一梳理，以期對同學們復習有所幫助.

一、三角函數的圖象及性質

高考中三角函數的圖象及性質主要考查三角函數的周期性、單調性、對稱性、有界性、奇偶性；函數的解析式；圖象之間的變換關系.題型以填空題為主，難度以容易、中檔題為主，在對三角函數其他知識的考查中，直接或間接考查本節(jié)的基本方法與技能.

例1 如果函數f（x）=2sinωx（ω>0）在區(qū)間[-π3，π3]上是增函數，那么實數ω的取值范圍是.

分析：由圖象對稱性我們可以將單調性與三角函數的周期結合在一起，T2≥2π3，求出ω的取值范圍.

另外我們也可以用整體思想，先求出-ωπ3≤ωx≤ωx3，由圖象可知ωπ3≤π2.

解：∵x∈[-π3，π3]，ω>0，

得-ωπ3≤ωx≤ωx3，結合正弦函數圖象和單調區(qū)間，我們可得0<ωπ3≤π2，

從而0<ω3≤32.

變式①：如果函數f（x）=2sinωx（ω>0）在區(qū)間[-π4，π3]上是增函數，那么實數ω的取值范圍是.

分析：與原題的區(qū)別在于給定區(qū)間不是關于原點對稱的，有同學用周期容易產生錯誤，T2≥7π12.所以我們還是選擇整體思想較好，結果與原題一致.

解：∵x∈[-π4，π3]，ω>0，

得-ωπ4≤ωx≤ωπ3，結合正弦函數圖象和單調區(qū)間，我們可得0<ωπ3≤π2且-π2≤-ωπ4<0，

得0<ω≤32且0<ω≤2，

從而0<ω≤32.

變式②：如果函數f（x）=2sinωx（ω>0）在[-π4，π3]上的最小值是-2，那么ω的最小值是.

解：∵x∈[-π4，π3]，ω>0，

得-ωπ4≤ωx≤ωπ3，結合正弦函數圖象，我們可得-ωπ4≤-π2，

從而ω≥2.

變式③：如果函數f（x）=2sinωx在區(qū)間[-π4，π3]上是單調減函數，那么實數ω的取值范圍是.

解：∵f（x）=2sinωx經過坐標原點，且在區(qū)間[-π4，π3]上是單調減函數，

∴ω<0，

得ωπ3≤ωx≤-ωπ4，結合正弦函數圖象和單調區(qū)間，我們可得-π2≤ωπ3<0且0<-ωπ4≤π2，

∴-32≤ω<0且-2≤ω<0，故-32≤ω<0.

二、三角函數求值

三角函數的求值問題，由于涉及的三角公式較多，問題的解法也比較靈活，但也會呈現出一定的規(guī)律性.三角函數的命題趨于穩(wěn)定，但近年考查得似乎有些簡單，三角函數的化簡和求值是?？碱}型.它往往出現在小題中，或者是作為解答題中的一小問，其中考查了簡單的三角恒等變換和三角函數的性質的綜合運用.著重考查三角函數的基礎知識、基本方法和基本技能.

例2 已知tan（α+β）=25，tanβ=13，則tan（α+π4）的值為.

分析：尋找角與角的關系，可以先求出tanα，再利用兩角和的正切公式求tan（α+π4）.

解題步驟如下：

① 尋找角與角之間的關系

（α+β）-β=α

② 求出對應的三角函數值

tanα=tan[（α+β）-β]=tan（α+β）-tanβ1+tan（α+β）tanβ

=25-131+25·13=117，

故tan（α+π4）=tanα+11-tanα=117+11-117=98.

例3 設α為銳角，若cos（α+π6）=45，則sin（2α+π12）的值為.

分析：本題正確率不太高，主要是配角較為困難，沒有關注角的范圍的限制，所以在解題中要注意方法的合理選擇.接下來我們比較這兩種方法的解題過程.

解一（配湊法）：①尋找角與角之間的關系

2α+π12=2（α+π6）-π4

②求出對應的三角函數值

∵α為銳角，即0<α<π2，

∴π6<α+π6<π2+π6=2π3.

∵cos（α+π6）=45，∴sin（α+π6）=35.

∴sin（2α+π3）=2sin（α+π6）cos（α+π6）

=2·35·45=2425.

∴cos（2α+π3）=725.

∴sin（2α+π12）=sin（2α+π3-π4）

=sin（2α+π3）cosπ4-cos（2α+π3）sinπ4

=2425·22-725·22=17502.

解二（換元法）：①尋找角與角之間的關系——換元

令α+π6=t，則α=t-π6，

∴2α+π12=2t-π4.

②求值

∵α為銳角，即0<α<π2，∴π6<α+π6<π2+π6=2π3.

∵cost=45，∴sint=35，

∴sin2t=2sintcost=2425，cos2t=725，

∴sin（2α+π12）=sin（2t-π4）

=22（sin2t-cos2t）=17250.

三、三角恒等變換

與三角恒等變形相關的問題是高考的熱點問題，通常以三角為載體考查同學們的基本運算能力，利用三角函數的定義，同角三角函數關系式，誘導公式，兩角和差公式，二倍角公式，降冪公式，輔助角公式等三角函數公式進行運算及變形求值或求角等.

例4 已知sin2α=23，則cos2（α+π4）= .

解法一：先用降次公式化為一次三角函數再用誘導公式轉化為已知角

cos2（α+π4）=12[1+cos（2α+π2）]

=12（1-sin2α）=16.

解法二：先將目標角用和差角公式展開，再利用cosx-sinx與cosx·sinx的關系，通過平方解決問題

cos（α+π4）=22cosα-22sinα，

所以cos2（α+π4）=12（cosα-sinα）2

=12（1-2sinαcosα）

=12（1-sin2α）=16.

例5 已知α，β均為銳角，且sinα=35，tan（α-β）=-13.

（1）求sin（α-β）的值；

（2）求cosβ的值.

解：（1）∵α，β∈（0，π2），

從而-π2<α-β<π2.

又∵tan（α-β）=-13<0，

∴-π2<α-β<0.

∴sin（α-β）=-1010.

（2）由（1）可得，cos（α-β）=31010.

∵α為銳角，且sinα=35，∴cosα=45.

∴cosβ=cos[α-（α-β）]

=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

=45×31010+35×（-1010）

=91050.

變式訓練：在本例條件下，求sin（α-2β）的值.

解：∵sin（α-β）=-1010，cos（α-β）=31010，

cosβ=91050，sinβ=131050.

∴sin（α-2β）=sin[（α-β）-β]=sin（α-β）cosβ-cos（α-β）sinβ=-2425.

四、正、余弦定理的應用

與解三角形相關的問題是高考的熱點問題，通常以三角形為載體，借助正弦定理，余弦定理及面積公式實現邊角互化，解決長度與角度的求解問題.

解三角形問題實際上是附加條件的三角變換問題，因此在處理這類問題的過程中，利用正、余弦定理適時進行邊角的互化，利用三角函數的定義，同角三角函數關系式，誘導公式，兩角和差公式，二倍角公式，降冪公式，輔助角公式等三角函數公式進行有目標的運算是解決問題的關鍵.

例6 設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=79.

（1）求a，c的值；

（2）求sin（A-B）的值.

解：（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得b2=（a+c）2-2ac（1+cosB），

又b=2，a+c=6，cosB=79，

所以ac=9，解得a=3，c=3.

（2）在△ABC中，sinB=1-cos2B=429，

由正弦定理得sinA=asinBb=223.

因為a=c，所以A為銳角.

所以cosA=1-sin2A=13.

因此sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=10227.

五、三角形中的最值問題

高考復習過程中，三角形中的范圍與最值問題，是同學們學習解三角形過程中比較常見的問題，也是高考重要題型.它不僅僅需要用到三角變換、正、余弦定理，往往還需要涉及不等式、函數、數形結合等知識與方法.

例7 滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值為.

分析：方法一：函數法

設BC=x，則AC=2x，

根據面積公式得

S△ABC=12AB×BCsinB=x1-cos2B，

根據余弦定理得

cosB=AB2+BC2-AC22AB×BC=4+x2-2x24x=4-x24x，

代入上式得

S△ABC=x1-（4-x24x）2

=x2-x4-8x2+1616

=-x4+24x2-1616

由三角形三邊關系有2x+x>2x+2>2x

解得22-2

故當x2=12即x=23時取得S△ABC最大值22.

方法二：數形結合法

以直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設C（x，y），由題意可知A（-1，0），B（1，0）利用AC=2BC得C點的軌跡方程（x-3）2+y2=8（y≠0），畫出圖形，即可求出S△ABC最大值22.

（作者：祝存建，如皋市第一中學）