江蘇省2015年高考數(shù)學模擬試卷（十）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分

1.已知集合A={1，3}，B={1，2，m}，若AB，則實數(shù)m=.

2.若（1-2i）i=a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位），則ab=.

3.若向量a=（2，3），b=（x，-6），且a∥b，則實數(shù)x=.

4.袋中裝有大小相同且形狀一樣的四個球，四個球上分別標有“2”、“3”、“4”、“6”這四個數(shù).現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數(shù)恰好能構成一個等差數(shù)列的概率是.

5.某校共有400名學生參加了一次數(shù)學競賽，競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示（成績分組為[0，10），[10，20），…，[80，90），[90，100]）.則在本次競賽中，得分不低于80分以上的人數(shù)為.

6.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，則cosC=.

7.根據(jù)如圖所示的偽代碼，當輸入a的值為3時，最后輸出的S的值為.

Read a

S←0

I←1

While I≤3

S←S+a

a←a×2

I←I+1

End While

Print S

8.已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，l為空間一直線，則“l(fā)垂直于兩腰AD，BC”是“l(fā)垂直于兩底AB，DC”的條件（填寫“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一個）.

9.函數(shù)f（x）=（x2+x+1）ex（x∈R）的單調(diào)減區(qū)間為.

10.已知f（x）=a-12x-1是定義在（-∞，-1]∪[1，+∞）上的奇函數(shù)，則f（x）的值域為.

11.記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn（n∈N*），已知am-1am+1-2am=0，且T2m-1=128，則m= .

12.已知ω是正實數(shù)，設Sω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù)a，Sω∩（a，a+1）的元素不超過2個，且存在實數(shù)a使Sω∩（a，a+1）含有2個元素，則ω的取值范圍是.

13.已知a，b∈R，⊙C1：x2+y2-4x+2y-a2+5=0與⊙C2：x2+y2-（2b-10）x-2by+2b2-10b+16=0交于不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1-x2y1-y2+y1+y2x1+x2=0，則實數(shù)b的值為.

14.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=2x的焦點為F設M是拋物線上的動點，則MOMF的最大值為.

二、解答題：本大題共6小題，共90分

15.（本小題滿分14分）

在△ABC中，角A、B、C所對的對邊長分別為a、b、c.

（1）設向量x=（sinB，sinC），向量y=（cosB，cosC），向量z=（cosB，-cosC），若z∥（x+y），求tanB+tanC的值；

（2）已知a2-c2=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b.

16.（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA=PC，E為PB的中點.

（1）求證：PD∥面AEC；

（2）求證：平面AEC⊥平面PDB.

17.（本小題滿分14分）

在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長6分米的材料彎折而成，BC邊的長為2t分米（1≤t≤32）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C1是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為y=cosx-1），此時記門的最高點O到BC邊的距離為h1（t）；曲線C2是一段拋物線，其焦點到準線的距離為98，此時記門的最高點O到BC邊的距離為h2（t）.

（1）試分別求出函數(shù)h1（t）、h2（t）的表達式；

（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應選用哪一種曲線？此時，最大值是多少？

18.（本小題滿分14分）

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點P（0，1），Q（0，2），設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T.求證：點T在橢圓C上.

19.（本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R.

（1）當a<0時，解不等式f（x）>0；

（2）若f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；

（3）當a=0時，求整數(shù)k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解.

20.（本小題滿分16分）

已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項是公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是公差為d2的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1=1，a2=2.

（1）若S5=16，a4=a5，求a10；

（2）已知S15=15a8，且對任意n∈N，有an

（3）若d1=3d2（d1≠0），且存在正整數(shù)m、n（m≠n），使得am=an.求當d1最大時，數(shù)列{an}的通項公式.

數(shù)學附加題部分

（本部分滿分40分，考試時間30分鐘）

21.[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分.

A.（選修41：幾何證明選講）

如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，D為AO上一點，BD的延長線交⊙O于點E，過E點的圓的切線交CA的延長線于P.

求證：PD2=PA·PC.

B.（選修42：矩陣與變換）

已知矩陣A=1002，B=11201，若矩陣AB對應的變換把直線l：x+y-2=0變?yōu)橹本€l′，求直線l′的方程.

C.（選修44：坐標系與參數(shù)方程）

在極坐標系中，圓C的方程為ρ=42cos（θ-π4），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為x=t+1y=t-1 （t為參數(shù)），求直線l被⊙C截得的弦AB的長度.

D.（選修45：不等式選講）

已知x、y、z均為正數(shù)，求證：33（1x+1y+1z）≤1x2+1y2+1z2.

22.袋中有8個除顏色不同其他都相同的球，其中1個為黑球，2個為白球，5個為紅球.

（1）如果從袋中一次摸出2個球，求所摸出的2個球顏色不同的概率；

（2）如果從袋中一次摸出3個球，記得到紅球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布及數(shù)學期望E（X）.

23.數(shù)列{2n-1}的前n項組成集合An={1，3，7，…，2n-1}（n∈N*），從集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記Sn=T1+T2+…Tn.例如：當n=1時，A1={1}，T1=1，S1=1；當n=2時，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7.

（1）求S3；

（2）猜想Sn，并用數(shù)學歸納法證明.

參考答案

一、填空題

1. 3

2. 2

3. -4

4. 12

5. 120

6. -14

7. 21

8. 充分不必要

9. （-2，-1）（或閉區(qū)間）

10. [-32，-12）∪（12，32]

11. m=4

12. （π，2π]

13. 53

14.解析：焦點F（12，0），設M（m，n），則n2=2m，m>0，設M到準線x=-12的距離等于d，則MOMF=MOd=m2+n2m+12=m2+2mm+12=m2+2mm2+m+14=m2+m+m+14-14m2+m+14=1+m-14m2+m+14.令m-14=t，t>14，則

MOMF=1+tt2+23t+916=1+1t+32+916t≤1+13=233（當且僅當t=34時，等號成立）.

故MOMF的最大值為233.

二、解答題

15.解：（1）x+y=（sinB+cosB，sinC+cosC），

由z∥（x+y），得cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，

即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC

所以tanB+tanC=sinBcosB+sinCcosC

=sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=-2.

（2）由已知可得，sinAcosC=-3cosAsinC，

則由正弦定理及余弦定理有：a·a2+b2-c22ab

=-3b2+c2-a22bc·c，

化簡并整理得：a2-c2=2b2，又由已知a2-c2=8b，所以2b2=8b，

解得b=4或b=0（舍），所以b=4.

16.（1）證明：設AC交BD于點O，連接EO，因為O，E分別是BD，PB的中點，所以PD∥EO

而PD面AEC，EO面AEC，所以PD∥面AEC.

（2）連接PO，因為PA=PC，所以AC⊥PO，又四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

而PO面PBD，BD面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面PBD，

又AC面AEC，所以面AEC⊥面PBD.

17.解：（1）對于曲線C1，因為曲線AOD的解析式為y=cosx-1，所以點D的坐標為（t，cost-1），

所以點O到AD的距離為1-cost，而AB=DC=3-t，

則h1（t）=（3-t）+（1-cost）=-t-cost+4（1≤t≤32），

對于曲線C2，因為拋物線的方程為x2=-94y，即y=-49x2，所以點D的坐標為（t，-49t2），

所以點O到AD的距離為49t2，而AB=DC=3-t，所以h2（t）=49t2-t+3（1≤t≤32）.

（2）因為h′1（t）=-1+sint<0，所以h1（t）在[1，32]上單調(diào)遞減，所以當t=1時，h1（t）取得最大值為3-cos1，

又h2（t）=49（t-98）2+3916，而1≤t≤32，所以當t=32時，h2（t）取得最大值為52，

因為cos1>cosπ3=12，所以3-cos1<3-12=52，

故選用曲線C2，當t=32時，點E到BC邊的距離最大，最大值為52分米.

18.解：（1）由題意知b=22=2.

因為離心率e=ca=32，所以ba=1-（ca）2=12.

所以a=22.

所以橢圓C的方程為x28+y22=1.

（2）證明：由題意可設M，N的坐標分別為（x0，y0），（-x0，y0），則

直線PM的方程為y=y0-1x0x+1，①

直線QN的方程為y=y0-2-x0x+2.②

證法一：聯(lián)立①②解得x=x02y0-3，y=3y0-42y0-3，即T（x02y0-3，3y0-42y0-3）.

由x208+y202=1可得x20=8-4y20.

因為18（x02y0-3）2+12（3y0-42y0-3）2

=x20+4（3y0-4）28（2y0-3）2

=8-4y20+4（3y0-4）28（2y0-3）2

=32y20-96y0+728（2y0-3）2=8（2y0-3）28（2y0-3）2=1，

所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上.

證法二：設T（x，y）.

聯(lián)立①②解得x0=x2y-3，y0=3y-42y-3.

因為x208+y202=1，所以18（x2y-3）2+12（3y-42y-3）2=1.

整理得x28+（3y-4）22=（2y-3）2，

所以x28+9y22-12y+8=4y2-12y+9，

即x28+y22=1.

所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上.

19.（1）因為ex>0，所以不等式f（x）>0即為ax2+x>0，

又因為a<0，所以不等式可化為x（x+1a）<0，

所以不等式f（x）>0的解集為（0，-1a）.

（2）f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

①當a=0時，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，當且僅當x=-1時取等號，故a=0符合要求；

②當a≠時，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因為Δ=（2a+1）2-4a=4a2+1>0，

所以g（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，不妨設x1>x2，

因此f（x）有極大值又有極小值.

若a>0，因為g（-1）·g（0）=-a<0，所以f（x）在（-1，1）內(nèi)有極值點，

故f（x）在[-1，1]上不單調(diào).

若a<0，可知x1>0>x2，

因為g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調(diào)，因為g（0）=1>0，

必須滿足g（1）≥0，g（-1）≥0.即3a+2≥0，-a≥0.所以-23≤a<0.

綜上可知，a的取值范圍是[-23，0].

（3）當a=0時，方程即為xex=x+2，由于ex>0，所以x=0不是方程的解，

所以原方程等價于ex-2x-1=0，令h（x）=ex-2x-1，

因為h′（x）=ex+2x2>0對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，

所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，

又h（1）=e-3<0，h（2）=e2-2>0，h（-3）=e-3-13<0，h（-2）=e-2>0，

所以方程f（x）=x+2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，

所以整數(shù)k的所有值為{-3，1}.

20.解：（1）由題意得，當n為奇數(shù)時，an=1+n-12d1，當n為偶數(shù)時，an=2+（n2-1）d2，

由S5=16，a4=a5，得3+3d1+4+d2=16，2+d2=1+2d1.

解得d1=2，d2=3，所以a10=2+4d2=14.

（2）當n為偶數(shù)時，由an

即n（d2-d1）+2-2d2<0恒成立，所以d2-d1≤0且d1>1.

當n為奇數(shù)時，由an

即n（d1-d2）-d1+d2-2<0恒成立，所以d1-d2≤0.

因此d1=d2.

又由S15=15a8，得（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a14）=15（a2+3d2），

即8+8×72d1+14+7×62d2=30+45d2.

解得d1=d2=2.

所以an=n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

（3）因為d1≠0，d2≠0，且存在正整數(shù)m，n，（m≠n），使得am=an，

所以m，n中必然一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù).

不妨設m為奇數(shù)，n為偶數(shù).

由am=an，得1+m-12d1=2+（n2-1）d2.

將d1=3d2代入，化簡得d1=63m-n-1.

因為m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，所以3m-n-1的最小正值為2，此時d1=3，d2=1.

所以數(shù)列{an}的通項公式為

an=32n-12，n為奇數(shù)，n2+1，n為偶數(shù).

數(shù)學附加題部分

21.A.證明：連結OE，因為PE切⊙O于點E，所以∠OEP=90°，所以∠OEB+∠BEP=90°，因為OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因為OB⊥AC于點O，所以∠OBE+∠BDO=90°

故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因為PE切⊙O于點E，所以PE2=PA·PC，

故PD2=PA·PC.

B.易得AB=100211201=11202，

在直線l上任取一點P（x′，y′），經(jīng)矩陣AB變換為點Q（x，y），

則xy=11202x′y′=x′+12y′2y′，

∴x=x′+12y′y=2y′，即x′=x-14yy′=y2，

代入x′+y′-2=0中得x-14y+y2-2=0，

∴直線l′的方程為4x+y-8=0.

C.解：⊙C的方程化為ρ=4cosθ+4sinθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ.

由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得x2+y2-4x-4y=0，

其圓心C坐標為（2，2），半徑r=22，又直線l的普通方程為x-y-2=0，

∴圓心C到直線l的距離d=22=2，

∴弦長AB=28-2=26.

D.證明：由柯西不等式得（12+12+12）（1x2+1y2+1z2）≥（1x+1y+1z）2，

則3×1x2+1y2+1z2≥1x+1y+1z，即33（1x+1y+1z）≤1x2+1y2+1z2.

22.解：（1）記“所摸出的2個球顏色不同”為事件A.

摸出的2個球顏色不同的摸法種數(shù)為C17+C12C15=17種，

從8個球中摸出2個球的不同摸法種數(shù)為C28=28，

所以P（A）=1728.

答：所摸出的2個球顏色不同的概率為1728.

（2）符合條件的摸法包括以下四種：

①3個球中沒有紅球，只有1種摸法；

②3個球中有1個紅球，有C23C15=15種不同摸法；

③3個球中有2個紅球，有C25C13=30種不同摸法；

④3個球均為紅球，有C35=10種不同摸法.

由題意知隨機變量X的取值可以為0，1，2，3.

則隨機變量X的概率分布為：

P（X=0）=1C38=156；P（X=1）=15C38=1556；P（X=2）=30C38=1528；P（X=3）=10C38=528；

k0123

P（X=k）15615561528528

數(shù)學期望E（X）=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158.

所以所求數(shù)學期望E（X）為158.

23.解：（1）當n=3時，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，

所以S3=11+31+21=63；

（2）由S1=1=21-1=21×22-1，S2=7=23-1=22×32-1，S3=63=26-1=23×42-1，

猜想Sn=2n（n+1）2-1.

下面證明：

（1）易知n=1時成立；

（2）假設n=k時Sk=2k（k+1）2-1，

則n=k+1時，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）Tk′]（其中Ti′，i=1，2，…，k，為n=k時可能的k個數(shù)的乘積的和為Tk），

=（T′1+T′2+T′3+…+T′k）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（T′1+T′2+T′3+…+T′k）=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk

=2k+1（2k（k+1）2-1）+（2k+1-1）

=2k+1·2k（k+1）2-1=2（k+1）（k+2）2-1，即n=k時Sk+1=2（k+1）（k+2）2-1也成立，

綜合（1）（2）知對n∈N*，Sn=2n（n+1）2-1成立.所以Sn=2n（n+1）2-1.