江蘇省2015年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（八）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1.曲線y=x3-2x在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程是.

2.若1+5i3-i=a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位），則ab=.

3.命題“若實(shí)數(shù)a滿足a≤2，則a2<4”的否命題是命題（填“真”、“假”之一）.

4.把一個(gè)體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1cm3的27個(gè)小正方體，現(xiàn)從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為.

5.某教師出了一份三道題的測(cè)試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例分別為30%、50%、10%和10%，則全班學(xué)生的平均分為分.

6.設(shè)M={a|a=（2，0）+m（0，1），m∈R}和N={b|b=（1，1）+n（1，-1），n∈R}都是元素為向量的集合，則M∩N=.

7.在如圖所示的算法流程圖中，若輸入m=4，n=3，則輸出的a=.

8.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13=.

9.設(shè)α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線.從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：（用代號(hào)表示）.

10.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，f（x）=2-|x-4|.下列四個(gè)不等關(guān)系：f（sinπ6）f（cos1）；f（cos2π3）f（sin2）.其中正確的個(gè)數(shù)是.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則sinA-sinBsinC的值是.

12.已知橢圓x24+y22=1，A，B是其左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)A，B的定點(diǎn)Q，以MP為直徑的圓經(jīng)過(guò)直線BP，MQ的交點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

13.在△ABC中，過(guò)中線AD中點(diǎn)E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xAB，AN=yAC（xy≠0），則4x+y的最小值是.

14.如圖是一個(gè)數(shù)表，第1行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然后把每行相鄰的兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間的下方，得到下一行，數(shù)表從上到下與從左到右均為無(wú)限項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)表中的第13行第10個(gè)數(shù)為.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分

15.（本小題滿分14分）

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，PA=PC=22.求證：

（1）PA⊥平面EBO；

（2）FG∥平面EBO.

16.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=2cosx2（3cosx2-sinx2）.

（1）設(shè)θ∈[-π2，π2]，且f（θ）=3+1，求θ的值；

（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=3+1，且△ABC的面積為32，求sinA+sinB的值.

17.（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1、B2.設(shè)直線A1B1的傾斜角的正弦值為13，圓C與以線段OA2為直徑的圓關(guān)于直線A1B1對(duì)稱.

（1）求橢圓E的離心率；

（2）判斷直線A1B1與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若圓C的面積為π，求圓C的方程.

18.如圖，在邊長(zhǎng)為10的正三角形紙片ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形紙片后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上（設(shè)為P），在這種情況下，求AD的最小值.

19.已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n-3（n∈N）.

（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；

（2）當(dāng)a1=2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

（3）若對(duì)任意n∈N，都有a2n+a2n+1an+an+1≥5成立，求a1的取值范圍.

20.已知波函數(shù)f（x）=ax2+lnx，f1（x）=16x2+43x+59lnx，f2（x）=12x2+2ax，a∈R.

（1）求證：函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若f（x）

（3）當(dāng)a=23時(shí)，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f1（x）

數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）

21.【選做題】 本題包括A，B，C，D四小題，請(qǐng)選定其中兩題作答，每小題10分，共計(jì)20分

A.選修41：幾何證明選講

自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小.

B.選修42：矩陣與變換

已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α1=1-1，屬于特征值λ2=4的一個(gè)特征向量為α2=32.求矩陣A.

C.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為x=2cosα，y=sinα（α為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-π4）=22.點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值.

D.選修45：不等式選講

若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值.

【必做題】 第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分

22.在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1E=λEO.

（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值；

（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.

23.過(guò)拋物線y2=4x上一點(diǎn)A（1，2）作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足AE=λ1EC；點(diǎn)F在線段BC上，滿足BF=λ2FC，且λ1+λ2=1，線段CD與EF交于點(diǎn)P.

（1）設(shè)DP=λPC，求λ；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

參考答案

一、填空題

1. x-y-2=0

2. -825

3. 真

4. 2627

5. 2

6. {（2，0）}

7. 12

8. 105

9. ①③④②（或②③④①）

10. 1

11. -12

12. （0，0）

13. 94

14. 216（或者65536）

二、解答題

15.證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，

△ABC為等邊三角形.

（1）因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC，

因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

BO平面ABC，所以BO⊥面PAC.

因?yàn)镻A平面PAC，所以BO⊥PA，

在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥PA，

又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.

（2）連AF交BE于Q，連QO.

因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，

所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，

于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.

因?yàn)镕G平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO.

注：第（2）小題亦可通過(guò)取PE中點(diǎn)H，利用平面FGH∥平面EBO證得.

16.解：（1）f（x）=23cos2x2-2sinx2cosx2=3（1+cosx）-sinx=2cos（x+π6）+3.

由2cos（θ+π6）+3=3+1，得cos（θ+π6）=12，

于是θ+π6=2kπ±π3（k∈Z），因?yàn)棣取蔥-π2，π2]，所以θ=-π2或π6.

（2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知C=π6.

因?yàn)椤鰽BC的面積為32，所以32=12absinπ6，于是ab=23.①

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcosπ6=a2+b2-6，所以a2+b2=7.②

由①②可得a=2，b=3或a=3，b=2.于是a+b=2+3.

由正弦定理得sinAa=sinBb=sinC1=12，

所以sinA+sinB=12（a+b）=1+32.

17.解：（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），

因?yàn)橹本€A1B1的傾斜角的正弦值為13，所以ba2+b2=13，

于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以橢圓E的離心率e=c2a2=78=144.

（2）由e=144可設(shè)a=4k（k>0），c=14k，則b=2k，

于是A1B1的方程為：x-22y+4k=0，

故OA2的中點(diǎn)（2k，0）到A1B1的距離

d=|2k+4k|3=2k，

又以O(shè)A2為直徑的圓的半徑r=2k，即有d=r，

所以直線A1B1與圓C相切.

（3）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而k=12，

設(shè)OA2的中點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線A1B1：x-22y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），

則nm-1·24=-1，m+12-22·n2+2=0.

解得m=13，n=423.所以，圓C的方程為（x-13）2+（y-423）2=1.

18.顯然A，P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，連結(jié)DP，圖（2）中，設(shè)∠BAP=θ，∠BDP=2θ.

再設(shè)AD=x，所以DP=x，DB=10-x.

在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ.

在△BDP中，由正弦定理知BDsin∠BPD=DPsin∠DBP，即10-xsin（120°-2θ）=xsin60°，所以x=1032sin（120°-2θ）+3.

因?yàn)?°≤θ≤60°，所以0°≤120°-2θ≤120°，所以當(dāng)120°-2θ=90°，即θ=15°時(shí)，sin（120°-2θ）=1.此時(shí)x取得最小值1032+3=203-30，且∠ADE=75°.

所以AD的最小值為203-30.

19.（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd.

由an+1+an=4n-3，得（a1+nd）+[a1+（n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a1-d=-3，解得d=2，a1=-12.

（2）由an+1+an=4n-3（n∈N），得an+2+an+1=4n+1（n∈N）.

兩式相減，得an+2-an=4.

所以數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)為a1，公差為4的等差數(shù)列.

數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a2，公差為4的等差數(shù)列.

由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1.

所以an=2n，n=2k-12n-5，n=2k（k∈Z）.

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=2n，an+1=2n-3.

Sn=a1+a2+a3+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an

=1+9+…+（4n-11）+2n

=n-12×（1+4n-11）2+2n=2n2-3n+52.

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）=1+9+…+（4n-7）=2n2-3n2.

所以Sn=2n2-3n+52，n=2k-12n2-3n2，n=2k（k∈Z）.

（3）由（2）知，an=2n-2+a1，n=2k-12n-3-a1，n=2k（k∈Z）.

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=2n-2+a1，an+1=2n-1-a1.

由a2n+a2n+1an+an+1≥5，得a21-a1≥-4n2+16n-10.

令f（n）=-4n2+16n-10=-4（n-2）2+6.

當(dāng)n=1或n=3時(shí)，f（n）max=2，所以a21-a1≥2.

解得a1≥2或a1≤-1.

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2n-3-a1，an+1=2n+a1.

由a2n+a2n+1an+an+1≥5，得a21+3a1≥-4n2+16n-12.

令g（n）=-4n2+16n-12=-4（n-2）2+4.

當(dāng)n=2時(shí)，g（n）max=4，所以a21+3a1≥4.

解得a1≥1或a1≤-4.

綜上所述，a1的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）.

20.（1）因?yàn)閒′（x）=2ax+1x，所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線的斜率為k=2ae+1e，

所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=（2ae+1e）（x-e）+ae2+1，

整理得y-12=（2ae+1e）（x-e2），所以切線恒過(guò)定點(diǎn)（e2，12）.

（2）令p（x）=f（x）-f2（x）=（a-12）x2-2ax+lnx<0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，

因?yàn)閜′（x）=（2a-1）x-2a+1x

=（2a-1）x2-2ax+1x

=（x-1）[（2a-1）x-1]x（*）

令p′（x）=0，得極值點(diǎn)x1=1，x2=12a-1.

①當(dāng)12x1=1，即120，

此時(shí)p（x）在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合題意；

②當(dāng)a≥1時(shí)，有x2

③當(dāng)a≤12時(shí)，有2a-1≤0，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有p′（x）<0，

從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；

要使p（x）<0在此區(qū)間上恒成立，只需滿足p（1）=-a-12≤0a≥-12，

所以-12≤a≤12.

綜上可知a的范圍是[-12，12].

（3）當(dāng)a=23時(shí)，f1（x）=16x2+43x+59lnx，

f2（x）=12x2+43x，

記y=f2（x）-f1（x）=13x2-59lnx，x∈（1，+∞）.

因?yàn)閥′=2x3-59x=6x2-59x>0，所以y=f2（x）-f1（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，

所以f2（x）-f1（x）>f2（1）-f1（1）=13，

設(shè)R（x）=f1（x）+13λ，（0<λ<1），則f1（x）

所以在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f1（x）

附加題

21.A.解：因?yàn)镸A為圓O的切線，所以MA2=MB·MC.

又M為PA的中點(diǎn)，所以MP2=MB·MC.

因?yàn)椤螧MP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC.

于是∠MPB=∠MCP.

在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，得∠MPB=20°.

B.解：由特征值、特征向量定義可知，Aα1=λ1α1，

即abcd1-1=-1×1-1，得a-b=-1，c-d=1.

同理可得3a+2b=12，3c+2d=8，解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣A=2321.

C.解：ρcos（θ-π4）=22化簡(jiǎn)為ρcosθ+ρsinθ=4，

則直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），得P到直線l的距離d=|2cosα+sinα-4|2，

即d=|5sin（α+φ）-4|2，其中cosφ=15，

sinφ=25.

當(dāng)sin（α+φ）=-1時(shí)，dmax=22+102.

D.解：因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a+b+c=1，

所以，（13a+2+13b+2+13c+2）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即13a+2+13b+2+13c+2≥1，

當(dāng)且僅當(dāng)3a+2=3b+2=3c+2，即a=b=c=13時(shí)，原式取最小值1.

22.解：（1）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以DA，DC，DD1

為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

則A（1，0，0），O（12，12，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

E（14，14，12），

于是DE=（14，14，12），CD1=（0，-1，1）.

由cos=DE·CD1|DE|·|CD1|=36.

所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為36.

（2）設(shè)平面CD1O的向量為m=（x1，y1，z1），由m·CO=0，m·CD1=0，

得12x1-12y1=0，-y1+z1=0，取x1=1，得y1=z1=1，即m=（1，1，1）.

由D1E=λEO，則E（λ2（1+λ），λ2（1+λ），11+λ），DE=（λ2（1+λ），λ2（1+λ），11+λ）.

又設(shè)平面CDE的法向量為n=（x2，y2，z2），由n·CD=0，n·DE=0.

得y2=0，λx22（1+λ）+λy22（1+λ）+z21+λ=0，取x2=2，得z2=-λ，即n=（-2，0，λ）.

因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1F，所以m·n=0，得λ=2.

23.解：（1）過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y=x+1.

切線交x軸于點(diǎn)B（-1，0），交y軸交于點(diǎn)D（0，1），則D是AB的中點(diǎn).