江蘇省2015年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（九）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1.若a+i1-i（i是虛數(shù)單位）是是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是.

2.已知集合A={x|x>1}，B={x|x2-2x<0}，則A∪B=.

3.為了解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況，從該校200名授課教師中隨機(jī)抽取20名教師，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示如下：據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在[15，30]內(nèi)的人數(shù)為.

4.在如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果是.

5.若以連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)m，n分別為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在圓x2+y2=16內(nèi)的概率為.

6.在約束條件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1下，則（x-1）2+y2的最小值為.

7.一個(gè)勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，最低點(diǎn)距地面2米，最高點(diǎn)距地面18米，P是摩天輪輪周上的一個(gè)定點(diǎn)，從P在摩天輪最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，則16分鐘后P點(diǎn)距地面的高度為.

8.已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|x2+y2≤r2r>0}，若點(diǎn)（x，y）∈A是點(diǎn)（x，y）∈B的必要條件，則r的最大值是.

9.已知點(diǎn)A（0，2），拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物線與點(diǎn)B，過B作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p=.

10.若函數(shù)f（x）=2x，x<0-2-x，x>0，則函數(shù)y=f（f（x））的值域是.

11.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AC=4，BC=CC1=2，

若用平行于三棱柱ABCA1B1C1的某一側(cè)面的平面去截此三棱柱，使得到的兩個(gè)幾何體能夠拼接成長方體，則長方體表面積的最小值為.

12.如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），

設(shè)AP=αAB+βAD（α，β∈R），則α+β的取值范圍是.

13.已知函數(shù)f（x）=x+1x+a2，g（x）=x3-a3+2a+1若存在，ξ1，ξ2∈[1a，a]（a>1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，則a的取值范圍是.

14.已知函數(shù)f（x）=cosx，g（x）=sinx，記Sn=2∑2nk=1f（（k-1）π2n）-12n∑2nk=1g（（k-n-1）π2n），Tm=S1+S2+…+Sm，若Tm<11，則m的最大值為.

二、解答題：本大題共6小題，共90分

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為3π4，OB=2設(shè)∠AOB=θ，θ∈（π2，3π4）.

（1）用θ表示OA；

（2）求OA·OB的最小值.

16.如圖，已知四面ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，BD∥平面EFGH，且EH=FG.

（1）求證：HG∥平面ABC；

（2）請?jiān)诿鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E作一條線段垂直于AC，并給出證明.

17.如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1），且被x軸分成的兩段弧之長比為2∶1，過點(diǎn)H（0，t）的直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

（1）求圓C的方程；

（2）當(dāng)t=1時(shí)，求出直線l的方程；

（3）求直線OM的斜率k的取值范圍.

18.因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a·f（x），其中f（x）=168-x-1（0≤x≤4）5-12x（4

若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用.

（1）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？

（2）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：2取1.4）.

19.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，an+1=pan+n-1（n為奇數(shù)）-an-2n（n為偶數(shù)）.

（1）若數(shù)列{bn}滿足bn=a2n+a2n+1（n≥1），試求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn；

（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=a2n，試判斷{cn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（3）當(dāng)p=12時(shí)，問是否存在n∈N*，使得（S2n+1-10）c2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由.

20.已知函數(shù)f（x）=ex+ax-1（a∈R，且a為常數(shù)）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)a<0時(shí)，若方程f（x）=0只有一解，求a的值；

（3）若對所有x≥0都有f（x）≥f（-x），求a的取值范圍.

數(shù)學(xué)附加題

21.[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分

A.選修41：幾何證明選講

如圖，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)（異于A、B），過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點(diǎn)E.求證：CB=CE.

B.選修42：矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x+y+2=0在矩陣M=1ab4對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x-y-4=0，求實(shí)數(shù)a，b的值.

C.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，圓C：ρ=10cosθ和直線l：3ρcosθ-4ρsinθ-30=0相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

D.選修45：不等式選講

解不等式|2x-4|<4-|x|.

[必做題] 第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分

22.某車站每天上午發(fā)出兩班客車，第一班客車在8：00，8：20，8：40這三個(gè)時(shí)刻隨機(jī)發(fā)出，且在8：00發(fā)出的概率為14，8：20發(fā)出的概率為12，8：40發(fā)出的概率為14；第二班客車在9：00，9：20，9：40這三個(gè)時(shí)刻隨機(jī)發(fā)出，且在9：00發(fā)出的概率為14，9：20發(fā)出的概率為12，9：40發(fā)出的概率為14.兩班客車發(fā)出時(shí)刻是相互獨(dú)立的，一位旅客預(yù)計(jì)8：10到站.求：

（1）請預(yù)測旅客乘到第一班客車的概率；

（2）旅客候車時(shí)間的分布列；

（3）旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

23.（本小題滿分10分）

設(shè)二項(xiàng)展開式Cn=（3+1）2n-1（n∈N*）的整數(shù)部分為An，小數(shù)部分為Bn.

（1）計(jì)算C1B1，C2B2的值；

（2）求CnBn.

參考答案

一、填空題

1. -1

2. {x|x>0}

3. 100

4. 60

5. 29

6. 255

7. 14

8. 22

9. 2

10. （-1，-12）∪（12，1）

11. 24

12. [1，43]

13. （1，4]

14. 5

二、解答題

15.（1）在△ABC中，因?yàn)镺B=2，∠BAO=π4，∠ABO=π-π4-θ=3π4-θ，

由正弦定理，得OBsinπ4=OAsin∠ABO，

即222=OAsin（3π4-θ），所以O(shè)A=22sin（3π4-θ）.

（2）由（1）得OA·OB=|OA|·|OB|·cosθ

=42sin（3π4-θ）·cosθ

=2（sin2θ+cos2θ）+2

=22sin（2θ+π4）+2，

因?yàn)棣取剩é?，3π4），所以2θ+π4∈（5π4，7π4），

所以當(dāng)2θ+π4=3π2，即θ=5π8時(shí)，OA·OB的最小值為2-22.

16.（1）因?yàn)锽D∥平面EFGH，

平面BDC∩平面EFGH=FG，所以BD∥FG.

同理BD∥EH，又因?yàn)镋H=FG，

所以四邊形EFGH為平行四邊形，

所以HG∥EF，又HG平面ABC，

所以HG∥平面ABC.

（2）在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)E作EP⊥AC，且交AC于P點(diǎn)，

在平面ACD內(nèi)過點(diǎn)P作PQ⊥AC，且交AD于Q點(diǎn)，

連結(jié)EQ，則EQ即為所求線段.

證明如下：

EP⊥ACPQ⊥ACEP∩PQ=PAC⊥平面EPQEQ平面EPQEQ⊥AC.

17.解：（1）因?yàn)槲挥趛軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0，1），所以圓心C在直線y=1上，

設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B，

由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2∶1，得∠ACB=2π3，

所以CA=CB=2，圓心C的坐標(biāo)為（-2，1），

所以圓C的方程為：（x+2）2+（y-1）2=4.

（2）當(dāng)t=1時(shí)，由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=mx+1，

由y=mx+1（x+2）2+（y-1）2=4得x=0y=1

或x=-4m2+1y=m2-4m+1m2+1，

不妨令M（-4m2+1，m2-4m+1m2+1），N（0，1），

因?yàn)橐訫N為直徑的圓恰好經(jīng)過O（0，0），

所以O(shè)M·ON=（-4m2+1，m2-4m+1m2+1）·（0，1）=mm2-4m+1m2+1=0，

解得m=2±3，所以所求直線l方程為y=（2+3）x+1或y=（2-3）x+1.

（3）設(shè)直線MO的方程為y=kx，

由題意知，|-2k-1|1+k2≤2，解之得k≤34，

同理得，-1k≤34，解之得k≤-43或k>0.由（2）知，k=0也滿足題意.

所以k的取值范圍是（-∞，-43]∪[0，34].

18.解：（1）因?yàn)閍=4，所以

y=648-x-4（0≤x≤4）20-2x（4

則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由648-x-4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4，

當(dāng)4

綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天.

（2）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，

y=2×（5-12x）+a（168-（x-6）-1）

=10-x+16a14-x-a=（14-x）+16a14-x-a-4，因?yàn)?4-x∈[4，8]，而1≤a≤4，

所以4a∈[4，8]，故當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4a時(shí)，y有最小值為8a-a-4，

令8a-a-4≥4，解得24-162≤a≤4，所以a的最小值為24-162≈1.6.

19.解：（1）據(jù)題意得bn=a2n+a2n+1=-4n，所以{bn}成等差數(shù)列，故Tn=-2n2-2n.

（2）當(dāng)p=12時(shí)，數(shù)列{cn}成等比數(shù)列；當(dāng)p≠12時(shí)，數(shù)列{cn}不為等比數(shù)列.

理由如下：因?yàn)閏n+1=a2n+2=pa2n+1+2n

=p（-a2n-4n）+2n=-pcn-4pn+2n，

所以cn+1cn=-p+2n（1-2p）cn，故當(dāng)p=12時(shí)，數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公比為-12等比數(shù)列；

當(dāng)p≠12時(shí)，數(shù)列{cn}不成等比數(shù)列.

（3）當(dāng)p=12時(shí)，a2n=cn=（-12）n-1，a2n+1=bn-a2n=-4n-（-12）n-1，

所以S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=-2n2-2n+2（n≥1），

∵（S2n+1-10）c2n=1，∴4n2+4n+16=4n，

設(shè)f（x）=4x-4x2-4x-16（x≥2），

則g（x）=f′（x）=4xln4-8x-4，∴g′（x）=（ln4）24x-8>0（x≥2），且g（2）=f′（2）>0，

∴f（x）在[2，+∞）遞增，且f（3）=0，f（1）≠0，

∴僅存在惟一的n=3使得（S2n+1-10）c2n=1成立.

20.（1）f′（x）=ex+a，

當(dāng)a≥時(shí)，f′（x）>0，f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，由f′（x）>0，得x>ln（-a），f（x）在（ln（-a），+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；

由f′（x）<0，得x

f（x）在（-∞，ln（-a））上是單調(diào)減函數(shù).

綜上，a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）.

a<0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（ln（-a），+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，ln（-a））.

（2）由（1）知，當(dāng)a<0，x=ln（-a）時(shí)，f（x）最小，即f（x）min=f（ln（-a）），

由方程f（x）=0只有一解，得f（ln（-a））=0，又考慮到f（0）=0，

所以ln（-a）=0，解得a=-1.

（3）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（-x）恒成立，

即得ex+ax≥e-x-ax恒成立，即得ex-e-x+2ax≥0恒成立，

令h（x）=ex-e-x+2ax（x≥0），即當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≥0恒成立.

又h′（x）=ex+e-x+2a，且h′（x）≥2ex·e-x+2a=2+2a，當(dāng)x=0時(shí)等號成立.

①當(dāng)a>-1時(shí)，h′（x）>0，

所以h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，故h（x）≥h（0）=0恒成立.

②當(dāng)a=-1時(shí)，若x=0，h′（x）=0，

若x>0，h′（x）>0，

所以h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，故h（x）≥h（0）=0恒成立.

③當(dāng)a<-1時(shí)，方程h′（x）=0的正根為

x1=ln（-a+a2-1），

此時(shí)，若x∈（0，x1），則h′（x）<0，故h（x）在該區(qū)間為減函數(shù).

所以，x∈（0，x1）時(shí)，h（x）

綜上，滿足條件的a的取值范圍是[-1，+∞）.

附加題參考答案

21.A.解析：本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力.

證明：連結(jié)AC，BE，在DC延長線上取一點(diǎn)F

因?yàn)锳B是半圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，

所以∠ACB=90°，即∠BCF+∠ACD=90°

又因?yàn)锳D⊥l，所以∠DAC+∠ACD=90°

所以∠BCF=∠DAC

又因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以∠CEB=∠BCF，

又∠DAC=∠CBE，所以∠CBE=∠CEB，

所以CE=CB.

B.解析：本小題主要考查矩陣中變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.

解：在直線l：x+y+2=0上取兩點(diǎn)A（-2，0），

B（0，-2），

A，B在矩陣M對應(yīng)的變換作用下分別對應(yīng)于點(diǎn)A′，B′，

因?yàn)?ab4-20=-2-2b，所以A′的坐標(biāo)為（-2，-2b），

1ab40-2=-2a-8，所以B′的坐標(biāo)為

（-2a，-8）.

由題意A′，B′在直線m：x-y-4=0上，

所以（-2）-（-2b）-4=0（-2a）-（-8）-4=0，

解得a=2，b=3.

C.解析：本小題主要考查直線、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.

分別將圓C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：

圓C：x2+y2=10x，即（x-5）2+y2=25，圓心C（5，0），

直線l：3x-4y-30=0.

因?yàn)閳A心C到直線l的距離d=|15-0-30|5=3，

所以AB=225-d2=8.

D.解析：本題主要考查絕對值不等式等知識，考查推理論證的能力.

當(dāng)x>2時(shí)，原不等式同解于2x-4<4-x，解得x<83，所以2

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，原不等式同解于4-2x<4-x，解得x>0，所以0

當(dāng)x<0時(shí)，原不等式同解于4-2x<4+x，解得x>0，所以x∈.

綜上所述，原不等式的解集為{x|0

22.解：（1）第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，其概率為

P=12+14=34.

（2）旅客候車時(shí)間的分布列為：

候車時(shí)間（分）1030507090

概率121414×1414×1214×14

（3）候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為

10×12+30×14+50×116+70×18+90×116

=5+152+258+354+458=30.

答：這旅客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是30分鐘.

23.解析：本題考查二項(xiàng)式定理的展開式.

（1）因?yàn)镃n=（3+1）2n-1，所以C1=3+1，A1=2，B1=3-1，

所以C1B1=2；

又C2=（3+1）3=10+63，其整數(shù)部分A2=20，小數(shù)部分B2=63-10，

所以C2B2=8.

（2）因?yàn)镃n=（3+1）2n-1=C02n-1（3）2n-1+

C12n-1（3）2n-2+…+C2n-22n-13+C2n-12n-1，①

而（3-1）2n-1=C02n-1（3）2n-1-C12n-1（3）2n-2+…+C2n-22n-1-C2n-12n-1，②

①-②得：（3+1）2n-1-（3-1）2n-1-2C12n-1（3）2n-2+C32n-1（3）2n-4+…+C2n-12n-1∈N*，

而0<（3-1）2n-1<1，所以An=（3+1）2n-1-（3-1）2n-1，Bn=（3-1）2n-1，

所以CnBn=（3+1）2n-1（3-1）2n-1=22n-1.