構(gòu)造法在高考中的妙用

波利亞說過：“構(gòu)造一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng).”數(shù)學(xué)上的構(gòu)造法就屬于這樣一種思維活動(dòng).構(gòu)造法是指當(dāng)某些問題用通常的辦法難以解決時(shí)，根據(jù)題目的條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度、用新的觀點(diǎn)觀察、分析、解釋對象，抓住條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，以已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為支架，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，使原題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清晰地表現(xiàn)出來.構(gòu)造法的巧妙之處在于，它不是直接去解決所給的問題，而是將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原問題有關(guān)的輔助的新問題，然后通過對新問題的解決來幫助解決原問題.構(gòu)造法對培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維，提高同學(xué)們對數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力有著重要的作用.現(xiàn)對其在高考中的妙用分析如下：

一、構(gòu)造圖形解題

構(gòu)造圖形的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)題目條件或結(jié)論的幾何意義或與幾何圖形之間的某種聯(lián)系，將其在圖形中反映出來，并利用圖形來處理問題.

例1（2014年北京卷第18題）已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].

（1）求證：f（x）≤0；

（2）若a

解析：（1）f（0）=0，f（π2）=-1，滿足f（x）≤0.

下證當(dāng)x∈（0，π2）時(shí)，f（x）<0，即證xcosx

如圖，P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則劣弧AP長為x，AT為正切線，

即AT=tanx，由S扇形OAP

綜上：f（x）≤0.

（2）a

對于ax

y=ax圖象的上方，由圖可知直線y=ax過點(diǎn)A（π2，1）時(shí)a取最大值2π.

對于sinx

綜上：a的最大值為2π，b的最小值為1.

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）（2）兩問的常規(guī)解法是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不僅思維難度大，而且過程也比較繁瑣，不易處理.若對題目所給式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，再?gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D形，問題的解決就變得相當(dāng)直觀而簡易.

二、構(gòu)造函數(shù)解題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，與方程、不等式有著密切的聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)就是通過分析題目的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，將解決原問題轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)的新函數(shù)及其性質(zhì).

例2（2014年湖北卷第22題）π為圓周率，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=lnxx的單調(diào)區(qū)間；

（2）比較3π與π3的大小.

解析：（1）（詳解略）f（x）的增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）.

（2）要比較3π與π3大小，可以比較ln3π與lnπ3的大小，就是比較πl(wèi)n3與3lnπ的大小，對兩數(shù)同除以3π得ln33與lnππ，由（1）知函數(shù)f（x）=lnxx在（e，+∞）上遞減，又e<3<π，所以有l(wèi)n33>lnππ，故3π>π3.

點(diǎn)評(píng)：用常規(guī)方法比較3π與π3的大小比較困難，利用第（1）小題的結(jié)論，將原式變形為ln33與lnππ，具有了相同結(jié)構(gòu)就可構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnxx，就可使用函數(shù)的單調(diào)性比較大小了.

例3（2014年浙江卷第6題）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A. c≤3B. 3

C. 69

解析：根據(jù)題意，不妨構(gòu)造函數(shù)g（x）=x3+ax2+bx+c-m，m∈（0，3]，則g（x）的三個(gè)零點(diǎn)分別為-1，-2，-3，因此有（x+1）（x+2）（x+3）=x3+ax2+bx+c-m，則c-m=6，因此c=m+6∈（6，9]，故選C.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件f（-1）=f（-2）=f（-3），可將-1，-2，-3看成一個(gè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，這樣就可以推知該函數(shù)具有y=（x+1）（x+2）（x+3）的結(jié)構(gòu)特征，據(jù)此即可利用結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出函數(shù)g（x），化難為易了.

三、構(gòu)造數(shù)列解題

在解答題中求數(shù)列的通項(xiàng)公式，題目給出的數(shù)列往往既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，而是給出首項(xiàng)和遞推公式，解答這類題目往往就需要采用構(gòu)造法，即根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，然后先求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例4（2014年廣東卷第19題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析：（1）（詳解略）a1=3，a2=5，a3=7.

（2）當(dāng)n>1時(shí)，由已知得

Sn=2nan+1-3n2-4nSn-1=2（n-1）an-3（n-1）2-4（n-1），

兩式相減得2nan+1=（2n-1）an+6n+1，

即2nan+1-4n2-6n=（2n-1）an-4n2+1，

即2n[an+1-（2n+3）]=（2n-1）[an-（2n+1）]，

令bn=an-（2n+1），則2nbn+1=（2n-1）bn①

由（1）知b1=b2=0，則由①知bn=0，所以an=2n+1，且n=1時(shí)也成立，

故an=2n+1n∈N.

點(diǎn)評(píng)：本題以構(gòu)造的新數(shù)列bn=an-（2n+1）為橋梁，先證明數(shù)列{bn}恒為零，再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，在構(gòu)造中將轉(zhuǎn)化的思想運(yùn)用得淋漓盡致.

四、構(gòu)造向量解題

在題目的條件中，如果所給的式子具有x1x2+y1y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，那么我們可以將原式變形，構(gòu)造出適合x1x2+y1y2的向量的數(shù)量積，從而化為數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行解題.

例5（2014年山東卷第9題）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤02x-y-3≥0，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時(shí)，a2+b2的最小值為（）.

A. 5B. 4C. 5D. 2

解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，因?yàn)閍>0，b>0，所以目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A（2，1）處取得最小值，故2a+b=25，其中2a+b可看成向量m=（2，1）與向量n=（a，b）的數(shù)量積，由數(shù)量積的幾何意義可知，向量m的模5與向量n在向量m上的投影之積為25，所以向量n在向量m上的投影為2，由圖可知a2+b2的最小值為4.故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題如果運(yùn)用基本不等式這一常規(guī)方法來求解，就非常煩瑣，而且同學(xué)們很難想到轉(zhuǎn)化的途徑，而上述解法則根據(jù)2a+b的結(jié)構(gòu)巧妙地構(gòu)造向量的數(shù)量積，利用其幾何意義，并結(jié)合圖形很直觀地“看”出a2+b2的最小值.整個(gè)過程思維量不大，運(yùn)算量也很小.

有思路才有出路，愿同學(xué)們在構(gòu)造法的運(yùn)用過程中迸發(fā)出更多的思路，探尋出更多的出路.

（作者：張為扣，阜寧縣第一高級(jí)中學(xué)）