“準對稱”函數(shù)問題的本源與化解

一、“準對稱”函數(shù)概念的引入

我們知道，若函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，則有f（a-x）=f（a+x）（或f（x）=f（2a-x））.倘若引入二元變量x1，x2后，該命題又可表述為：若函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，則x1+x2=2af（x1）=f（x2）.比如常見的二次函數(shù)就具備了上述典型特征.

假設上述對稱函數(shù)y=f（x）在直線x=a某一側的圖象發(fā)生了偏轉或改變，此時得到新的函數(shù)y=g（x）的圖象必然呈現(xiàn)非軸對稱狀態(tài)，于是就有：若x1+x2=2a，則g（x1）≠g（x2）；若g（x1）=g（x2），則x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.

同理，若函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱，則有f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b）.倘若引入二元變量x1，x2后，該命題又可表述為：若函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，b）中心對稱，則x1+x2=2af（x1）+f（x2）=2b.比如常見的正、反比例函數(shù)、三次函數(shù)等就具備了上述典型特征.

類似地，假設上述對稱函數(shù)y=f（x）在點（a，b）某一側的圖象發(fā)生了偏轉或改變，此時得到新的函數(shù)y=g（x）的圖象必然呈現(xiàn)非中心對稱狀態(tài)，于是就有：若x1+x2=2a，則g（x1）+g（x2）≠2b；若g（x1）+g（x2）=2b，則x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.

中學數(shù)學經(jīng)常需要研究非對稱函數(shù)的圖象特征或數(shù)量關系，為了形象貼切、便于參照理解，我們有時可將某些非對稱函數(shù)“近似地”當作“準對稱”進行研究.比如，類比對稱函數(shù)圖象特征不妨引入以下“準對稱”函數(shù)的相關概念：

若函數(shù)y=f（x）僅在x=a處取得極值，則直線x=a可視作y=f（x）的“準對稱軸”；

類似地，若點（a，f（a））是單調(diào)函數(shù)y=f（x）的拐點（凸曲線與凹曲線的連接點），則點（a，f（a））可視作y=f（x）的“準對稱中心”.

二、“準對稱”函數(shù)問題的化解

基于對稱函數(shù)存在著等量關系的特性，非對稱函數(shù)相應存在著不等關系的數(shù)量特征，因而在非對稱函數(shù)中蘊含了許多豐富的不等式問題、變量取值范圍問題，近年來很多高考或質(zhì)檢的函數(shù)壓軸試題經(jīng)常以此為素材，綜合考查同學們的創(chuàng)新能力和數(shù)學素養(yǎng).非對稱函數(shù)問題若能參照對稱函數(shù)問題在“準對稱”的狀態(tài)下進行合理對照遷移，便可使我們清晰順暢地追溯數(shù)學命題的本源，有利于我們把握數(shù)學問題的實質(zhì)和關鍵所在，從而找準解題的切入點.

例1（2010天津理數(shù)）已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈R）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明當x>1時，f（x）>g（x）；

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明x1+x2>2.

解析：本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.第（1）小題由f′（x）=（1-x）e-x可得：f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞），故其在x=1處取得極大值f（1）=1e；第（2）小題關鍵構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），利用導數(shù)知識證明F（x）>0在（1，+∞）上恒成立；第（3）小題只要利用第（2）小題的不等式模型結合第（1）小題的函數(shù)單調(diào)性即可得證.

然而，對于這樣一道典型的高考試題不應僅停留在就題解題上，假如本題沒有第（2）小題作鋪墊提示，恐怕第（3）小題很多人就無從下手了；但有了第（2）小題，則第（3）小題純粹只剩下代換轉化、變形整理等基本工作了.對于本題解答大多同學都是似懂非懂、云里霧里的被動接受.老師認為：掌握本題的關鍵應在于弄清問題產(chǎn)生的背景，實際上我們由第（1）小題結果以及函數(shù)值的符號、趨勢，不難勾勒出函數(shù)f（x）=xe-x的圖象（如圖），圖中直線x=1是函數(shù)f（x）=xe-x的“準對稱軸”，由于“準對稱軸”兩邊增減幅度不同，當f（x1）=f（x2）時，可直觀得到：x1+x2>2，這就是第（2）、（3）小題的問題來源.

下面我們從代數(shù)角度分析證明思路：（根據(jù)已知條件，不妨預設x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）.

x1+x2>2x1>2-x2（注意到x1，2-x2均小于1）

f（x1）>f（2-x2）（f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增）

f（x2）>f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2））

f（x）>f（2-x）在（1，+∞）上成立

F（x）=f（x）-f（2-x）>0在（1，+∞）上成立.

于是解決問題的切入點轉為常規(guī)的構造函數(shù)運用導數(shù)知識證明不等式恒成立問題.

點評：這種對照函數(shù)圖象分析問題的方式或許更為自然合理、形象直觀，尤其是對第（1）、（2）小題的設置緣由變得更加明朗清晰，從而讓同學們站在更高層面審視數(shù)學問題的來龍去脈，同時也使本題解法更具主動性、深刻性和廣闊性！另外，用“準對稱”眼光看待函數(shù)圖象，讓普通的非對稱函數(shù)曲線不再枯燥生硬，變得更為親切貼近、更具美感靈氣！

例2（2011年遼寧理21）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設a>0，證明：當0

f（1a+x）>f（1a-x）；

（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f′（x0）<0.

解析：本題與例1有著異曲同工之妙！

先由f′（x）=1x-2ax+2-a=-（2x+1）（ax-1）x（x>0）得到：i）若a≤0，則f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

ii）若a>0，f（x）在（0，1a）上單調(diào)遞增；在（1a，+∞）上單調(diào)遞減.

結合函數(shù)定義域及函數(shù)值變化趨勢作出f（x）的示意圖：

當a>0，圖中直線x=1a是函數(shù)f（x）的“準對稱軸”，由“準對稱軸”兩邊增減幅度不同，可先直觀“承認”第（2）小題中的不等關系，進而得到第（3）小題中兩個零點x1，x2（02a，即x0>1a.再代入f′（x）=-（2x+1）（ax-1）x（x>0）中便可得f′（x0）<0.

于是第（3）小題可由第（2）小題中的結論等價得到：f（2a-x1）>f（x1）=f（x2），再結合f（x）在（1a，+∞）上單調(diào)遞減證得x1+x2>2a，以此入手便可實現(xiàn)本題證明.

例3已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，a為常數(shù).

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2，試證明：x1x2>e2.

解析：本題第（2）小題原始解答十分繁瑣，讓人摸不透問題的主線.其實由（1）求得：

i）若a≤0，則f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

ii）若a>0，f（x）在（0，1a）上單調(diào)遞增；在（1a，+∞）上單調(diào)遞減.

當f（1a）>0即02a，即ax1+ax2>2.

再根據(jù)f（x1）=f（x2）=0替換為lnx1+lnx2>2，從而得到x1x2>e2.

點評：從上述高考典例可以看出：借助圖形直觀以及“準對稱”的觀點，可讓我們形象感知數(shù)量不等關系在“準對稱”函數(shù)模型中的客觀存在和解題意義，大大降低了思維的抽象性和問題的門檻，并且這種“準對稱”函數(shù)問題在近年高考函數(shù)壓軸題型中嶄露頭角，方興未艾，應引起我們足夠的重視和關注！

例4已知函數(shù)f（x）=lnx+12x2-2x+32.

（1）若f′（x1）=f′（x2），求x1+x2的取值范圍；

（2）若x1+x2=2，試判斷f（x1）+f（x2）的符號；

（3）若f（x1）+f（x2）=0，求x1+x2的取值范圍.

解析：由f′（x）=1x+x-2=（x-1）2x≥0得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，且注意到f′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，于是函數(shù)f（x）的圖象在（0，1）上呈上凸，在（1，+∞）上呈下凸，點P（1，0）是拐點（如圖）.類似的，點P（1，0）是函數(shù)f（x）的“準對稱中心”，由于點P（1，0）左右兩邊增速不同，可憑圖形直觀得到：

若x1+x2=2，則f（x1）+f（x2）≤0（當且僅當x1=x2時取“=”）；

若f（x1）+f（x2）=0，則x1+x2≥2（當且僅當x1=x2時取“=”）.

據(jù)此，可猜想第（3）小題中x1+x2的取值范圍為[2，+∞）.理由可類比例1分析如下：

（根據(jù)已知條件，不妨預設x1∈（0，1]，x2∈[1，+∞））

x1+x2≥2x2≥2-x1（注意到x2，2-x1均不小于1）

f（x2）≥f（2-x1）（f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增）

-f（x1）≥f（2-x1）（已知f（x1）+f（x2）=0）

-f（x）≥f（2-x）在（0，1]上成立

F（x）=f（x）+f（2-x）≤0在（0，1]上成立.

利用導數(shù)知識可求得F（x）max=F（1）=0，從而上述猜想得證.

點評：老師主張借助函數(shù)圖象以直觀感知、形象對照為認識手段，在獲得相關猜想的基礎上再給出推理論證，這樣做可以為同學們鋪設合適的學習臺階，減少難度，又可以為同學們理解抽象的非對稱函數(shù)性質(zhì)提供有力的支撐，使“準對稱”函數(shù)的學習過程通俗化、形象化，有助于培養(yǎng)同學們的數(shù)學核心思維能力，并逐步形成處理“準對稱”函數(shù)問題的通性通法！