變量的“存在性”與“任意性”問題的解法例談

在“有解”或“恒成立”背景下求變量的取值范圍，一直是同學(xué)們學(xué)習的難點，同時也是考試命題時的熱點.試題大多涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)的性質(zhì)等知識點，全面考查對概念的理解和思維的靈活性，能體現(xiàn)同學(xué)們分析問題和解決問題的綜合能力.解決此類問題的關(guān)鍵是要聯(lián)系函數(shù)的圖象和性質(zhì)，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析和轉(zhuǎn)化問題.

一、單變量型“存在性”與“任意性”問題

例1設(shè)函數(shù)f（x）=x2，g（x）=x+ax（a∈R），若存在x0∈[1，3]，使得f（x0）=g（x0）成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析：（分離參數(shù)法）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x2-x-ax，則原題可轉(zhuǎn)化為：x0∈[1，3]，使得h（x0）=0，即h（x）=0在[1，3]上有解.h（x）=x2-x-ax=x3-x2-ax=0，則x3-x2-a=0在[1，3]上有解，分離參數(shù)得：x3-x2=a，則a的取值范圍即為函數(shù)y=x3-x2在[1，3]上的值域，易得實數(shù)a的取值范圍為[0，18].

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x3，g（x）=-x2+x-29a，若對x0∈[-1，a3]（a>0），有不等式f（x0）>g（x0）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析：（最值法）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x3+x2-x+29a，則原題可轉(zhuǎn)化為：h（x）>0在[-1，a3]上恒成立，即h（x）min>0，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）在區(qū)間[-1，a3]上的最小值.

∵h′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1），則h（x）在（-∞，-1）和（13，+∞）上單調(diào)遞增，在[-1，13]上單調(diào)遞減，又x0∈[-1，a3]（a>0），則

①當00，解得：a∈（-3+212，1]；

②當a>1時，h（x）在[-1，13]上單調(diào)遞減，在[13，a3]上單調(diào)遞增，則h（x）min=h（13）=-527+29a>0a>56，即a∈（1，+∞）.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為：a∈（-3+212，+∞）.

方法歸納：一般地，函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間上有以下結(jié)論：（其中M為常數(shù)）

（1）f（x）>M恒成立f（x）min>M；f（x）

（2）f（x）>M有解f（x）max>M；f（x）

二、雙變量型“存在性”與“任意性”問題

例3設(shè)函數(shù)f（x）=ax+sinx+cosx，若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點A，B，使得曲線y=f（x）在點A，B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析：f′（x）=a+cosx-sinx=-2sin（x-π4）+a，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意得：x1，x2（x1≠x2），使得f′（x1）·f′（x2）=-1f′（x1）=-1f′（x2），則問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f′（x1）的值域與函數(shù)-1f′（x2）的值域有交集即可.因為f′（x）的值域為[a-2，a+2]，故

①當a+2<0，即a<-2時，f′（x1）∈[-2+a，2+a]，-1f′（x2）∈[-1a-2，-1a+2]，則f′（x1）<0，但-1f′（x2）>0，故無交集；

②當a-2>0，即a>2時，同理可得無交集；

③當a-2<0a+2>0，即-2

f′（x1）∈[-2+a，2+a]，-1f′（x2）∈（-∞，-1a+2]∪[-1a-2，+∞），則有a-2≤-1a+2或a+2≥-1a-2，解得：a∈[-1，1].

④當a=±2時，不符合題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為[-1，1].

例4設(shè)a>1，若對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程logax+logay=3，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析：由logax+logay=3得：logax=3-logay，設(shè)f（x）=logax，g（y）=3-logay，因為x∈[a，2a]，y∈[a，a2]，則f（x）∈[1，1+loga2]，g（y）∈[1，2]，由題意得：[1，1+loga2][1，2]，則1+loga2≤2a∈（1，2].

例5已知f（x）=x2，g（x）=（12）x-m，若對任意x1∈[-1，3]，總存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是.

解析：對任意x1∈[-1，3]，總存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立f（x1）min≥g（x2）min，

因為函數(shù)f（x）=x2在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，3]上單調(diào)遞增，則f（x1）min=f（0）=0，又因為函數(shù)g（x）=（12）x-m在[0，2]上單調(diào)遞減，則g（x2）min=g（2）=14-m，故0≥14-mm≥14.

方法歸納：類型1：“x1∈（a，b），x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等價于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）時，f（x1）min≥f（x2）min”；

類型2：“x1∈（a，b），x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等價于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）時，f（x1）min≥f（x2）max”；

類型3：“x1∈（a，b），x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等價于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）時，f（x1）max≥f（x2）min”；

類型4：“x1∈（a，b），x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）恒成立”等價于“x1∈（a，b），x2∈（c，d）時，f（x1）max≥f（x2）max”.

三、多變量型“存在性”與“任意性”問題

例6已知a>0，-2a

分析：這是一個看起來不像函數(shù)但本質(zhì)上是函數(shù)的問題，函數(shù)化是關(guān)鍵，注意題設(shè)與結(jié)論都是齊次式，而且注意到結(jié)論的分母是a，因此選ba作為整體變量.

解析：由a+b+c=0，得b2-3aca2=b2+3a（a+b）a2=b2+3a2+3aba2=（ba）2+3（ba）+3

=[（ba）+32]2+34，再由a>0，-2a

方法歸納：由等量代換把c消去，變成關(guān)于a，b的函數(shù)，而a，b兩變量之間只有不等關(guān)系，通過變量集中，可以看成關(guān)于ba的函數(shù).函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，大部分數(shù)學(xué)問題都有函數(shù)的影子，因此常說高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是一條主線，我們應(yīng)學(xué)會用函數(shù)思想看問題.

例7函數(shù)f（x）=3x+a與函數(shù)g（x）=3x+2a在區(qū)間（b，c）上都有零點，則a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2的最小值為.

解析：由單調(diào)遞增的一次函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（b，c）上都有零點，得：3b+a<0（1）3c+a>0（2）3b+2a<0（3）3c+2a>0（4），

故：（1）+（3）得：6b+3a<0a+2b<0；（2）+（4）得：6c+3a>0a+2c>0.

又因為a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2=a（a+2b）+2c（a+2b）（b-c）2

=4×（a+2b）（a+2c）[（a+2b）-（a+2c）]2

=4×（a+2b）（a+2c）（a+2b）2+（a+2c）2-2（a+2b）（a+2c）

=4×1a+2ba+2c+a+2ca+2b-2，

由a+2b<0，a+2c>0得：a+2ba+2c+a+2ca+2b≤-2，故a+2ba+2c+a+2ca+2b-2≤-4，即

1a+2ba+2c+a+2ca+2b-2≥-14，故a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2的最小值為-1.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學(xué)）