高考數(shù)學(xué)解答題的解題策略

“小題誠可貴，大題價更高”.那么面對高考中的解答題，我們該如何勇闖“解答關(guān)”呢？本文或許對同學(xué)們有所啟示.

第一部分、理論篇

一、宏觀上做到五個“三”

在數(shù)學(xué)高考中，解答題通常是綜合性問題.這類問題從題設(shè)到結(jié)論，從題型到內(nèi)容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計的多樣性.

首先，在審題思考中，要把握好“三性”：（1）目的性：明確解題結(jié)果的終極目標(biāo)和每一步驟分項目標(biāo).（2）準(zhǔn)確性：提高概念把握的準(zhǔn)確性和運算的準(zhǔn)確性.（3）隱含性：注意題設(shè)條件的隱含性.審題這第一步，不要怕慢，其實慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準(zhǔn)確性的前提和保證.

其次，要善于將原問題“三化”：（1）問題具體化（包括抽象函數(shù)用具有相同性質(zhì)的具體函數(shù)作為代表來研究，字母用常數(shù)來代表）.即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關(guān)系具體明確，有時可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應(yīng)用到具體的解題過程中去.（2）問題簡單化.即把綜合問題分解為與各相關(guān)知識相聯(lián)系的簡單問題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式.（3）問題和諧化.即強調(diào)變換問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式符合數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點，或者突出所涉及的各種數(shù)學(xué)對象之間的知識聯(lián)系.

第三，解答時要學(xué)會“三轉(zhuǎn)”：（1）語言轉(zhuǎn)換能力.每個數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成.解綜合題往往需要較強的語言轉(zhuǎn)換能力.還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力.（2）概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力.（3）數(shù)形轉(zhuǎn)換能力.解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上找出解題思路.運用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會出現(xiàn)漏洞.

第四，探求解題思路時要學(xué)會善于“三聯(lián)”：（1）聯(lián)系相關(guān)知識.（2）連接相似問題.（3）聯(lián)想類似方法.

第五，解答時要注意“三思”：（1）思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多的特點，因此，審題時應(yīng)考慮多種解題思路.（2）思想：高考綜合題的設(shè)置往往會突顯考查數(shù)學(xué)思想方法，解題時應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的運用.（3）思辯：即在解綜合題時注意思路的選擇和運算方法的選擇.

二、微觀上的解題策略調(diào)控

1.解答題整體難易與作答策略分析

解答題前兩題作答策略.解答題前兩題一般是三角函數(shù)或者解三角形及立體幾何，這兩題一般都是簡單題，所以這兩題要力爭滿分，解題過程多是直接展開條件，運算要熟練、準(zhǔn)確，一次成功.尤其要注意表達(dá)規(guī)范，因為是兩個最簡單的解答題，大部分同學(xué)都會做，評卷時常是看能否扣掉幾分.

后四個解答題作答策略.后四個解答題一般是解析幾何應(yīng)用題，函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，數(shù)列等內(nèi)容的解答題，由于每個解答題一般設(shè)置多個小問題，往往第一小問較易入手，一般有3～6分的送分，體現(xiàn)人性化設(shè)計，穩(wěn)定同學(xué)們情緒.所以要爭取第一問不丟分，即把每個題的第一問做出來，然后集中突破以下小問.

2.面對難題，講究策略，爭取得分

會做的題目當(dāng)然要力求做對、做全、得滿分，而更多的問題是對不能全面完成的題目如何分段得分.下面有兩種常用方法.

（1）缺步解答

對一個疑難問題，確實啃不動時，一個明智的解題策略是：將它劃分為一個個子問題或一系列的步驟，先解決問題的一部分，即能解決到什么程度就解決到什么程度，能演算幾步就寫幾步，每進(jìn)行一步就可得到這一步的分?jǐn)?shù).如把最初的文字語言譯成符號語言，把條件和目標(biāo)譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)應(yīng)用題中的未知數(shù)，設(shè)軌跡題中的動點坐標(biāo)，依題意正確畫出圖形等；還有像完成數(shù)學(xué)歸納法、分類討論、反證法的第一步等也能得分.而且也有可能在上述處理中，從感性到理性，從特殊到一般，從局部到整體，產(chǎn)生頓悟，形成思路，獲得解題成功.

（2）跳步解答

解題過程卡在一中間環(huán)節(jié)上時，可以承認(rèn)中間結(jié)論，往下推，看能否得到正確結(jié)論，如得不出，說明此途徑不對，立即改變方向，尋找其他途徑；如能得到預(yù)期結(jié)論，就再回頭集中力量攻克這一過渡環(huán)節(jié).若因時間限制，中間結(jié)論來不及得到證實，就只好跳過這一步，寫出后繼各步，一直做到底；另外，若題目有兩問，第一問做不上，可以認(rèn)為第一問“已知”，完成第二問，這都叫跳步解答.也許后來由于解題的正遷移對中間步驟想起來了或在時間允許的情況下，經(jīng)努力而攻下了中間難點，可在相應(yīng)題尾補上.

3.策略思想方法的選用

用分析法和綜合法結(jié)合起來思考問題.先從條件出發(fā)，使用綜合法，把條件展開；再從結(jié)論出發(fā)，找出使結(jié)論成立的條件，即用分析法.即同時展開條件和結(jié)論，其結(jié)果在中間相遇，則題目可獲解.其思考的一般模式是：從已知到可知，從未知到需知，已知與未知的溝通，問題便獲解決.

數(shù)學(xué)思想方法的運用.函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想的運用.一般地，函數(shù)導(dǎo)數(shù)題和解析幾何題要注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)方程思想，分類討論思想的運用，數(shù)列題要注意化歸思想的運用，化歸為等差數(shù)列，等比數(shù)列問題.

正難則反.在解綜合題時，既要注意到問題的正面，同時還要考慮問題的反面.先從正面入手求解，當(dāng)正面思考面臨困境時，則從反面來思考問題.

觀察，比較，合情推理，大膽猜想，小心求證.

第二部分、實戰(zhàn)篇

解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次，低檔題主要考查基礎(chǔ)知識和基本方法與技能，中檔題主要考查數(shù)學(xué)思想方法和運算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想像能力，高檔題主要考查靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力及分析問題和解決問題的能力.

解答題的解題步驟：1.分析條件，弄清問題.2.規(guī)范表達(dá)，實施計劃.3.演算結(jié)果，回顧反思.

解答題的解題策略：1.從條件入手——分析條件，化繁為簡，注重隱含條件的挖掘；2.從結(jié)論入手——執(zhí)果索因，搭好聯(lián)系條件的橋梁；3.回到定義和圖形中來；4.換一個角度去思考；5優(yōu)先作圖觀察分析，注意挖掘隱含條件；6.注重通性通法，強化得分點.

下文舉例說明，供大家參考.

典型問題1：三角變換與解三角形問題

例1在△ABC中，若acos2C2+ccos2A2=32b.

（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；

（2）求角B的取值范圍.

解題思路分析：（1）化簡變形

用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系變形證明

（2）用余弦定理表示角

用基本不等式求范圍確定角的取值范圍

規(guī)范解答：（1）證明：因為acos2C2+ccos2A2=a·1+cosC2+c·1+cosA2=32b，

所以a+c+（acosC+ccosA）=3b，

故a+c+（a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2-a22bc）=3b，整理，得a+c=2b，

故a，b，c成等差數(shù)列.

（2）解：cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-（a+c2）22ac=3（a2+c2）-2ac8ac≥6ac-2ac8ac=12，

因為0

反思解題過程：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)注出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

第四步：回顧反思，在實施邊角互化的時候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一般有兩種思路：一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形.

典型問題2：立體幾何中的基本關(guān)系與基本量問題

例2在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，

點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的內(nèi)角平分線上，且∠EBF=60°.

（1）求證：DE∥平面ABC；

（2）求多面體ABCDE的體積.

解題思路分析：在平面ABC內(nèi)作輔助線OF→證明DE∥OF→將多面體ABCDE分割→求兩個三棱錐體積之和.

規(guī)范解答：（1）證明：由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，

取AC中點O，連結(jié)DO，則B、F、O三點共線，則BO⊥AC，DO⊥AC.

∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，則EF∥DO，求得EF=DO=3，

∴四邊形DEFO是平行四邊形，DE∥OF.

∵DE平面ABC，OF平面ABC，∴DE∥平面ABC.

（2）解：∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，∴OB⊥平面ACD.

又∵DE∥OB，∴DE⊥平面ACD.

∴三棱錐EDAC的體積V1=13S△DAC·DE=13·3·（3-1）=3-33.

又三棱錐EABC的體積V2=13S△ABC·EF=13·3·3=1，

∴多面體ABCDE的體積為V=V1+V2=6-33.

反思解題過程：

第一步：畫出必要的輔助線，根據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化.

第二步：寫出推證平行或垂直所需條件，注意條件要充分.

第三步：明確寫出所證結(jié)論.

第四步：對幾何體進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化（分割或拼補）.

第五步：分別計算幾何體的體積并求和.

第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點及答題規(guī)范.

典型問題3：解析幾何中的探索性問題

例3已知定點C（-1，0）及橢圓x2+3y2=5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點.

（1）若線段AB中點的橫坐標(biāo)是-12，求直線AB的方程；

（2）在x軸上是否存在點M，使MA·MB為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解題思路分析：設(shè)AB的方程y=k（x+1）→待定系數(shù)法求k→寫出方程；設(shè)M存在即為（m，0）→求MA·MB→在MA·MB為常數(shù)的條件下求m.

規(guī)范解答：解：（1）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），

將y=k（x+1）代入x2+3y2=5，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則Δ=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）>0，①x1+x2=-6k23k2+1.②

由線段AB中點的橫坐標(biāo)是-12，得x1+x22=-3k23k2+1=-12，解得k=±33，適合①.

所以直線AB的方程為x-3y+1=0或x+3y+1=0.

（2）假設(shè)在x軸上存在點M（m，0），使MA·MB為常數(shù).

（?。┊?dāng)直線AB與x軸不垂直時，由（1）知x1+x2=-6k23k2+1，x1x2=3k2-53k2+1.③

所以MA·MB=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）

=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2.

將③代入，整理得MA·MB=（6m-1）k2-53k2+1+m2

=（2m-13）（3k2+1）-2m-1433k2+1+m2=m2+2m-13-6m+143（3k2+1）.

注意到MA·MB是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m+14=0，m=-73，此時MA·MB=49.

（ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點A、B的坐標(biāo)分別為（-1，23）、（-1，-23），

當(dāng)m=-73時，也有MA·MB=49.

綜上，在x軸上存在定點M（-73，0），使MA·MB為常數(shù).

反思解題過程：

第一步：假設(shè)結(jié)論存在.

第二步：以存在為條件，進(jìn)行推理求解.

第三步：明確規(guī)范表述結(jié)論.若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè).

第四步：反思回顧.查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范.如本題中第（1）問容易忽略Δ>0這一隱含條件.第（2）問易忽略直線AB與x軸垂直的情況.

典型問題4：函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題

例4已知函數(shù)f（x）=2ax-a2+1x2+1（x∈R）.其中a∈R.

（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）當(dāng)a≠0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值.

解題思路分析：（1）①求y=f′（x）；②求f′（2）；③寫出切線方程.

（2）①求y=f′（x）并對式子進(jìn)行整理；②根據(jù)a的范圍分別寫出單調(diào)區(qū)間與極值.

規(guī)范解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=2xx2+1，

f（2）=45，

又f′（x）=2（x2+1）-2x·2x（x2+1）2=2-2x2（x2+1）2，

f′（2）=-625.

所以，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-45=-625（x-2），

即6x+25y-32=0.

（2）f′（x）=2a（x2+1）-2x（2ax-a2+1）（x2+1）2

=-2（x-a）（ax+1）（x2+1）2.

由于a≠0，以下分兩種情況討論.

①當(dāng)a>0，令f′（x）=0，得到x1=-1a，x2=a.

當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x（-∞，-1a）-1a（-1a，a）a（a，+∞）

f′（x）-0+0-

f（x）遞減極小值遞增極大值遞減

所以f（x）在區(qū)間（-∞，-1a），（a，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（-1a，a）內(nèi)為增函數(shù).

函數(shù)f（x）在x1=-1a處取得極小值f（-1a），且f（-1a）=-a2.

函數(shù)f（x）在x2=a處取得極大值f（a），且f（a）=1.

②當(dāng)a<0時，令f′（x）=0，得到x1=a，x2=-1a，

當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x（-∞，a）a（a，-1a）-1a（-1a，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）遞增極大值遞減極小值遞增

所以f（x）在區(qū)間（-∞，a），（-1a，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（a，-1a）內(nèi)為減函數(shù).函數(shù)f（x）在x1=a處取得極大值f（a），且f（a）=1.函數(shù)f（x）在x2=-1a處取得極小值f（-1a），且f（-1a）=-a2.

反思解題過程：

第一步：確定函數(shù)的定義域.如本題函數(shù)的定義域為R.

第二步：求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）.

第三步：求方程f′（x）的根.

第四步：利用f′（x）=0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列出表格.

第五步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論.

第七步：反思回顧.查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范.如本題中f′（x）=0的根為x1=-1a，x2=a.要確定x1，x2的大小，就必須對a的正、負(fù)進(jìn)行分類討論.這就是本題的關(guān)鍵點和易錯點.

（作者：嚴(yán)俊，太倉市明德高級中學(xué)）