高考解幾試題中的“算兩次”思想

在高考解幾試題中，有一類關(guān)于直（曲）線與曲線的相交的位置關(guān)系問題，在這類問題中，我們可以把同一個(gè)對(duì)象用兩種不同的方法進(jìn)行表征，即將同一個(gè)對(duì)象“算兩次”，從而達(dá)到解決問題的目的，下面通過幾例以示說明：

一、同一個(gè)三角形“算兩次”

例1（2014年湖北卷）已知F1、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=π3，則橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）

A. 433B. 233C. 3D. 2

解析：設(shè)|F1F2|=2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a2，在△F1PF2中，由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a1，由雙曲線的定義不妨設(shè)|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，由正弦定理易得|PF1||F1F2|=sin∠PF2F1sin∠F1PF2，所以橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和a1c+a2c=2|PF1||F1F2|=4sin∠PF2F13≤433，故選A.

評(píng)注：本題將焦點(diǎn)三角形PF1F2分別應(yīng)用橢圓和雙曲線的定義，圍繞該圖形各自計(jì)算，獲得方程后，再解出PF1、PF2，實(shí)際上是對(duì)同一個(gè)三角形的“算兩次”.

二、同一條線段“算兩次”

例2（2014年江西卷）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，過F2作x軸的垂線與C相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于.

解析：容易求得A（c，b2a），所以|AB|=2b2a，

又在△F1F2B中，由于OD∥BF2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴D為F1B的中點(diǎn)，且AD⊥F1B，所以|AF1|=|AB|，又|AF1|=|BF1|，所以△F1AB為正三角形，

所以|AB|=|AB|+|AF1|+|BF1|3=4a3，所以2b2a=4a3，∴（ba）2=23，故橢圓C的離心率為e=ca=1-（ba）2=33，故應(yīng)填33.

評(píng)析：對(duì)于線段|AB|，既可看作是三角形的一邊，也可看作是橢圓C的弦，解題時(shí)，一邊解三角形，一邊求弦長(zhǎng)，等式便水到渠成.

三、同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)“算兩次”

例3（2014年浙江卷）設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）兩條漸近線分別交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是.

解析：由x-3y+m=0bx+ay=0解得xA=-ama+3b，

由x-3y+m=0bx-ay=0解得xB=-ama-3b，

由x-3y+m=0y=-3（x-m）解得x=4m5，則4m5為AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

所以8m5=-ama+3b+-ama-3b，化簡(jiǎn)得a2=4b2，所以，雙曲線的離心率為1+（ba）2=52，故填52.

評(píng)析：線段AB的中點(diǎn)也是直線與直線的交點(diǎn)，因該點(diǎn)具有二重性，從而為其坐標(biāo)提供了兩種不同的算法，因而也就尋得了解決問題的突破口.

四、同一條直線的斜率“算兩次”

例4（2014年四川卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于P、Q，求證：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

解析：（1）容易求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1.

（2）設(shè)直線PQ的方程為x=ty-2，則kFT=-t，所以T（-3，t），則kOT=-t3，

由x=ty-2x26+y22=1得（t2+3）y2-4ty-2=0，則易得PQ中點(diǎn)S的坐標(biāo)為（-6t2+3，2tt2+3），所以kOS=-t3.

所以O(shè)、S、T三點(diǎn)共線，即OT平分線段PQ.

評(píng)注：三點(diǎn)共線問題，通過其中任兩點(diǎn)均可確定直線的斜率，因而可選擇對(duì)直線的斜率進(jìn)行“算兩次”，達(dá)到解題之目的.

由上可見，在解幾試題中，常?？蓪⒁粋€(gè)量置于兩種不同的背景中分別計(jì)算，從而獲得方程.通過這種“算兩次”的思想方法去解決問題，不僅能溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的內(nèi)在聯(lián)系，有效檢測(cè)同學(xué)們思維的發(fā)散性與聚合性，而且對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新意識(shí)也大有裨益，值得我們重視.

（上接第68頁(yè)）

所以CD=12（CA+CB）.（1）

由DP=λPC，DP+PC=（1+λ）PC，CD=CP+PD=（1+λ）CP.（2）

同理由AE=λ1EC，得CA=（1+λ1）CE，（3）

BF=λ2FC，得CB=（1+λ2）CF.（4）

將（2）、（3）、（4）式代入（1）得

CP=12（1+λ）[（1+λ1）CE+（1+λ2）CF].

因?yàn)镋、P、F三點(diǎn)共線，所以1+λ12（1+λ）+1+λ22（1+λ）=1，

再由λ1+λ2=1，解之得λ=12.

（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P為△ABC的重心.

所以，x=1-1+x03，y=2+0+y03.

解得x0=3x，y0=3y-2，代入y20=4x0得，（3y-2）2=12x.

由于x0≠1，故x≠3.

所求軌跡方程為（3y-2）2=12x（x≠3）.