函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點大揭秘

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是貫穿高中數(shù)學(xué)的主線，也是高考命題的熱點和難點.下面老師就函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的核心考點進行盤點，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考.

一、函數(shù)的定義域與值域

例1（1）（2014山東卷理，3）函數(shù)f（x）=1（log2x）2-1的定義域為.

（2）已知函數(shù)y=log2[2x2-（m+3）x+2m]的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍為.

解析：（1）欲使原函數(shù)有意義，則需（log2x）2-1>0，即log2x>1或log2x<-1，解得x>2或0

（2）∵函數(shù)y=log2[2x2-（m+3）x+2m]的值域為R，∴f（x）=2x2-（m+3）x+2m的函數(shù)值能取遍所有正數(shù)，∴Δ=[-（m+3）]2-4×2×2m≥0，即m2-10m+9≥0，∴m≤1或m≥9，故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]∪[9，+∞）.

評注：本題第（1）小題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的定義域等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.求函數(shù)的定義域即求使函數(shù)有意義的自變量的取值集合，尤其要注意對含對數(shù)、分式和根式等函數(shù)定義域的求解問題.解對數(shù)不等式除了注意其本身外，還需要注意其中蘊含的條件“真數(shù)大于零”.處理第（2）小題時，注意“函數(shù)y=log2[2x2-（m+3）x+2m]的定義域為R”和“函數(shù)y=log2[2x2-（m+3）x+2m]的值域為R”的區(qū)別，謹(jǐn)防出現(xiàn)錯解.

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

例2（1）（2014全國新課標(biāo)卷II理，15）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0.若f（x-1）>0，則x的取值范圍是.

（2）（2013天津卷文，7）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），則a的取值范圍是.

解析：（1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（x-1）=f（|x-1|），所以由f（x-1）>0得f（|x-1|）>f（2），由單調(diào)性得|x-1|<2，解得-2

（2）由題意知a>0，又log12a=-log2a，且f（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（log2a）=f（-log2a）=f（log12a）.由f（log2a）+f（log12a）≤2f（1）可知，2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1）.又因f（x）在[0，+∞）上遞增，所以|log2a|≤1，即-1≤log2a≤1，解得a∈[12，2].

評注：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等知識，解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式常常需要結(jié)合圖象特征求解，而圖象的形態(tài)主要由奇偶性和單調(diào)性控制，位置由指定點控制.結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，就能實現(xiàn)“化抽象為直觀”、“化抽象為具體”，從而有效地解決相關(guān)問題.

例3（1）（2014安徽卷文，14）若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=x（1-x），0≤x<1sinπx，1

（2）（2012江蘇卷，10）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x<0，bx+2x+1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f（12）=f（32），則a+3b的值為.

解析：（1）因為函數(shù)f（x）周期是4，且在[0，2]上的解析式為f（x）=x（1-x），0≤x<1sinπx，1

=-f（34）-f（76）=-34×14-sin76π=516.

（2）因為f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以f（-1）=f（1），即-a+1=b+22①；又f（32）=f（-12）=-12a+1，f（12）=f（32），所以-12a+1=b+43②；聯(lián)立①②，解得a=2，b=-4，所以a+3b=-10.

評注：本題第（1）小題考查函數(shù)的周期性、奇偶性以及特殊角的三角求值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.第（2）小題考查分段函數(shù)求值、函數(shù)的周期性等知識，突破的關(guān)鍵在于利用周期性找出關(guān)系式f（-1）=f（1）.

三、函數(shù)的圖象與解析式

例4（2014湖北卷文，）如圖所示，函數(shù)y=f（x）的圖象由兩條射線和三條線段組成.若x∈R，f（x）>f（x-1），則正實數(shù)a的取值范圍為.

解析：“x∈R，f（x）>f（x-1）”等價于“函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x-1）的圖象的上方”，函數(shù)y=f（x-1）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移一個單位得到的，如下圖所示.因為a>0，由圖知6a<1，所以a的取值范圍為（0，16）.

評注：本題考查函數(shù)圖象的平移及數(shù)形結(jié)合思想，其突破的難點在于如何表示“x∈R，f（x）>f（x-1）”，將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象問題是本題快速求解的關(guān)鍵.

例5（2014陜西卷文，10）如下圖所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為.

解析：由題意可知，該三次函數(shù)的圖象過原點，則其常數(shù)項為0，不妨設(shè)其解析式為y=f（x）=ax3+bx2+cx，則f′（x）=3ax2+2bx+c，∴f′（0）=-1，f′（2）=3，可得c=-1，3a+b=1.又y=ax3+bx2+cx過點（2，0），∴4a+2b=1，∴a=12，b=-12，c=-1，∴f（x）=12x3-12x2-x.

評注：本題考查同學(xué)們運用函數(shù)知識解決實際問題的能力和圖形觀察能力.三次函數(shù)是高中階段的一類重要函數(shù)，其圖象和性質(zhì)需要利用導(dǎo)數(shù)來解決，其導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，在函數(shù)學(xué)習(xí)中起著重要作用，需要熟練掌握.

四、一次函數(shù)和二次函數(shù)

例6已知函數(shù)f（x）=x2-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m.

（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a=0時，若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若函數(shù)y=f（x）（x∈[t，4]）的值域為區(qū)間D，是否存在常數(shù)t，使區(qū)間D的長度為7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由（注：區(qū)間[p，q]的長度為q-p）.

解析：（1）因為函數(shù)f（x）=x2-4x+a+3的對稱軸是x=2，所以f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù).因為函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，則必有：f（1）≤0f（-1）≥0即a≤0a+8≥0，解得-8≤a≤0，故實數(shù)a的取值范圍為[-8，0].

（2）對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，則函數(shù)y=f（x）（x∈[1，4]）的值域為函數(shù)y=g（x）（x∈[1，4]）的值域的子集.其中f（x）=x2-4x+3（x∈[1，4]）的值域為[-1，3]，下面求g（x）=mx+5-2m的值域.分三類討論：①當(dāng)m=0時，g（x）=5為常數(shù)，不符合題意舍去；②當(dāng)m>0時，g（x）的值域為[5-m，5+2m]，要使[-1，3][5-m，5+2m]，則需5-m≤-15+2m≥3，解得m≥6；③當(dāng)m<0時，g（x）的值域為[5+2m，5-m]，要使[-1，3][5+2m，5-m]，則需5+2m≤-15-m≥3，解得m≤-3；綜上，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-3]∪[6，+∞）.

（3）由題意知t<47-2t>0，可得t<72.分類討論：①當(dāng)t≤0時，在區(qū)間[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，所以f（t）-f（2）=7-2t，即t2-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；②當(dāng)0所述，存在常數(shù)t滿足題意，t=-1或32.

評注：本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、定義域和值域等知識，考查函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想.第（1）小題將“方程f（x）=0在[-1，1]上有實數(shù)根”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點”，進而只需比較f（1）、f（-1）與0的大小關(guān)系即可；第（2）小題將“對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立”等價轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y=f（x）的值域為函數(shù)y=g（x）的值域的子集”，進而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的關(guān)系去處理；第（3）小題對t的取值進行分類討論，分別確定二次函數(shù)的值域D，再求其長度并轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程和不等式去求解，解題時注意t的取值范圍，謹(jǐn)防增根.

五、分段函數(shù)

例7（1）（2014浙江卷文，15）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2x+2，x≤0-x2，x>0.若f（f（a））=2，則a=.

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2（x∈R），f（x）=g（x）+x+4，x

解析：（1）令t=f（a），若f（t）=2，則t2+2t+2=2滿足條件，此時t=0或t=-2，所以f（a）=0或f（a）=-2，只有-a2=-2滿足條件，故a=2.

（2）解x0，則x<-1或x>2.因此x≥g（x）=x2-2的解為-1≤x≤2.于是f（x）=x2+x+2，x<-1或x>2，x2-x-2，-1≤x≤2.當(dāng)x<-1或x>2時，f（x）>2；當(dāng)-1≤x≤2時，x2-x-2=（x-12）2-94，則f（x）≥-94；又當(dāng)x=-1和x=2時，x2-x-2=0，所以-94≤f（x）≤0.由以上，可得f（x）>2或-94≤f（x）≤0，即f（x）的值域是[-94，0]∪（2，+∞）.

評注：本題考查分段函數(shù)的概念和求值、值域等知識，對于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值.另外，要注意自變量x的取值對應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式.對于分段函數(shù)的最值問題，應(yīng)分別在每段求出最值，再比較各個部分的最值的大小，最終得到該函數(shù)的最值；對于分段函數(shù)的值域問題，應(yīng)分別求出每段函數(shù)值的取值范圍，最后并起來即得到函數(shù)的值域.

六、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)

例8（1）（2012上海卷理）已知函數(shù)f（x）=e|x-a|（a為常數(shù)）.若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是.

（2）（2014重慶卷理）函數(shù)f（x）=log2x·log2（2x）的最小值為.

解析：（1）令t=|x-a|，則t=|x-a|在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增，而y=et為增函數(shù)，所以要使函數(shù)f（x）=e|x-a|在[1，+∞）單調(diào)遞增，則有a≤1，所以a的取值范圍是（-∞，1].

（2）因為f（x）=log2x·log2（2x）=12log2x·2log2（2x）=log2x·（1+log2x）=（log2x）2+log2x=（log2x+12）2-14，所以當(dāng)x=22時，函數(shù)f（x）取得最小值-14.

評注：本題第（1）小題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷和求解，抓住“同增異減”是關(guān)鍵，但要注意定義域優(yōu)先的基本原則；本題第（2）小題主要考查對數(shù)的運算、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)最值等知識，考查轉(zhuǎn)化和化歸思想以及運算能力.

例9（2014全國新課標(biāo)卷Ⅰ文，15）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1，x<1x13，x≥1，則使得f（x）≤2成立的x的取值范圍是.

解析：當(dāng)x<1時，由f（x）=ex-1≤2可得x-1≤ln2，即x≤ln2+1，故x<1；當(dāng)x≥1時，由f（x）=x13≤2可得x≤8，故1≤x≤8.綜上可得x≤8.

評注：本題主要考查分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等知識，考查不等式的解法.求解與分段函數(shù)有關(guān)的不等式的關(guān)鍵是通過分類討論將其等價轉(zhuǎn)化為多個不等式組解集的并集.

七、三個“二次”關(guān)系

例10（1）若關(guān)于x方程（m-2）x2+mx+（2m+1）=0有兩個實根α和β，且-1<α<0，1<β<2，則實數(shù)m的取值范圍是.

（2）（2014年高考江蘇卷，10）已知函數(shù)f（x）=x2+mx-1，若對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是.

解析：（1）設(shè)f（x）=（m-2）x2+mx+（2m+1），則由題意可知，函數(shù)f（x）有兩個零點α和β，且-1<α<0，1<β<2，數(shù)形結(jié)合可知，f（-1）×f（0）<0f（1）×f（2）<0，即（2m-1）×（2m+1）<0（4m-1）×（8m-7）<0，解得14

（2）因為f（x）=x2+mx-1是開口向上的二次函數(shù)，故函數(shù)的最大值只能在區(qū)間端點處取到，所以對于任意x∈[m，m+1]，f（x）<0，

只需f（m）<0f（m+1）<0即可，解得-22

評注：一元二次方程區(qū)間根的分布問題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題去處理.解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數(shù)值的符號.三個“二次”問題以二次函數(shù)為中心，運用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來，要重視代數(shù)推理；三個“二次”問題也是研究二次曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.處理一元二次不等式在閉區(qū)間上恒成立問題的策略主要有兩種：一是直接轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值與0的大小關(guān)系去處理；二是參變分離之后再求最值.

八、函數(shù)與方程

例11函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為.

解析：直接求f（x）的零點或畫f（x）的圖象都比較困難，于是將f（x）的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為2x|log0.5x|-1=0（即|log0.5x|=（12）x）的實根個數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|log0.5x|與函數(shù)y=（12）x的圖象交點個數(shù)問題去處理，然后利用數(shù)形結(jié)合思想破解.由2x|log0.5x|-1=0可得|log0.5x|=（12）x，在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|log0.5x|與函數(shù)y=（12）x的圖象（如圖所示）.由圖可知，函數(shù)y=|log0.5x|與函數(shù)y=（12）x的圖象的交點個數(shù)為2個，故函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為2.

評注：判斷函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)的方法主要有三種：①解方程f（x）=0，計算方程實數(shù)根的個數(shù)（重根按1個計算）即為函數(shù)零點個數(shù)；②作出函數(shù)y=f（x）的圖象，判斷圖象與x軸交點個數(shù)即為函數(shù)零點個數(shù)；③轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，一般是將f（x）=0的若干項移到等式右邊，構(gòu)造兩個基本初等函數(shù)，繼而在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù).

例12（2014年高考江蘇卷，13）已知f（x）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=|x2-2x+12|.若函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[-3，4]上有10個零點（互不相同），則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：由于函數(shù)y=f（x）-a解析式中含參數(shù)a，直接畫其圖象較為麻煩，于是將函數(shù)y=f（x）-a的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與直線y=a的交點個數(shù)問題去處理，然后在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，平行移動直線y=a，找出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍.先畫出y=x2-2x+12，x∈[0，3）的圖象，將x軸下方的圖象對稱到上方，即得到f（x），x∈[0，3）的圖象，再利用周期為3，作出f（x）在區(qū)間[-3，4]上的圖象（如圖所示），其中f（-3）=f（0）=f（3）=0.5，f（-2）=f（1）=f（4）=0.5.因為函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[-3，4]上有10個零點（互不相同），即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a共有10個不同的交點，所以a∈（0，12）.

評注：已知函數(shù)有零點（方程有實根）或已知函數(shù)零點個數(shù)（方程實根個數(shù)）求參數(shù)的取值范圍是考查的熱點和難點，其突破的方法主要有：①直接法，即直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；②分離參數(shù)法，即先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域或最值問題去解決；③數(shù)形結(jié)合法，即先對函數(shù)解析式變形，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

九、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例13（2014江蘇卷，11）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y=ax2+bx（a，b為常數(shù)）過點P（2，-5），且該曲線在點P處的切線與直線7x+2y+3=0平行，則a+b的值是.

解析：根據(jù)P點在曲線上，曲線在點P處的導(dǎo)函數(shù)值等于切線斜率，y′=2ax-bx2，k=-72，將P（2，-5）代入得-5=4a+b24a-b4=-72，解得a=-1b=-2，則a+b=-3.

評注：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求切線問題，題目很基礎(chǔ)，點在曲線上，以及在切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，而直線平行提供切線斜率，建立關(guān)于a，b的方程組.

十、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題

例14（2014江蘇卷，19）已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）

解析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱；又因為f（-x）=e-x+ex=f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù).

（2）mf（x）≤e-x+m-1m（ex+e-x）≤e-x+m-1，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1.因為ex+e-x-1>0，故m≤e-x-1ex+e-x-1=1-exex+e-x-1=1-1（e-x）2-e-x+1=1-1（e-x-12）2+34.因為x∈（0，+∞），所以e-x∈（0，1），所以

34≤（e-x-12）2+34<1，即1<1（e-x-12）2+34≤43，即-13≤1-1（ex-12）2+34<0，所以m≤-13.

（3）令g（x0）=f（x0）-a（-x30+3x0），只要在x0∈[1，+∞）上，g（x0）min<0即可.g′（x0）=（ex0）2-1ex0+3a（x20-1）.當(dāng)x0≥1時，x20-1>0，（ex0）2-1>0，a>0，則g′（x0）>0.故在區(qū)間[1，+∞）上，g′（x0）≥0，即函數(shù)g（x0）為[1，+∞）的增函數(shù)，則gmin（x0）=g（1）=e+e-1-2a<0，解得a>e+e-12.

要比較ea-1與ae-1的大小，由于ae-1=e（e-1）lna，那么ae-1ea-1=e[（e-1）lna-（a-1）]，故只要比較a-1與（e-1）lna的大小.令h（x）=（e-1）lnx-（x-1），那么h′（x）=e-1x-1，當(dāng)x>e-1時，h′（x）<0；當(dāng)00；所以在區(qū)間（0，e-1）上，h（x）為增函數(shù)；在區(qū)間（e-1，+∞）上，h（x）為減函數(shù).又h（e）=0，h（1）=0，則h（e-1）>0，h（e+e-12）>0.那么：①當(dāng)e+e-120，eh（a）>1，從而ae-1>ea-1；②當(dāng)a=e時，ea-1=ae-1；③當(dāng)a>e時，h（a）<0，0

綜上所述，當(dāng)e+e-12ea-1；當(dāng)a=e時，ea-1=ae-1；當(dāng)a>e時，ae-1

評注：本題主要考查初等函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式等知識，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力.含參不等式恒成立問題直接求最值困難時，可先參變分離之后再求值域或最值.第（3）小題突破的關(guān)鍵在于將“存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）

（作者：何曉勤，南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué)）