在樸素與深刻中前行

摘要：為解決數(shù)學(xué)知識的掌握與運用存在粗淺、零散、呆板的問題，通過實踐研究發(fā)現(xiàn)，深刻地理解與把握數(shù)學(xué)知識是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要前提。在豐富數(shù)學(xué)知識教學(xué)視角的同時，要熟悉和使用的實施策略主要有抵達(dá)本質(zhì)以構(gòu)筑成精致化的數(shù)學(xué)模型、積累經(jīng)驗以建立起個性化的數(shù)學(xué)理解、學(xué)用一致以提升到策略化的數(shù)學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識;掌握與運用;兒童數(shù)學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）02-0101-05

人怎樣理解知識，就會有什么樣的教育。剛開始教學(xué)那陣子，筆者對小學(xué)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識也就僅僅停留在數(shù)學(xué)課本中所涉及的內(nèi)容層面。與不少教師一樣，筆者曾經(jīng)歷過埋頭傳授書本知識讓學(xué)生勤加練習(xí)從而取得驕人排名的教學(xué)狀態(tài)，也經(jīng)歷過以教育情懷高呼兒童立場從而更多關(guān)注數(shù)學(xué)知識之外能力培養(yǎng)、素養(yǎng)積淀和生命關(guān)懷的教學(xué)狀態(tài)。而現(xiàn)在，筆者對數(shù)學(xué)知識教學(xué)的認(rèn)識則相對較為成熟和理性。其實，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展、素養(yǎng)的提升以及對個體生命的關(guān)懷就在具體知識的掌握與運用過程之中。

一、數(shù)學(xué)知識教學(xué)的主要視角

（一）核心知識與知識核心相結(jié)合

核心知識，是指那些結(jié)構(gòu)明確、適用范圍廣、自我生長和遷移能力強的基礎(chǔ)知識，主要包括基本原理、基本關(guān)系、基本方法、基本問題等四個方面。它們在數(shù)學(xué)課程和教材中處于重要的、不可或缺的基礎(chǔ)和主干地位，具有內(nèi)在邏輯的連貫性和一致性。[1]

知識核心，即知識的核心。就所有數(shù)學(xué)知識而言，知識核心是指對數(shù)學(xué)意義作出創(chuàng)造與解釋;就單個數(shù)學(xué)知識而言，知識核心是指知識構(gòu)成要素中最為核心的元素。比如“方程”有兩個元素，即“含有未知數(shù)”和“等式”。其中，“等式”比“含有未知數(shù)”更為緊要，因為方程是特殊的等式而已，“方程”的知識核心是“等式”，所以我們對“方程”的認(rèn)識要從認(rèn)識相等關(guān)系開始，進(jìn)而抽取等式，再介入含有未知數(shù)的特殊等式——方程。

數(shù)學(xué)知識和方法的發(fā)生、發(fā)展以及相應(yīng)的實踐和應(yīng)用過程，常常會出現(xiàn)一些似是而非的信息、出人意料的障礙甚至是令人沮喪的困惑?！昂诵闹R與知識核心相結(jié)合”，即試圖以核心知識來統(tǒng)率教學(xué)內(nèi)容，有效降低知識點的零散程度，體現(xiàn)前后學(xué)習(xí)的連貫性和一致性，以知識核心來導(dǎo)引兒童主觀意義與數(shù)學(xué)客觀意義的盡量統(tǒng)一，在創(chuàng)造與解釋過程中讓學(xué)生改變思維方向有拐杖，逼近問題本質(zhì)有臺階，突破經(jīng)驗局限或思維障礙有手段。

（二）作為過程的知識與作為結(jié)果的知識相結(jié)合

從知識發(fā)生的意義上講，知識包括過程性知識和結(jié)果性知識，前者是后者產(chǎn)生的基礎(chǔ)，后者是前者的邏輯產(chǎn)物。作為過程的知識主要包括知識創(chuàng)造的理想、目標(biāo)、意趣、情感、審美、思維方式、操作程序與方法、活動經(jīng)驗等等，而作為結(jié)果的知識主要體現(xiàn)為知識的陳述形式和邏輯體系，如概念、公式、原理、圖表等等。[2]

一方面，我們關(guān)注作為結(jié)果的知識，就是要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和結(jié)論的科學(xué)性。其中，尤其要關(guān)注個體經(jīng)過思維的抽象加工、提煉的結(jié)果是一種概括性認(rèn)識，呈現(xiàn)簡約、凝練的特征。另一方面，關(guān)注作為過程的知識，就是要關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗性，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是常識的提升、經(jīng)驗的總結(jié)那一面，將探究、能力、智慧引入知識概念，使靜態(tài)的知識動態(tài)化、活化，復(fù)現(xiàn)知識多方面的育人價值。

教育實踐表明，在短期時間范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終結(jié)果是作為結(jié)果的知識得以記憶和外顯，形成一種數(shù)學(xué)運用的能力和水平，而作為過程的知識則會逐步被忘記和隱退，但從長遠(yuǎn)來看，作為過程的知識最終會促進(jìn)人的生長和成熟，并慢慢累積和沉淀成一種數(shù)學(xué)習(xí)慣和素養(yǎng)。

（三）會運用知識與運用知識水平高相結(jié)合

數(shù)學(xué)問題解決是以思考為內(nèi)涵，以問題目標(biāo)為定向的心理活動過程，其實質(zhì)是運用已有的知識去探索新情境中的問題結(jié)果。[3]我們曾經(jīng)以訪談形式向?qū)W生調(diào)查了解到，學(xué)生認(rèn)為自己不會運用知識解決問題，主要有三個原因：一是教師傳授了新知識，卻沒有講怎么解決問題（包括如何將生活問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，如何把條件不斷地轉(zhuǎn)換和加工）;二是學(xué)生對題目的意思不了解或了解不全面;三是學(xué)過的知識記憶不準(zhǔn)確或張冠李戴用錯了。

運用知識解決問題好比學(xué)開車，會開車的人不少，而開車水平高的人卻不多。因為開車的水平既與駕車的操作熟練程度有關(guān)，也與對路況的熟悉程度有關(guān)，還與有心挑戰(zhàn)自我不斷總結(jié)駕車經(jīng)驗有關(guān)。學(xué)生解決熟悉的題目可謂駕輕就熟，而解決陌生的題目則時常如同開車遇到意外會出現(xiàn)操作不當(dāng)?shù)那闆r。運用知識解決問題水平高的學(xué)生，往往基礎(chǔ)知識掌握牢固，基本技能熟練扎實，勇于挑戰(zhàn)新題目，善于聯(lián)系、區(qū)分問題的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，能及時總結(jié)解題方法和經(jīng)驗。

會運用知識與運用知識水平高相結(jié)合，就是指通過教學(xué)活動著力于“怎么想到這種解題方法的”、“問題的全部意思（包括背后隱含的信息、問題性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)）是什么”、“如何探索新知識才能做到知行合一，學(xué)用一致”三大問題的思考和解決，盡可能地讓所有學(xué)生都會運用知識解決基本的數(shù)學(xué)問題，并促進(jìn)多數(shù)學(xué)生形成高水平解決問題的能力。

二、數(shù)學(xué)知識教學(xué)的基本策略

書本知識在很大程度上只是一種認(rèn)識結(jié)果與產(chǎn)品的記載，它很少能夠反映出知識當(dāng)初被生產(chǎn)、被發(fā)現(xiàn)的原始認(rèn)識過程，這種原始認(rèn)識過程是相當(dāng)復(fù)雜、曲折、豐富的，其中包含知識初創(chuàng)者大量的直覺與想象、猜測與反駁、觀察與試驗、反省與推理等，使學(xué)生的思維復(fù)歸這一原始的認(rèn)識過程，這本身就具有極大的思維訓(xùn)練價值。[4]因此，我們既要重視理性知識的發(fā)生和發(fā)展，還要充分發(fā)揮感性知識、個體經(jīng)驗的教學(xué)價值。

（一）抵達(dá)本質(zhì)，構(gòu)筑成精致化的數(shù)學(xué)模型

重視對知識本質(zhì)的分析和把握，逐步聚焦，由粗到細(xì)，有利于學(xué)生在最佳學(xué)習(xí)的時限內(nèi)較為準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，建立知識間的實質(zhì)性聯(lián)系，形成合理的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

課例：《認(rèn)識正比例》

（1）認(rèn)識相關(guān)聯(lián)的量

出示：路程、已完成的工作量、圓的面積、商品數(shù)量、總價、時間、剩下的工作量、長方形的周長。

同學(xué)們，數(shù)學(xué)上有許多種量。量和量之間有的相互有關(guān)，有的沒有直接關(guān)系。在這幾個量中，哪兩種量是有關(guān)系的量？

我們把像數(shù)量和總價、時間與路程、已完成的工作量與剩下的工作量這樣兩種有關(guān)系的量稱作“兩種相關(guān)聯(lián)的量”，并板書。

相關(guān)聯(lián)的兩個量，往往一個量變化，另一個量也會隨著發(fā)生變化。下面我們就以這三組相關(guān)聯(lián)的量為例，研究兩種相關(guān)聯(lián)的量變化的規(guī)律。

（2）發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律

表1：一輛汽車在公路上行駛

表2：小紅寫毛筆字

表3：購買一種鉛筆

兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量是怎樣隨著另一個量的變化而變化的？變化規(guī)律是什么？

哪些表格中兩個量的變化規(guī)律有共同性？

小結(jié)：表1和表3中都是一個量隨著另一個量同時擴大或者同時縮小，表2的變化情況和它們不一樣。

（3）重點研究表1和表3

據(jù)表1中對應(yīng)的兩個數(shù)，寫出幾組路程和時間的比，求出比值，看看你能發(fā)現(xiàn)什么。板書：路程/時間=速度（一定）

表3中的對應(yīng)的總價和數(shù)量的比是否比值也一定呢？這個比值表示的是什么？板書：總價/數(shù)量=單價（一定）

（4）揭示正比例的意義

通過觀察和計算，發(fā)現(xiàn)路程和時間的關(guān)系、總價和數(shù)量的關(guān)系，它們有什么相同的地方？兩種相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，并且它們的比值一定時，我們就說這兩種量成正比例，這兩種量是成正比例的量。

（5）介紹字母關(guān)系式：y/x=k（一定）

（6）學(xué)生用自己的語言表述正比例的意義，并回答：兩個量成正比例需要符合什么條件？

（7）追問上述表2：小明寫毛筆字“已完成的工作量”和“剩下的工作量”這里的兩個數(shù)量，是否符合正比例的要求，為什么？

（8）基礎(chǔ)練習(xí)：張師傅生產(chǎn)零件的數(shù)量和時間成正比例嗎？為什么？

（9）變式練習(xí)：一輛車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

討論：這輛車行駛的時間和路程成正比例嗎？為什么同樣是時間和路程這兩種相關(guān)聯(lián)的量，在前面我們說它們成正比例，在這里又說它們不成正比例了？

“正比例”是數(shù)學(xué)核心知識序列內(nèi)容之一，在具體教學(xué)時如果教學(xué)過程的展開過于單一和機械，學(xué)生往往對正比例的意義不能有較為清晰的理解和認(rèn)識，自然也就不能準(zhǔn)確地判斷兩個變化的量是不是成正比例?！罢壤P(guān)系”的本質(zhì)是“相關(guān)聯(lián)”和“比值一定”。而生活中的實例有相關(guān)聯(lián)和不相關(guān)聯(lián)之分，相關(guān)聯(lián)的有除法關(guān)系和非除法關(guān)系之分，除法關(guān)系中的數(shù)據(jù)有比值一定和不定之分。為抵達(dá)這一本質(zhì)，我們采取了逐步聚焦，漸次逼近的方法。上述教學(xué)先是從眾多量之中尋找相互有關(guān)系的，形成一個很大的認(rèn)識“相關(guān)聯(lián)的量”的“底盤”，之后，再說明“兩種相關(guān)聯(lián)的量一個變化時，另一個會隨著發(fā)生變化”。基于三組量的規(guī)律探討，經(jīng)過“去粗存精”式的篩選，層層推進(jìn)，走到了“正比例關(guān)系”和“成正比例的量”的面前，再進(jìn)行了字母式（數(shù)學(xué)模型）的表達(dá)介紹，也就完成了對正比例的表征，即數(shù)值表示（表格）和解析式（關(guān)系式）表示。

（二）積累經(jīng)驗，建立起個性化的數(shù)學(xué)理解

人類一切活動和經(jīng)驗的特征就在于對意義的關(guān)注，任何事物、人物、觀念、事件都是作為“同我們有關(guān)系的東西”來經(jīng)驗的。教師和學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的共同體，就學(xué)生對知識掌握的難易程度而言，無論是比較困難的，還是相對容易的，教師都應(yīng)盡可能地鼓勵、引導(dǎo)或幫助學(xué)生以自己的方式和言語去創(chuàng)造、觸摸、揭示知識的意義。

課例：《確定位置》

（1）你們班的班長是誰？坐在哪兒？（表示位置的說法主要有三類：“A同學(xué)的右邊一個”;“第三組第四排左邊”和“第三組倒數(shù)第三排左邊”;“第五小組第四排”和“第五小組倒數(shù)第三個”）

（2）哪種說法更為簡單、直接？第三類說法只用兩個方位語，比如，“第五小組”、“第四排”，而第二類用了三個方位語，比如“第三組”、“第四排”、“左邊”，第三類說法簡單些，又比第一類說法明確。因為我不認(rèn)識A同學(xué)，不知道他（她）的位置，所以“A同學(xué)的右邊一個”說法不夠直接。

（3）課件同步演示，教師介紹另一種只用兩個方位語表示位置的說法，即豎為列，從左往右數(shù)，第5列;橫為行，從前往后數(shù)，第4行。班長的位置可以說成“第5列第4行”。

（4）說一說指定同學(xué)的座位位置。

（5）學(xué)生自創(chuàng)“第5列第4行”更簡明的表示方法，主要作品見下圖六種記法。

（6）學(xué)生代表介紹自創(chuàng)表示法的意思

（7）教師針對第六種簡明寫法，介紹用數(shù)對表示位置的方法及具體意義

數(shù)學(xué)教學(xué)最難的莫過于把“數(shù)學(xué)規(guī)定”變成屬于學(xué)生自己的個性化的理解。上述教學(xué)，在不停地打開經(jīng)驗、轉(zhuǎn)變經(jīng)驗和拓展經(jīng)驗的過程中，學(xué)生為我們展現(xiàn)了樸素而又不失生動，深刻而又不顯艱澀的學(xué)習(xí)圖景。在“說一說班長的位置”活動中，學(xué)生被打開的經(jīng)驗主要是生活經(jīng)驗，這當(dāng)中表示位置的說法有表達(dá)不夠直接的和不夠簡單的，同時還有“第幾列第幾行”的原型“第幾組第幾排”。在此基礎(chǔ)上正式介紹用兩個方位語描述位置的另一個說法“第幾列第幾行”，由生活經(jīng)驗“第幾組第幾排”向數(shù)學(xué)經(jīng)驗“第幾列第幾行”成功轉(zhuǎn)變。在學(xué)生用“第幾列第幾行”說出幾個指定同學(xué)的位置后，組織學(xué)生自創(chuàng)“第5列第4行”的簡明記法，自然地引出用數(shù)對表示位置，順應(yīng)了學(xué)生對知識主動創(chuàng)造與解釋的心向，從而把數(shù)學(xué)經(jīng)驗向遠(yuǎn)方拓展延伸。

（三）學(xué)用一致，提升到策略化的數(shù)學(xué)水平

教學(xué)不單是傳授知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獨立獲取知識和運用知識的能力。單純書本知識的教學(xué)不僅導(dǎo)致學(xué)生對知識的一知半解，而且造成知識與行動、學(xué)習(xí)與運用的嚴(yán)重分離，最終致使兒童喪失思維的活力，壓抑兒童的創(chuàng)造潛能。借助感官，通過參與活動和充分對話的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)能有效地促進(jìn)知行結(jié)合、學(xué)用統(tǒng)一。

課例：《組合圖形面積的計算》

（1）復(fù)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式

（2）投影例10：華豐小學(xué)校園里有一塊草坪（如圖1），它的面積是多少平方米？你準(zhǔn)備怎樣算？在小組內(nèi)交流。

（3）全班交流思路，主要有三種方法（如圖2、圖3和圖4），教師相機板書“長方形+梯形”、“三角形+長方形”、“三角形+梯形”。

（4）討論另一種思路（如圖5）的可行性，此方案理論上似乎可以，但實際計算時發(fā)現(xiàn)底為4米的直角三角形，缺少高的數(shù)據(jù)，無法準(zhǔn)確推算，故此方案未獲通過。同時，友情提醒部分學(xué)生“直角三角形的高看上去應(yīng)該是2m”不夠謹(jǐn)慎，所需數(shù)據(jù)要么是題目直接提供，要么是有根據(jù)地推算得出，不可以僅憑主觀斷定。

（5）組織學(xué)生對“把草坪分成三塊（如圖6）甚至更多塊來計算”的思路給出中肯評價

（6）交流另外兩種方法，相應(yīng)配圖如圖7、圖8。教師相機板書“長方形-梯形”、“梯形-三角形”，并重點討論圖8思路所補的那塊三角形計算面積的數(shù)據(jù)是否齊全，確信底為4米的鈍角三角形的高是15-12=3m。

（7）討論課本為什么只提供了兩種方法（如圖2和圖7）

觀點有：①編書的人沒有我們聰明②要求我們必須掌握這兩種方法③版面印刷不允許④只是想引起我們進(jìn)一步探索⑤這兩種方法是兩種思路的代表而已。

（8）師生達(dá)成共識，把方法“長方形+梯形”、“三角形+長方形”和“三角形+梯形”歸類為“先割再加”的策略，把方法“長方形-梯形”和“梯形-三角形”歸類為“先補再減”的策略。

（9）要求學(xué)生從解決問題的兩種策略中各選一種方法，進(jìn)行列式計算

（10）補充問題：每個草坪燈照明覆蓋范圍大約3平方米，這塊草坪共需裝多少盞草坪燈？

上述例題教學(xué)，重視提高學(xué)生獨立運用知識解決問題能力的培養(yǎng)。當(dāng)一名學(xué)生在受到思路“把草坪分割成兩個常見的平面圖形，完成各自的面積計算后再合起來”的啟發(fā)，終于想出了不同于前面三種的分割方法（如圖5）時，筆者給出了具有破題式的指導(dǎo)“僅憑主觀認(rèn)為‘直角三角形的高看上去應(yīng)該是2m’不夠謹(jǐn)慎”。而當(dāng)有學(xué)生建議可以“把草坪分成三塊（如圖6）甚至更多塊來計算”時，又給出了立題式的指導(dǎo)“可以是可以，但計算量隨之增大了，未見得有前面幾種方法來得簡便省事”。最后，筆者借用例題主題圖進(jìn)行煉題式延伸“每個草坪燈照明覆蓋范圍大約3平方米，這塊草坪共需裝多少盞草坪燈？”引導(dǎo)學(xué)生回溯乘除法運算的意義，加工信息“每個草坪燈照明覆蓋范圍大約3平方米”為“3平方米的地方對應(yīng)著1盞燈”，進(jìn)行破題心理還原和再現(xiàn)“要求129平方米的地方對應(yīng)著幾盞燈，只需要看129平方米里面有幾個3平方米，也就是求129里面有幾個3，當(dāng)然是用129÷3=43（盞）”，有效避免了錯誤“129×3=387（盞）”的出現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏光明.走近數(shù)學(xué)“核心知識”教學(xué)[J].江蘇教育，2011（4）.

[2]潘洪建.教學(xué)知識論[M].蘭州：甘肅教育出版社，2004：101.

[3]金成梁.小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論[M].南京：南京大學(xué)出版社，2005：92.

[4]夏正江.論知識的性質(zhì)與教學(xué)[J].華東師范大學(xué)學(xué)報，2000（2）.

責(zé)任編輯：石萍

Reflection on and Practice of Mathematics Knowledge Teaching

ZHU Xiao-ping

（Yangzhou Meiling Primary School， Yangzhou 225002， China）

Abstract： To find solutions to the problems in the grasping and applying of mathematics knowledge such as superficial， scattered and inflexible， we carry out empirical studies， which reveals that the important precondition to deeply understand and master mathematics knowledge is to improve the quality of mathematics teaching. We should enrich the perspectives of mathematics knowledge teaching and meanwhile we should be familiar with and make use of some strategies including that essence should be reached to make delicate models， that experience should be accumulated to have a personal understanding of mathematics， and that learning should accord with application to promote mathematics levels strategically.

Key words： mathematics knowledge; grasping and applying; mathematics for children