高中數(shù)學(xué)易錯點普查

易錯點1、遺忘空集致誤

由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=時也滿足BA.解含有參數(shù)的集合問題時，要特別注意當(dāng)參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況.

易錯點2、忽視集合元素的三性致誤

集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求.

易錯點3、混淆命題的否定與否命題

命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結(jié)論.

易錯點4、充分條件、必要條件顛倒致誤

對于兩個條件A，B，如果AB成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果BA成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；如果AB，則A，B互為充分必要條件.解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充分條件和必要條件的概念作出準(zhǔn)確的判斷.

易錯點5、“或”“且”“非”理解不準(zhǔn)致誤

命題p∨q真p真或q真，命題p∨q假p假且q假（概括為一真即真）；命題p∧q真p真且q真，命題p∧q假p假或q假（概括為一假即假）；p真p假，p假p真（概括為一真一假）.求參數(shù)取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應(yīng)起來進(jìn)行理解，通過集合的運算求解.

易錯點6、對含有量詞的命題的否定不當(dāng)致誤

對全稱命題的否定，在否定判斷詞時，還要否定全稱量詞，變?yōu)樘胤Q命題，特別要注意的是，由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進(jìn)行命題否定時易將全稱命題只否定判斷詞，而不否定省略了的全稱量詞.

易錯點7、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)致誤

在研究函數(shù)問題時要時刻想到“函數(shù)的圖象”，學(xué)會從函數(shù)圖象上去分析問題、尋找解決問題的方法.對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增（減）區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即可.

易錯點8、判斷函數(shù)的奇偶性忽略定義域致誤

判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù).

易錯點9、函數(shù)零點定理使用不當(dāng)致誤

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，但f（a）f（b）>0時，不能否定函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)有零點.函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點問題時要注意這個問題.

易錯點10、導(dǎo)數(shù)的幾何意義不明致誤

函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)值是函數(shù)圖象在該點處的切線的斜率.但在許多問題中，往往是要解決過函數(shù)圖象外的一點向函數(shù)圖象上引切線的問題，解決這類問題的基本思想是設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程.然后根據(jù)題目中給出的其他條件列方程（組）求解.因此解題中要分清是“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”.

易錯點11、導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清致誤

f′（x0）=0只是可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x0處取得極值的必要條件，即必須有這個條件，但只有這個條件還不夠，還要考慮是否滿足f′（x）在x0兩側(cè)異號.另外，已知極值點求參數(shù)時要進(jìn)行檢驗.

易錯點12、三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤

對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性，當(dāng)ω>0時，由于內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞增的，所以該函數(shù)的單調(diào)性和y=sinx的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間解決；但當(dāng)ω<0時，內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞減的，此時該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性相反，就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決，一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決.對于帶有絕對值的三角函數(shù)應(yīng)該根據(jù)圖象，從直觀上判斷其性質(zhì).

易錯點13、圖象變換方向把握不準(zhǔn)致誤

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，x∈R）的圖象可看作由下面的方法得到：

（1）把正弦曲線上的所有點向左（當(dāng)φ>0時）或向右（當(dāng)φ<0時）平行移動|φ|個單位長度；

（2）再把所得各點橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1時）或伸長（當(dāng)0<ω<1時）到原來的1ω倍（縱坐標(biāo)不變）；

（3）再把所得各點的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時）或縮短（當(dāng)0

即先作相位變換，再作周期變換，最后作振幅變換.若先作周期變換，再作相位變換，應(yīng)左（右）平移|φ|ω個單位.另外注意根據(jù)φ的符號判定平移的方向.

易錯點14、忽視零向量致誤

零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線.它在向量中的位置正如實數(shù)中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，同學(xué)們應(yīng)給予足夠的重視.

易錯點15、向量夾角范圍不清致誤

解題時要全面考慮問題.數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被同學(xué)們所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當(dāng)a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意夾角為π，即反向的情況.

易錯點16、an與Sn關(guān)系不清致誤

在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關(guān)系：an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2，這個關(guān)系對任意數(shù)列都是成立的，但要注意的是這個關(guān)系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個地方，在使用這個關(guān)系式時要牢牢記住其“分段”的特點.

易錯點17、對等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)理解錯誤

等差數(shù)列的前n項和在公差不為零時是關(guān)于n的常數(shù)項為零的二次函數(shù)；一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”；在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m（m∈N*）是等差數(shù)列.

易錯點18、數(shù)列中的最值錯誤

數(shù)列問題中其通項公式、前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認(rèn)識和理解數(shù)列問題.在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠(yuǎn)近而定.

易錯點19、錯位相減求和時項數(shù)處理不當(dāng)致誤

錯位相減求和法的適用條件：數(shù)列是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積所組成的，求其前n項和.基本方法是設(shè)這個和式為Sn，在這個和式兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，這兩個和式錯一位相減，就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個等比數(shù)列的前n項和或前n-1項和為主的求和問題.這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯位相減后對剩余項的處理.

易錯點20、不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)致誤

在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時一定要準(zhǔn)確，特別是不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)式、兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會出現(xiàn)錯誤.

易錯點21、忽視基本不等式應(yīng)用條件致誤

利用基本不等式a+b≥2ab求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b為正數(shù)（或a，b非負(fù)），ab或a+b其中之一應(yīng)是定值，特別要注意等號成立的條件.對形如y=ax+bx（a，b>0）的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，bx的符號，必要時要進(jìn)行分類討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內(nèi)等號能否取到.

易錯點22、解含參數(shù)的不等式時分類討論不當(dāng)致誤

解形如ax2+bx+c>0的不等式時，首先要考慮對x2的系數(shù)進(jìn)行分類討論.當(dāng)a=0時，這個不等式是一次型不等式，解的時候還要對b，c進(jìn)一步分類討論；當(dāng)a≠0且Δ>0時，不等式可化為a（x-x1）（x-x2）>0，其中x1，x2（x10，則不等式的解集是（-∞，x1）∪（x2，+∞），如果a<0，則不等式的解集是（x1，x2）.

易錯點23、不等式恒成立問題處理不當(dāng)致誤

解決不等式恒成立問題的常規(guī)求法是：借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解，其中的主要方法有數(shù)形結(jié)合法、變量分離法、主元法，通過最值產(chǎn)生結(jié)論.應(yīng)注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對x∈[a，b]都有f（x）≤g（x）成立，即f（x）-g（x）≤0的恒成立問題，但對x∈[a，b]，使f（x）≤g（x）成立，則為存在性問題.

易錯點24、面積、體積的計算轉(zhuǎn)化不靈活致誤

面積、體積的計算既需要同學(xué)們有扎實的基礎(chǔ)知識，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要題型.因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法.

（1）還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法.

（2）割補法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時常用.

（3）等積變換法：充分利用三棱錐的任意一個面都可作為底面的特點，靈活求解三棱錐的體積.

（4）截面法：尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合問題，常畫出軸截面進(jìn)行分析求解.

易錯點25、隨意推廣平面幾何中的結(jié)論致誤

平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間中不一定成立.例如“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間中就不成立.

易錯點26、對折疊與展開問題認(rèn)識不清致誤

折疊與展開是立體幾何中的常用思想方法，此類問題注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關(guān)系的變化.

易錯點27、空間點、線、面位置關(guān)系不清致誤

關(guān)于空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷類試題是高考全面考查同學(xué)們對空間位置關(guān)系的判定和性質(zhì)掌握程度的理想題型，歷來受到命題者的青睞，解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如課桌、教室）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確、考慮問題全面細(xì)致.

易錯點28、忽視斜率不存在致誤

在解決兩直線平行的相關(guān)問題時，若利用l1∥l2k1=k2來求解，則要注意其前提條件是兩直線不重合且斜率存在.如果忽略k1，k2不存在的情況，就會導(dǎo)致錯解.這類問題也可以利用如下的結(jié)論求解，即直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0平行的必要條件是A1B2-A2B1=0，在求出具體數(shù)值后代入檢驗，看看兩條直線是不是重合從而確定問題的答案.對于解決兩直線垂直的相關(guān)問題時也有類似的情況.利用l1⊥l2k1·k2=-1時，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在.利用直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0，就可以避免討論.

易錯點29、忽視零截距致誤

解決有關(guān)直線的截距問題時應(yīng)注意兩點：一是求解時一定不要忽略截距為零這種特殊情況；二是要明確截距為零的直線不能寫成截距式.因此解決這類問題時要進(jìn)行分類討論，不要漏掉截距為零時的情況.

易錯點30、忽視圓錐曲線定義中的條件致誤

利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

易錯點31、忽視特殊性、誤判直線與圓錐曲線位置關(guān)系

過定點的直線與雙曲線的位置關(guān)系問題，基本的解決思路有兩個：一是利用一元二次方程的判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為零，當(dāng)二次項系數(shù)為零時，直線與雙曲線的漸近線平行（或重合），也就是直線與雙曲線最多只有一個交點；二是利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出圖形，根據(jù)圖形判斷直線和雙曲線各種位置關(guān)系.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時要注意，不要忘記其特殊性.

易錯點32、兩個計數(shù)原理不清致誤

分步加法計數(shù)原理與分類乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題最基本的原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提，在解題時，要分析

計數(shù)對象的本質(zhì)特征與形成過程，按照事件的結(jié)果來分類，按照事件的發(fā)生過程來分步，然后應(yīng)用兩個基本原理解決.對于較復(fù)雜的問題既要用到分類加法計數(shù)原理，又要用到分步乘法計數(shù)原理，一般是先分類，每一類中再分步，注意分類、分步時要不重復(fù)、不遺漏，對于“至少、至多”型問題除了可以用分類方法處理外，還可以用間接法處理.

易錯點33、排列、組合不分致誤

為了簡化問題和表達(dá)方便，解題時應(yīng)將具有實際意義的排列組合問題符號化、數(shù)學(xué)化，建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，再?yīng)用相關(guān)知識解決.建立模型的關(guān)鍵是判斷所求問題是排列問題還是組合問題，其依據(jù)主要是看元素的組成有沒有順序性，有順序性的是排列問題，無順序性的是組合問題.

易錯點34、混淆項的系數(shù)與二項式系數(shù)致誤

在二項式（a+b）n的展開式中，其通項Tr+1=Crnan-rbr是指展開式的第r+1項，因此展開式中第1，2，3，…，n項的二項式系數(shù)分別是C0n，C1n，C2n，…，Cn-1n，而不是C1n，C2n，C3n，…，Cnn.而項的系數(shù)是二項式系數(shù)與其他數(shù)字因數(shù)的積.

易錯點35、循環(huán)結(jié)束的條件判斷不準(zhǔn)致誤

控制循環(huán)結(jié)構(gòu)的是計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結(jié)束的條件.在解答這類題目時首先要弄清楚這兩個變量的變化規(guī)律，其次要看清楚循環(huán)結(jié)束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結(jié)束還是不滿足條件時結(jié)束.

易錯點36、條件結(jié)構(gòu)對條件的判斷不準(zhǔn)致誤

條件結(jié)構(gòu)的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進(jìn)行的，其中沒有遺漏也沒有重復(fù)，在解題時對判斷條件要仔細(xì)辨別，看清楚條件和函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，對條件中的數(shù)值不要漏掉也不要重復(fù)了端點值.

易錯點37、復(fù)數(shù)的概念不清致誤

對于復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），a叫做實部，b叫做虛部；當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）是實數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù).解決復(fù)數(shù)概念類試題要仔細(xì)區(qū)分以上概念差別，防止出錯.另外，i2=-1是實現(xiàn)實數(shù)與虛數(shù)互化的橋梁，要適時進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解題時極易丟掉負(fù)號而出錯.