巧變換妙解題

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常會(huì)碰到涉及含ex型函數(shù)的一類不等式恒成立中求參數(shù)范圍的問題，此類問題的解決一般要依賴于導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用，若利用“分離參數(shù)法”求解，往往會(huì)受到所構(gòu)函數(shù)的最值無法求解的困擾；若直接構(gòu)造函數(shù)求其最值，卻由于ex的導(dǎo)數(shù)仍是其本身無法回避，給接下來的一系列求解——尤其是如何對(duì)所求參數(shù)進(jìn)行分類討論帶來了較大的麻煩，因此，找到一種自然、順暢、可行、簡(jiǎn)捷的解法就顯得非常關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換，可見變換思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中起著至關(guān)重要的作用.針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問題，從不同的角度出發(fā)，適時(shí)轉(zhuǎn)變思路，將問題等價(jià)變換成不同的形式，從而能使問題的解決更趨靈活、簡(jiǎn)單，獲得預(yù)想不到的效果.由于ex與lnx存在著千絲萬縷的聯(lián)系，而且lnx的導(dǎo)數(shù)能很好地規(guī)避自身的影響，為此，我們產(chǎn)生了這樣的一種想法：通過對(duì)已知不等式作恒等變形，將與ex有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為與lnx相關(guān)的問題后，再構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求解，求導(dǎo)后問題中的函數(shù)式將會(huì)轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單的有理分式形式，問題的解決過程可能產(chǎn)生翻天覆地的改變，進(jìn)而順利地達(dá)到解題的目的.老師嘗試著按照以上的想法解決近年來與之相關(guān)的幾個(gè)高考題，欣喜地看到想法得到了很好的驗(yàn)證，于是將以上的諸多想法整理成文，希望能給同學(xué)們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的過程中一點(diǎn)啟迪、一點(diǎn)幫助.

以上分析讓我們深切地感受到數(shù)學(xué)解題的樂趣，思維角度的改變，使含ex的不等式恒成立問題的解決“云開霧散”，給人啟迪及美的享受，這是一種難得的經(jīng)驗(yàn).解題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，解題能力的高低是數(shù)學(xué)能力的直接反映，因此，我們十分重視加強(qiáng)解題能力的培養(yǎng)，我們強(qiáng)調(diào)常規(guī)解法的訓(xùn)練，但不能墨守成規(guī)；我們強(qiáng)調(diào)解題技巧的應(yīng)用，但不能過分迷信，這是一項(xiàng)長(zhǎng)期而又艱巨的工程.著名數(shù)學(xué)教育家鄭毓信曾說：相對(duì)于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容而言，思維訓(xùn)練顯然更為重要.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們必須要有開闊的視野，活躍的思維，重視多角度、多方位地分析問題，善于把握問題的本質(zhì)，只有這樣，我們才能展開想象的翅膀，自由地馳騁于數(shù)學(xué)這片廣沃的曠野之中！